Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 16. 02. 2018 22:13

Morgan1
Příspěvky: 44
Pozice: Student
Reputace:   
 

Teorie relativity a dilatace času

Ahoj, měl bych dotaz ohledně teorie relativity a sice dilatace času. Snažil jsem se ji pochopit na příkladu, kde uvnitř kosmické lodě jsou umístěny 2 zrcadla nad sebou tak, aby se mezi nimi odrážel paprsek světla. Pro pozorovatele v dané soustavě je tedy vztah pro zjištění času, za který se paprsek odrazí od horního zrcadla a doputuje zpátky ke spodnímu následovný:  $\triangle t = \frac{2l}{c}$, kde $l$ vyjadřuje vzdálenost zrcadel.
Pokud jsem příklad pochopil správně, tak pro pozorovatele mimo pohybující se soustavu vytvoří paprsek světla pravoúhlý trojúhelník v důsledku pohybu kosmické lodě. Pro to tedy platí Pythagorova věta:  $\mathrm{(\frac{c\triangle t}{2})}^{2} = \mathrm{l}^{2} + \mathrm{(\frac{v\triangle t}{2})}^{2}$ . Po úpravě vznikne známý vzorec pro dilataci času: $\triangle t = \frac{\triangle t'}{\sqrt{1 - \frac{\mathrm{v}^{2}}{\mathrm{c}^{2}}}}$.

Nejsou však tyto dvě tvrzení sobě rovné? Když přeci budu v pohybující se soustavě, tak trajektorie světla bude vytvářet taktéž pravoúhlý trojúhelník - předek lodi bude před světlem utíkat, zatímco zadek se bude k světlu přibližovat. Je to stejné, jako bych letěl rychlostí světla a dal před sebe zrcadlo - svůj odraz v něm neuvidím, jelikož rychlost světla je absolutní a nesčítá se.
Jak to tedy doopravdy je?


Děkuji všem za odpověď.
Přeji hezký večer :)

Offline

 

#2 16. 02. 2018 23:19 — Editoval MichalAld (16. 02. 2018 23:23)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1552
Reputace:   48 
 

Re: Teorie relativity a dilatace času

Nejdřív bych doporučil si udělat jasno v těch "soustavách". Není žádná "soustava uvnitř lodi" a "soustava vně lodi", ani žádný "pozorovatel vně soustavy" ani žádná "pohybující se soustava". Pozorovatel nemůže "být" či "nebýt" či dokonce "se pohybovat" v nějaké soustavě.

Soustava je způsob, jak určujeme polohu v prostoru a čase, totiž změřením vzdálenosti od nějakého předmětu. Takže říkáme, že jsme "soustavu spojili s tím předmětem". Není to ale nic skutečného, je to jen abstrakce, abychom si ušetřili mluvení o tom, odkud a kam měříme délky. Soustavy jsou nekonečně velké, jak v prostoru tak i v čase. A pozorovatel = soustava, mezi tím není žádný rozdíl, buď mluvíme o pozorovateli, nebo o soustavě, ale znamená to totéž. Žádný "pozorovatel" ve smyslu nějakého živého či polomrtvého človíčka tam vůbec nemusí být.

A všechny (INERCIÁLNÍ) soustavy, jež se vůči sobě navzájem pohybují konstantní rychlostí jsou stejně dobré. Jak se pozná, že je soustava inerciální, do toho bych se teď raději nepouštěl.



Kosmická loď není důležitá, důležitá jsou jen ta zrcadla a světelný paprsek, jež se mezi nimi pohybuje.
Máme tedy situaci, že (popisováno v nějaké soustavě, jedno s čím je spojená, třeba zrovna s tou lodí co nese zrcadla, ale není to vůbec podstatné) se paprsek pohybuje kolmo na ta zrcadla. To je tvůj první případ.

Pak máme jiná zrcadla (klidně v jiné raketě, je to jedno), kde letí paprsek zešikma. Takže se krom odrazů také posouvá dopředu, tou rychlostí v.

Stejně tak dobře může jít o jedna a ta samá zrcadla, na která koukají dva pozorovatelé. Jeden "stojí" a druhý "letí kolem". Schválně to píšu v uvozovkách, protože není žádný speciální důvod si myslet, že hodiny s kolmým paprskem "stojí" a ty druhé "letí". Stejně dobře by to mohlo být naopak, nebo mohou letět obojí. Nelze nijak poznat, které "stojí".

Obojí zrcadla, ty s kolmým paprskem, i ty se šikmým můžeme použít jako "hodiny" - jedna cesta paprsku tam a zpět nám odměří naši jednotku času (můžeme klidně říkat že jednu sekundu, když budou zrcadla správně daleko).

Ale je jasné, že pokud bude rychlost pohybu světla v obou případech stejná, budou hodiny s kolmým paprskem odměřovat kratší sekundy, než ty se šikmým. Jak moc - to udává ten druhý vzorec, co tam máš.

Celý trik je jen v tom, že nemusí jít o dvojí hodiny, může jít o ty samé (ta samá zrcadla) ale dva pozorovatele, kteří se vůči sobě pohybují. Schválně se vyhýbám těm formulacím typu "stojí vůči hodinám" a "pohybuje se vůči hodinám". Né, prostě jeden z nich vidí paprsek kolmo na zrcadla a ten mu odměřuje jeho sekundy. Druhý pozorovatel, který se pohybuje vůči němu, vidí ten druhý typ hodin, se šikmým paprskem. A to tím šikmějším, čím rychleji se pohybuje (vůči prvnímu pozorovateli). On samozřejmě paprsek nevidí, nemůže jej celý vidět, to je dobré mít také na paměti. Ale paprsek tam je a pohybuje se šikmo. Vzdálenost mezi zrcadly je stále stejná (to nevíme, to předpokládáme - protože zatím tu teorii nemáme, snažíme se ji uhodnout). Problém je jen to, že paprsek by měl mít (to chceme) stejnou rychlost, jako pro toho prvního pozorovatele. To je celý problém, kdybychom koukali na tenisový míček mezi stěnami, tak se takto chovat nebude, neměl by pro oba pozorovatele stejnou rychlost. Světlo ji ale má (předpokládáme že ji má, uvidíme, k čemu nás to dovede). Pokud se světlo pohybuje stejnou rychlostí, ale po delší (cik-cak) dráze, musí mu to trvat déle. Takže tomu druhému pozorovateli musí hodiny odměřovat delší sekundy, než tomu prvnímu. Je to nevyhnutelný důsledek toho, že chceme mít stejnou rychlost světla v obou případech - což je zcela proti tomu, na co jsme ze života zvyklí.

K tvým dalším námitkám - nelze nijak rozhodnout, zdali se světlo pohybuje kolmo na zrcadla nebo šikmo a dopředu. Vždy to závisí na vztažné soustavě kterou si vyberu - a v tom máme úplně volnou ruku. Když už si ji ale vyberu, musím vše popisovat důsledně v rámci této soustavy (a už do toho nemíchat něco, co "vidí" jiný pozorovatel z jiné soustavy).

A úvahy o pozorovatelích, jež se sami pohybují rychlostí světla rovnou zapomeň. Nic hmotného se (dle téhle teorie) touhle rychlostí pohybovat nemůže. Vše, s čím můžeme spojit vztažnou soustavu se musí pohybovat pomaleji než světlo - a světlo se vůči všem těmto pozorovatelům pohybuje pořád tou samou rychlostí. Aby mohlo tohleto platit, musí každému pozorovateli běžet čas jinak rychle (a výsledky jeho měření vzdáleností musí být taky jiné).

Pozor: nic nedokazuje, že to v přírodě MUSÍ takto fungovat. Fyzika není matematika, tohle je jen teorie, která obecně nemusí platit. Pokud v rámci experimentu zjistíme, že se svět chová jinak, pak teorii shodíme ze stolu. Tuhle (speciální teorii relativity) se ale dosud nikomu vyvrátit nepodařilo. Naopak, vše se takto chová, a o její platnosti nejsou dnes téměř žádné pochyby.

Offline

 

#3 18. 02. 2018 15:29

Morgan1
Příspěvky: 44
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Teorie relativity a dilatace času

Děkuji mnohokrát, už je mi to trochu jasnější :)

Offline

 

#4 19. 02. 2018 10:14

Tomáš Vencl
Příspěvky: 36
Reputace:   
 

Re: Teorie relativity a dilatace času

Morgan1 napsal(a):

........
Nejsou však tyto dvě tvrzení sobě rovné? Když přeci budu v pohybující se soustavě, tak trajektorie světla bude vytvářet taktéž pravoúhlý trojúhelník - předek lodi bude před světlem utíkat, zatímco zadek se bude k světlu přibližovat. Je to stejné, jako bych letěl rychlostí světla a dal před sebe zrcadlo - svůj odraz v něm neuvidím, jelikož rychlost světla je absolutní a nesčítá se.
Jak to tedy doopravdy je?


Děkuji všem za odpověď.
Přeji hezký večer :)

Když budeš v pohybující se soustavě (tedy uvnitř té rakety), tak vůči Tobě, jako pozorovateli, budou zrcadla stát a pokud budeš pozorovat ten světelný paprsek, bude kmitat po úsečce jen kolmo na zrcadla (rychlostí c).
Dále, rychlostí světla žádný objekt s nenulovou klidovou hmotností letět nemůže, ale může se jí libovolně blížit. I když poletíš v raketě téměř rychlostí světla, tak svůj obraz v zrcadle uvidíš normálně a uvnitř rakety si ničeho divného nevšimneš.
Co se týká rychlosti světla c. Ta absolutnost znamená, že když budu pozorovat tentýž světelný paprsek z různých soustav, které se vůči němu pohybují, přesto pokaždé naměřím jeho rychlost c. A protože se při pohledu z různých soustav nemění c, tak se musí měnit něco jiného, a to jiné jsou právě vzdálenosti a časy, jak ukazuje Lorentzova transformace.

Offline

 

#5 20. 02. 2018 12:48 — Editoval Morgan1 (20. 02. 2018 15:14)

Morgan1
Příspěvky: 44
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Teorie relativity a dilatace času

↑ Tomáš Vencl:Děkuji za reakci, nejspíše tomu rozumím, ale pro jistotu zkusím položit další otázku v podobě příkladu:
1. Máme vesmírnou raketu dlouhou: $3 * 10^{5}m$, tedy 1 světelnou sekundu, která letí rychlostí podobné c. Já, jakožto pozorovatel uvnitř lodi chci zjistit, jak dlouho poletí světelný paprsek z 1. konce lodě na 2. konec a zpět. Jelikož délka rakety je 1 světelná sekunda, a světlo letí na 2. konec a potom zase zpět, výsledkem budou 2 sekundy?
2. Příklad stejný jako č. 1, změna je pouze v tom, že rychlost rakety je např. 99% c(297000km/s), a pozorovatel je mimo loď. Opět chci zjistit dobu, za kterou paprsek procestuje dráhu jako v minulém příkladu. Tady ale musím využít vzorců pro dilataci času, tedy: $\triangle t = \frac{2}{\sqrt{1-(\frac{297000}{300000})^{2}\frac{}{}}}$, po výpočtu výjde $14,17s$ ?

Děkuji.

Offline

 

#6 20. 02. 2018 14:36

Tomáš Vencl
Příspěvky: 36
Reputace:   
 

Re: Teorie relativity a dilatace času

↑ Morgan1:
1.Pokud ta délka rakety je zadaná v soustavě pozorovatele uvnitř lodi (tedy jakou délku naměří kosmonaut svým metrem), pak ano.
2.Ano, to, co se bude uvnitř jevit jako 2 sekundy bude "zvenku" těch cca 14.

Také to jde udělat složitěji a přímo vyšetřovat dráhu toho paprsku při pohledu "zvenku". Samozřejmě, raketa se v tomto případě příslušně zkrátí kontrakcí, ale navíc je třeba brát v úvahu, že konec rakety před světlem utíká a po odrazu se druhý konec přibližuje (nebo obráceně podle toho z kterého konce byl paprsek vyslán, zda po směru, nebo proti směru letu). Výsledek musí být opět těch 14.

Nebo si to lze ještě otočit o 90 st. a paprsek bude kmitat kolmo na pohyb rakety, tam neuvažujeme žádnou délkovou kontrakci. Pak je to ten klasický příklad světelných hodin z 1. příspěvku a výsledek bude zase stejný (14).

Offline

 

#7 20. 02. 2018 14:53

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1552
Reputace:   48 
 

Re: Teorie relativity a dilatace času

Bod 1. je OK, přesně, jak to píšeš.

Bod 2. Mělo by se to dělat jinak, i když možná nakonec dostaneme stejný výsledek. Ty vidíš raketu letící rychlostí 0.99c. Má nějakou délku L (k tomu se dostaneme později). Má počátek a konec. Z konce vyrazí (v čase t=0) paprsek, letí rychlostí c dopředu, k počátku (špici) rakety. Jenže počátek před ním uhýbá, tou rychlostí 0.99c. Až tam dorazí, tak se odrazí a letí zpět (opět rychlostí c), naproti němu letí konec rakety, 0.99c. Takže dopředu to trvá dost dlouho, zpátky je to rychleji. Takto nadvakrát spočítáš ten čas.

Ale je tam ještě problém s délkou rakety - protože my známe jen délku "v klidu". Délka letící rakety bude jiná, menší, na to je zase vzorec pro kontrakci délek.

Když tohle všechno uděláš, měl bys dostat výsledek, který odpovídá vzorci pro dilataci času. Aspoň teda myslím,
teď mě nenapadá proč by to mělo být jinak. Ale na 100% si teď jistý nejsem, musel bych se nad tím trochu víc zamyslet.

Ale i když to vyjde jak má, moc to nevypovídá - protože jsme tam vložili ten vztah pro kontrakci délek - ktery jsme si, tak říkajíc, "vyčarovali ze vzduchu". Proto se dilatace času zpravidla demonstruje na zrcadlech umístěných kolmo na směr pohybu - v příčném směru k žádné kontrakci délek nedochází, a ta podélná nám výpočet  neovlivňuje.

Offline

 

#8 20. 02. 2018 14:54

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1552
Reputace:   48 
 

Re: Teorie relativity a dilatace času

↑ Tomáš Vencl:Čau, chlope...(koukám, že píšeme to samé...)

Offline

 

#9 20. 02. 2018 15:16 — Editoval MichalAld (20. 02. 2018 15:35)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1552
Reputace:   48 
 

Re: Teorie relativity a dilatace času

Tak už jsem si to i zkusil spočítat, a je to jak jsem (já nebo Tomáš) říkal.

Pokud bychom neuvažovali kontrakci délek, dostaneme ve 2. případě výsledek

$t=2\frac{L}{c} \ \frac{1}{1- \frac{v^2}{c^2}}$

Pokud do toho přidáme i kontrakci délek, tedy

$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

dostaneme správný výsledek (který odpovídá vztahu pro dilataci času)

$t=2\frac{L_0}{c} \ \frac{1}{\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}}}$

L0 je délka rakety měřená "v klidu" - s tím asi žádný problém není.

L je délka pohybující se rakety, zde je to už dost náročné na představu správně definovat, jak měříme délku pohybujícího se objektu. Tožiž že "ve stejném čase" si poznamenáme souřadnice začátku a konce rakety a pak je odečteme. Důležité je to "ve stejném čase", protože to platí jen v rámci naší soustavy. Z jiné soustavy už to ve stejném čase nebude.


Vždy je dobré si představovat, že v každém bodě prostoru máme hodiny, a všechny jdou "stejně" - jsou synchronizované. A pokud určujeme čas nějaké události, musíme vždy použít hodiny přesně v místě, kde se událost stala. Jinak se v tom zamotáme a dojdeme k nesmyslům. V teorii relativity nelze nic měřit "na dálku". Představa "měření na dálku" bývá částým zdrojem chyb či paradoxů.

Offline

 

#10 20. 02. 2018 17:03 — Editoval Tomáš Vencl (20. 02. 2018 17:11)

Tomáš Vencl
Příspěvky: 36
Reputace:   
 

Re: Teorie relativity a dilatace času

MichalAld napsal(a):

......Ale i když to vyjde jak má, moc to nevypovídá - protože jsme tam vložili ten vztah pro kontrakci délek - ktery jsme si, tak říkajíc, "vyčarovali ze vzduchu". Proto se dilatace času zpravidla demonstruje na zrcadlech umístěných kolmo na směr pohybu - v příčném směru k žádné kontrakci délek nedochází, a ta podélná nám výpočet  neovlivňuje.

On se totiž ten vzorec pro kontrakci délek podobným způsobem vlastně dá snadno odvodit.

Představ si raketu a uvnitř dvoje stejné světelné hodiny. Jedny s paprskem po směru letu a druhé kolmé na první s paprskem kolmým ke směru letu. V soustavě rakety oboje hodiny tikají stejně rychle (tam není žádný pohyb a situace je plně symetrická).
Samozřejmě že i při pohledu zvenku na pohybující se raketu budou oboje hodiny tikat stejně rychle (hodiny lze naaranžovat tak aby například jeden konec měly společný a pokud je příchod paprsků do společného bodu současný v jedné soustavě, bude i ve všech ostatních. Současnost soumístných událostí je absolutní).
Jenže při pohledu zvenku jeden paprsek letí cik-cak a druhý honí utíkající zrcadlo a pak se vrací.
Pokud se takto spočítá čas obou paprsků, nejsou stejné. Nicméně v předešlém odstavci bylo řečeno, že stejné být musí. Čili je třeba zavést korekci.
Rychlost c je postulát, tam se nic měnit nemůže, to znamená, že jediná možnost je nějak změnit vzdálenosti. Pokud bychom měnili vzdálenosti zrcadel paprsku kolmého na pohyb, dojdeme k dalším paradoxům, takže zbývá změnit vzdálenost zrcadel po směru pohybu. Lze ukázat, že zmíněná korekce (aby čas obou hodin byl stejný) je právě Lorentzova transformace délek.
V podstatě je to ekvivalentní Tvému poslednímu příspěvku.

Offline

 

#11 20. 02. 2018 17:21

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1552
Reputace:   48 
 

Re: Teorie relativity a dilatace času

↑ Tomáš Vencl:
No jo, to máš vlastně pravdu.

Offline

 

#12 20. 02. 2018 20:02

Morgan1
Příspěvky: 44
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Teorie relativity a dilatace času

Děkuji mnohokrát vám oběma, už tomu konečně přicházím na kloub :)

Offline

 

#13 21. 02. 2018 20:23

Morgan1
Příspěvky: 44
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Teorie relativity a dilatace času

Měl bych ještě dotaz:  V klidové soustavě je budova, která měří na délku opět 1 světelnou sekundu. Opět zde budou "laserové hodiny", kde paprsek poletí od 1 konce na 2. a zpět. V klidové soustavě tedy paprsek bude cestovat 2s. Jak to ale uvidím já, budu-li v raketě, která kolem poletí 99% c ? Uvidím naopak budovu delší, než je 1 světelná sekunda? A jak to bude s časem? Bude platit vztah: $\triangle t' = \triangle t * \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$ ?
Diky

Offline

 

#14 21. 02. 2018 20:56

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1552
Reputace:   48 
 

Re: Teorie relativity a dilatace času

Jednak netuším, co je "klidová soustava", a jednak nechápu, v čem se situace liší od té předchozí. Myslíš jako, že pro "budovu" se budou používat jiné vzorce než pro "raketu" ?

Ušetříš si část komplikací, když ze svých úvah ty stavební či montované objekty vynecháš, nemají na nic vliv. Postačí ti soustava spojená se zrcadly a soustava pohybující se vůči zrcadlům.

(a ano, bude to přesně jako předtím, budova bude zkrácená dle vzorce pro kontrakci délek a časový interval bude delší v souladu se vzorcem pro dilataci času - ten vzorec, co uvádíš je naopak, tou odmocninou se to nemá násobit ale dělit).

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson