Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 02. 2018 17:44 — Editoval Kája2 (05. 02. 2018 17:45)

Kája2
Příspěvky: 175
Reputace:   
 

Derivace a spojitost - důkaz

Dobrý den, mám na Vás otázku ohledně důkazu či vyvrácení těchto tvrzení. Jde o vztah mezi těmito výroky. A.) Existuje $f'(0)$. B.) Funkce$f$ je v bodě 0 spojitá. Kdybych se podíval na vztah $A\Rightarrow B$, řekl bych, že bych toto mohl dokázat jako větu: Existuje-li $f'(0)$, pak je funkce v tomto bodě spojitá. Důkaz by byl jednoduchý, ovšem, věta o derivaci a spojitosti zní: Má-li funkce v nějakém bodě $\text{vlastní}$ derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. Ve tvrzení A se ovšem nepíše, zda je derivace vlastní čí nevlastní. Zde jsem tedy na pochybách. $B\Rightarrow A$. Zde bych řekl, že tato implikace neplatí. Funkce $f(x)$ může být v bodě $0$ spojitá, ovšem nemusí mít v tomto bodě derivaci. Takže v rámci vyvrácení $B\Rightarrow A$, bych mohl například uvést nějaký protipříklad? Budu rád za každou radu.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Kája2)

#2 05. 02. 2018 18:20

laszky
Příspěvky: 100
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   
 

Re: Derivace a spojitost - důkaz

$B \Rightarrow A$   napr. f(x)=|x|.

Offline

 

#3 05. 02. 2018 18:51

Kája2
Příspěvky: 175
Reputace:   
 

Re: Derivace a spojitost - důkaz

↑ laszky:
Ano, moc děkuji.Také mne napadla absolutní hodnota. Tedy stačí k daným implikacím obecně například uvést protipříklad a tím je  vyvrátit?Případě uvést, že $A\Rightarrow B$ by platila, byla-li by derivace vlastní?

Offline

 

#4 05. 02. 2018 19:44

laszky
Příspěvky: 100
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   
 

Re: Derivace a spojitost - důkaz

↑ Kája2:

Ono " Existuje $f'(0)$ " znamena, ze existuje vlastni derivace v 0 zleva i zprava a jsou si rovny. Jedina sporna situace by mohla nastat napr. u funkce

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{|x|}},\; x\neq0$  a  $f(0)=0$, (je to  $\sqrt{x}$  pro x nezaporna a $-\sqrt{|x|}$ pro x zaporna)

ktera ma v 0 derivaci zleva i zprava stejnou a rovnou $+\infty$. Navic je i spojita v 0. Nicmene se bere, ze v 0 derivaci nema, ptz obe dve jednostranne derivace jsou nevlastni (byt stejne).

Offline

 

#5 07. 02. 2018 19:24

Kája2
Příspěvky: 175
Reputace:   
 

Re: Derivace a spojitost - důkaz

↑ laszky:
Dobře, moc děkuji ;-)

Offline

 

#6 08. 02. 2018 04:21

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2424
Škola: OU (99-03,04,05-07)
Pozice: OA
Reputace:   57 
 

Re: Derivace a spojitost - důkaz

↑ laszky:
Možná by nebylo špatné zmínit místo tvé funkce x/√|x| funkci ∛x (pokud je to špatně čitelné, tak třetí odmocnina z x). Efekt je ovšem shodný.

Offline

 

#7 08. 02. 2018 13:53

laszky
Příspěvky: 100
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   
 

Re: Derivace a spojitost - důkaz

↑ Marian:

Ok, to je asi jednodussi.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson