Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 02. 2018 16:53

thatsmis
Příspěvky: 47
Reputace:   
 

Rovnost velikosti uhlu

Ahojte, mám rpoblém s týmto príkladom:

Označíme-li $\alpha, \beta ,\gamma $ vnitřní úhly v libovolném trojuhelníku ABc, potom platí pro jejich vztah následujíci rovnosti. Dokažte jejich správnost:

$\text{tg}\alpha +\text{tg}\beta +\text{tg}\gamma =\text{tg}\alpha *\text{tg}\beta *\text{tg}\gamma $

Môj postup je nasledovný (urpavujem ľavú stranu):
$\text{tg}\alpha +\text{tg}\beta +\text{tg}\gamma =$
$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\sin \beta }{\cos \beta }+\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }$
$\frac{\cos \beta \sin \alpha +\sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }$
$\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }$

Viem, že ak uhly v trojuholníku sú spolu $\Pi$ , tak $\alpha +\beta =\Pi -\gamma $

$\frac{\sin (\Pi -\gamma )}{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }$

$\frac{\sin \Pi \cos \gamma -\sin \gamma \cos \Pi }{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }$

$\frac{-(-1)\sin \gamma  }{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }$

Dám to na spoločného menovateľa a vyjmem pred zátvorku:

$\frac{\sin \gamma (\cos \alpha \cos \beta +\cos \gamma )}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }$

Z tohto kroku sa neviem ďalej vymotať. Skúšala som si $cos \alpha \cos \beta +\cos \gamma $ prepísať ako
$\frac{1}{2}(\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta ))+\cos \gamma $

ale akokoľvek to potom upravujem, nedostanem s k tomu, čo chcem dokázať. Prosím, ak by mi niekto vedel povedať, čo robím zle. ďakujem :))

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) thatsmis)

#2 09. 02. 2018 17:05

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 3676
Škola:
Reputace:   98 
 

Re: Rovnost velikosti uhlu

↑ thatsmis: Vsetko je v poriadku, ides na to dobre, treba len pokracovat. Dostala si sa k tomu, ze lavu stranu si upravila na $\frac{\sin \gamma (\cos \alpha \cos \beta +\cos \gamma )}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }$. Treba teda ukazat, ze

$\frac{\sin \gamma (\cos \alpha \cos \beta +\cos \gamma )}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }=\text{tg}\alpha *\text{tg}\beta *\text{tg}\gamma $.

Toto mozeme skratit vyrazom $\text{tg} \gamma$ a obe strany prenasobit vyrazom $\cos \alpha \cos \beta$. Co dostaneme?

Offline

 

#3 09. 02. 2018 17:08

thatsmis
Příspěvky: 47
Reputace:   
 

Re: Rovnost velikosti uhlu

↑ vlado_bb: áno, toto ma nenapadlo, ale tento spôsob mi nepríde až tak elegantný, rada by som sa k tomu dostala tým, že budem stále upravovať iba tú ľavú stranu. Nechcem do toho zapájať pravú. Ak mi rozumies :D

Offline

 

#4 09. 02. 2018 17:10

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 3676
Škola:
Reputace:   98 
 

Re: Rovnost velikosti uhlu

↑ thatsmis: Rozumiem, mne sa to sice nezda elegantnejsie, ale ide to aj tak. Staci uvazit, ze $\gamma = \pi - (\alpha +\beta)$.

Offline

 

#5 09. 02. 2018 17:12

thatsmis
Příspěvky: 47
Reputace:   
 

Re: Rovnost velikosti uhlu

↑ vlado_bb: to ma tiež napadlo, ale ako mi to pomôže ? potrebujem tie dva kosínusy v zátvorke sčítať, ale neviem ako nato, keď je tam násobok dvoch. :(

Offline

 

#6 09. 02. 2018 17:18

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 3676
Škola:
Reputace:   98 
 

Re: Rovnost velikosti uhlu

↑ thatsmis: Len si pekne rozpis ten $\cos \gamma$ a nebudes verit vlastnym ociam.

Offline

 

#7 09. 02. 2018 17:23

thatsmis
Příspěvky: 47
Reputace:   
 

Re: Rovnost velikosti uhlu

↑ vlado_bb: jeeeeeeej, ďakujeeem

Offline

 

#8 09. 02. 2018 20:12

Peter_CSR
Místo: Kekistan
Příspěvky: 417
Pozice: Meme
Reputace:   
 

Re: Rovnost velikosti uhlu

heh, našiel som tretie riešenie, ale je v podstate len ekvivaletné s vlado_bb :)


2 + 2 is 4 minus 1 thats 3 quick mafs.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson