Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 08. 02. 2018 21:27

mák
Místo: Vesmír, Galaxie MD
Příspěvky: 732
Reputace:   57 
 

Výpočet hmotnosti izotopů

Zdravím,
zde jsou uvedeny atomové hmotnosti izotopů uhlíku:
C8=8,037675
C9=9,0310367
C10=10,0168532
C11=11,0114336
C12=12
C13=13,0033548378
C14=14,003241989
C15=15,0105993
C16=16,014701
C17=17,022586
C18=18,02676
C19=19,03481
C20=20,04032
C21=21,04934
C22=22,0572
Zajímalo by mě, jak jsou vypočítány. Když vycházím z atomové hmotnostní konstanty a Avogadrovy konstanty, nebo přímo z hmotnosti neutronů a protonů, tak mi sice vychází podobná čísla, ale přesto se o pár procent liší a hodnoty jsou umístěny pravidelně.
Ale co mi nejvíc vadí je to, že v uvedené tabulce je hmotnost uhlíku ${^{12}_{6}C}$ nejnižší a na obě strany se zvětšuje a to dokonce nepravidelně. Podobně je to i u izotopů jiných prvků. Možná to souvisí se stabilitou.
Viz obrázek:


Za to umístění do chemie se omlouvám, ale připadalo mi, že to patří více sem.

Offline

 

#2 08. 02. 2018 21:58

MichalAld
Příspěvky: 939
Reputace:   26 
 

Re: Výpočet hmotnosti izotopů

Atomové hmotnosti nelze spočítat (alespoň né nějak jednoduše). Musejí se změřit.

Důvod, proč není atomová hmotnost prvku prostým součtem hmotností částic, kterými je tvořen, ten důvod musíme hledat v teorii relativity, konkrétně tedy v relativistické ekvivalenci hmoty a energie, ve známém vztahu

$E=mc^2$

Energie, která drží částice jádra pohromadě, tzv. vazebná energie, ta způsobuje ten úbytek hmotnosti (ta energie se uvolnila když částice vytvořili to jádro). To, že jádra mají hmotnosti dle tvého grafu, to je právě měřítkem té vazebné energie. Čím je jádro lehčí, tím větší je vazebná energie jež drží částice pohromadě. Tim více energie bychom museli dodat, abychom je "rozebrali" na původní částice. Tím je jádro stabilnější.

Stejný úbytek hmotnosti nastává i u chemických vazeb, tam jde ale o interakci elektromagnetickou, a ta je mnohem slabší, takže změnu hmotnosti při chemické reakci nedokážeme měřením zjistit. Můžeme ji však spočítat.

Jaderné síly jsou mnohem silnější, vazebná energie je mnohem větší, takže i změna hmotnosti je taková, že ji lze vážením prokázat.

Pokud bychom ji chtěli spočítat, musíme na to vzít kvantovou teorii jaderných sil (jmenuje se kvantová chromodynamika), ale já nevím, jestli takto složité situace je vůbec možné počítat a jak přesný takový výpočet je.

Offline

 

#3 09. 02. 2018 03:33 — Editoval laszky (09. 02. 2018 04:40)

laszky
Příspěvky: 801
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   50 
 

Re: Výpočet hmotnosti izotopů

Protoze relativni atomova hmotnost je podil klidove hmotnosti atomu a hmotnostni atomove konstanty, a protoze hmotnostni atomova konstanta je definovana jako 1/12 izotopu uhliku C12, je relativni atomova hmotnost izotopu uhliku C12 rovna presne 12. 

Tvuj graf v podstate rika, ze pro izotopy uhliku s nukleonovym cislem vetsim nez 12 se narust nukleonoveho cisla o 1 projevi narustem relativni atomove hmotnosti vetsim nez 1, pricemz tento narust se s rostoucim nukleonovym cislem zvetsuje.

Naopak pro izotopy uhliku s nukleonovym cislem mensim nez 12 se pokles nukleonoveho cisla o 1 projevi poklesem relativni atomove hmotnosti mensim nez 1, pricemz tento pokles se s klesajicim nukleonovym cislem zmensuje.

Cely tento mechanismus je dany tim, ze cim mene je neutronu v jadre, tim vice energie (ponerove k poctu nukleonu) se musi vyuzit k udrzeni protonu pohromade. Jsou totiz k sobe cim dal bliz a nemaji mezi sebou neutrony.

Kdyz tedy napr. odebereme jeden neutron z C12, neklesne relativni atomova hmotnost presne o 1, jak by clovek cekal, ale neco z te jednicky se musi vyuzit, aby ten zbytek drzel pohromade - protony se totiz k sobe vic priblizily.

Naopak pridanim neutronu k C12, stoupne relativni atomova hmotnost o vic nez o jedna - pridali jsme neutron a protony v jadre se tak od sebe mohly trochu vzdalit. Tim padem je treba mene energie k tomu, aby jadro drzelo pohromade, a tato energie se premeni na hmotnost.

Offline

 

#4 09. 02. 2018 07:41 — Editoval edison (09. 02. 2018 07:43)

edison
Příspěvky: 885
Reputace:   23 
 

Re: Výpočet hmotnosti izotopů

laszky napsal(a):

Kdyz tedy napr. odebereme jeden neutron z C12, neklesne relativni atomova hmotnost presne o 1, jak by clovek cekal, ale neco z te jednicky se musi vyuzit, aby ten zbytek drzel pohromade - protony se totiz k sobe vic priblizily.

Naopak pridanim neutronu k C12, stoupne relativni atomova hmotnost o vic nez o jedna - pridali jsme neutron a protony v jadre se tak od sebe mohly trochu vzdalit. Tim padem je treba mene energie k tomu, aby jadro drzelo pohromade, a tato energie se premeni na hmotnost.

1. Takhle přímočaře to nefunguje. Pavdu má Míchal:

MichalAld napsal(a):

Pokud bychom ji chtěli spočítat, musíme na to vzít kvantovou teorii jaderných sil (jmenuje se kvantová chromodynamika), ale já nevím, jestli takto složité situace je vůbec možné počítat a jak přesný takový výpočet je.

C12 je prostě z nějakého důvodu energeticky výhodná konfigurace a když se od ní vzdalujeme, na obě strany roste potřebná vazebná energie. Ale jen v omezeném rozsahu. Hezky je to vidět třeba na grafu:
https://cs.wikipedia.org/wiki/Atomov%C3 … pes-CZ.svg
Kde je C12 na jednom z mnoha "zoubků". (graf je oproti Mákově vzhůru nohama).

2. Červeně označený text: Energie má hmotnost a ne že "se premeni na hmotnost".

Pro původního tazatele: Vlatně jsi objevil jev, který se nazývá hmotnostní schodek:-)

Offline

 

#5 09. 02. 2018 09:16

MichalAld
Příspěvky: 939
Reputace:   26 
 

Re: Výpočet hmotnosti izotopů

edison napsal(a):

2. Červeně označený text: Energie má hmotnost a ne že "se premeni na hmotnost".

O tomhle se dá filozofovat donekonečna, zejména když se na to díváme z klasického (nerelativistického) pohledu.

V relativitě je to spíš tak, že "ENERGIE je HMOTNOST". Není mezi tím žádný experimentálně zjistitelný rozdíl, jen se to vyjadřuje v jiných jednotkách, o to $c^2$

Offline

 

#6 10. 02. 2018 01:30

MichalAld
Příspěvky: 939
Reputace:   26 
 

Re: Výpočet hmotnosti izotopů

Je dost těžké získat aspoň nějakou základní představu, proč jsou atomová jádra zrovna taková, jaká jsou, a já navíc nejsem žádný odborník na jaderné interakce, takže následující příspěvek berte jen jako ilustraci toho, jak je celá problematika složitá:

1) Jaderné síly nějak závisí na spinu částic - částice s opačným spinem se přitahují jinak (slabějí ?) než částice se stejným spinem.

2) Dále zde máme Pauliho vylučovací princip, stejné částice (včetně spinu) nemohou zaujmout stejný stav. Takže je výhodnější mít jádro s jedním protonem a jedním neutronem (protože jsou to různé částice), než jádro které má dva protony či dva neutrony (taková jádra vůbec neexistují)

3) Jaderné síly se nějak skládají, 4 částice se navzájem "drží" více než třeba 2. (vodík / helium např). Ale platí to jedn do určité míry, když je nukleonů mnoho, tak to platit přestává (jaderné síly mají malý dosah, ale možná je v tom ještě něco jiného, nevím)

4) Protony se navzájem elektricky odpuzují. Proto je pro jádro energeticky výhodnější když obsahuje i nějaké neutrony - ty se neodpuzují.

5) Asi jediná věc, která situaci zjednodušuje je fakt, že jaderné síly nerozlišují mezi protony a neutrony. Dva neutrony interagují jadernou silou stejně jako dva protony a stejně jako neutron a proton.


Eletrické odpuzování mezi protony vede (asi spolu s dalšími vlivy) k tomu, že jádra obsahující jen protony vůbec nemohou existovat. Jádra obsahující jen neutrony neexistují také, ale to má možná jednoduchý důvod - že neutrony nejsou samy o sobě stabilní, rozpadají se i samotné, a v jádře, kde je k tomu i potřebná energie se rozpadají ještě snadněji. Kombinace protonů a neutronů je výhodná pro Pauliho vylučovací princip, proton a neutron se mohou nacházet ve stejném (nejnižším) energetickém stauv, zatímco dva protony ani dva neutrony né. Mohly by mít opačný spin, ale to zase nějak vadí těm jaderným silám.

Je také známo, že nejstabilnější jádra jsou "v oblasti" železa, lehčí i těží jádra jsou stabilní méně. Lehčí jádra se mohou slučovat, těžší se zase rozpadají.

Ale jestli to někdo dokáže teoreticky spočítat, to já netuším.

Offline

 

#7 10. 02. 2018 18:48

mák
Místo: Vesmír, Galaxie MD
Příspěvky: 732
Reputace:   57 
 

Re: Výpočet hmotnosti izotopů

Děkuji za obsáhlý výklad, myslel jsem, že to bude jednodušší.
Takže jednoduše lze spočítat pouze vodík${^{1}_{1}H}$, který nepotřebuje žádnou sílu na udržení jádra pohromadě, je tam pouze jeden proton, bez neutronu.

Offline

 

#8 11. 02. 2018 08:53

pietro
Příspěvky: 4256
Reputace:   181 
 

Re: Výpočet hmotnosti izotopů

↑ mák: Ahoj ! A Matrioška pokračuje ďalej . Citujem z WIKI "Protón ako časticu zaraďujeme medzi baryóny a skladá sa z dvoch kvarkov u a jedného d, ktoré sa priťahujú silnou interakciou, sprostredkovanou gluónmi."

Offline

 

#9 11. 02. 2018 10:50

MichalAld
Příspěvky: 939
Reputace:   26 
 

Re: Výpočet hmotnosti izotopů

Ještě jsem si vzpoměl, že lze vytvořit takový 3D graf, na jednu osu vynášíme počet protonů, na druhou počet neutronů v jádře. Takže na ploše dostaneme všechny možné izotopy všech prvků. A na svislou osu vyneseme vazebnou energii (hmotností úbytek), nebo také můžeme na svislou osu vynést poločas rozpadu daného jádra. Celkem si to i odpovídá.

Takovýto graf se nazývá "údolí stability" nebo "údolí nuklidů" protože má tvar údolí. Je trochu problém jej zobrazit, protože prvků je hodně, ale stačí hodit do googlu heslo "valley of stability" a uvidíme spoustu obrázků.

Je zřejmé, že ono "údolí" nemá žádný jednoduchý tvar, že vazebnou energii jádra nevyjadřuje nějaký jednoduchý vzorec.


Viz také na (bohužel jen anglicky, ale jsou tam také pěkné obrázky):
https://en.wikipedia.org/wiki/Valley_of_stability

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson