Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 11. 02. 2018 01:23

tamrin
Zelenáč
Příspěvky: 13
Reputace:   
 

Dokažte monotonii posloupnosti za pomocí AG nerovnosti

Dobrý den, opět prosím o pomoc, mám dokázat monotonii posloupnosti za použití AG nerovnosti:

$a_{1}=5$
$a_{n}=\frac{1}{4}(3a_{n-1}+\frac{5}{a^{3}_{n-1}})$

Zkoušel jsem napsat AG nerovnost pro čtyři členy:
$a_{n-1}^{3}\cdot \frac{5}{a^{3}_{n-1}}\le (\frac{1}{4}(3a_{n-1}+\frac{5}{a^{3}_{n-1}}))^{4}$
Ale to jsem zřejmě hodně mimo správný postup, protože jsem díky tomu zjistil pouze, že každý člen umocněný na čtvrtou je vyšší než 5? (než ten první člen).

Abych dokázal tu monotonii tak stejně předpokládám, že potřebuji aby ve výsledné nerovnosti byl také člen $a_{n}$?
Prosím tedy o radu, či nasměrování k správnému postupu, vážně nevím jak na to.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) tamrin)

#2 11. 02. 2018 02:21 — Editoval laszky (11. 02. 2018 02:29)

laszky
Příspěvky: 666
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   40 
 

Re: Dokažte monotonii posloupnosti za pomocí AG nerovnosti

No, mas to vlastne skoro uz vymysleny... chces ukazat, ze  $a_n<a_{n-1}$, neboli

$\frac{1}{4}\left(3a_{n-1}+\frac{5}{a_{n-1}^3}\right) < a_{n-1}$.

To po uprave dava nerovnost  $a_{n-1}>\sqrt[4]{5}$.

Pokud tedy pro kazde n dokazes tuto nerovnost, potom dokazes i monotonii.

Jak uz si ale psal, z AG nerovnosti pro kazde n plyne odhad

$a_n = \frac{1}{4}\left(3a_{n-1}+\frac{5}{a_{n-1}^3}\right) = \frac{1}{4}\left(a_{n-1}+a_{n-1}+a_{n-1}+\frac{5}{a_{n-1}^3}\right) \geq \sqrt[4]{a_{n-1}\cdot a_{n-1}\cdot a_{n-1}\cdot\frac{5}{a_{n-1}^3}} = \sqrt[4]{5}$,

pricemz rovnost nastane pouze pro limitni hodnotu $a_{\infty}=\sqrt[4]{5}$, ktere $a_n$ nikdy nenabyva.

Offline

 

#3 11. 02. 2018 02:42

tamrin
Zelenáč
Příspěvky: 13
Reputace:   
 

Re: Dokažte monotonii posloupnosti za pomocí AG nerovnosti

Tak to jsem netušil, že jsem tak blýzko - to mě překvapilo. Děkuju moc.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson