Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 02. 2018 12:44

Xainna
Příspěvky: 101
Reputace:   
 

STR - Lorentzova transformační matice

Ahoj, chtěla bych se zeptat, jestli matice Lorentzovy transformace je či není tenzor. Mate mě totiž to, že při inverzní transformaci se mění u některých členů znaménko, ale zároveň jedná se o základní transformační matici souřadnic mezi dvěma inerciálními systémy. Vím, že tenzor je v STR výhodný právě proto, že nezávisí na bázi daného systému, ale v praxi moc nevím, jak takový tenzor rozeznat od obyčejné matice.

Offline

 

#2 24. 02. 2018 19:14

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1552
Reputace:   48 
 

Re: STR - Lorentzova transformační matice

Algebra není úplně moje nejsilnější stránka, třeba se ukáže ještě někdo, kdo tomu rozumí více.

Každopádně, tenzor je definovaný právě tím, jak se transformuje při změně souřadné soustavy. Z matematického hlediska, teda. Pokud máme nějakou matici, ve které jsou už jen čísla, tak to nepoznáme. Jak taky. Musíme vědět, jak jsme tu matici stvořili.

Nejjednodušíš je to u skaláru (čísla). Pěkný skalár je třeba teplota vzduchu v nějaké místnosti. V každém bodě je nějaká teplota. Pokud si souřadný systém umístíme do levého spodního rohu, nebo pravého horního, rozložení teploty se nijak nezmění. Náš bod, ve kterém je umístěný teploměr, má sice pokaždé jiné souřadnice, ale je to "pořád ten samý bod". My to máme jednoduché, my víme, co je "pořád ten samý bod" (je tam náš teploměr, někde na zdi). Matematici to mají o dost horší, oni mají jen ty souřadnice, a já sám přesně nevím, jak to řeší.

Když ale místo teploty vezmeme třeba rychlost proudění vzduchu, v nějakém bodě, celá situace se dost zkomplikuje. Protože rychlost má i směr, je to vektor, a když si změníme souřadný systém (pro určení polohy toho bodu), změníme si i souřadný sytém pro ten vektor rychlosti. V jednom souřadném systému má rychlost vzduchu směr osy x, ve druhém směr třeba někde mezi osam y a z.
Abychom mohli rychlost označit za tenzor (vektor), musí se její souřadnice transformovat stejným způsobem (stejnou  transformační maticí) jako se transformují souřadnice toho bodu.


Pokud máme tenzor druhého řádu, je to ještě méně názorné. Nicméně matici můžeme zkonstruovat jako vnější (doufám, že se to tak jmenuje) součin dvou vektorů. A když známe pravidla jak transformovat vektory, odvodíme tak i pravidla pro transformování matice.

Analogicky můžeme postupovat pro tenzory vyšších řádů.

--------------

Tvrzení, že tenzor nezávisí na souřadném systému, to platí jen fyzikálně. Matematicky to platí jen pro skalár. Matice (její složky) je v každém souřadném systému jiná. Pokud se ovšem matice transformuje tím správným způsobem, vypadá to (ve skutečném světě) jako by byla pořád stejná. Protože realita je pořád stejná, houby závisí na tom, kam si umístíme počátek souřadnic a jak si ho natočíme. Skutečný svět žádný souřadný systém nepotřebuje.

Je to podobné, jako když si kreslíš vektory na papíře (jak se to učí na základní škole - sčítání sil - tím rovnoběžníkem sil. Žádný souřadný systém tam není, a nikdo se nestará o složky vektorů. Pokud to ale chceme počítat, souřadný systém musíme zavést a vyjádřit složky vektorů. A pokud následně zavedeme jiný souřadný systém, složky vektorů (i matic a tenzorů vyšších řádů) musíme přepočítat. A pokud jsou to opravdu vektory (tenzory), tak "zůstanou, na tom papíře, pořád na stejném místě".

To je ten trik, složky vektorů se mění, ale "ve skutečnosti" jsou vektory pořád stejné.

-------------

Závěrem, myslím, že i Lorentzova transformační matice má tuto vlastnost, že je tenzorem, ale na 100% to tvrdit nemůžu, jak jsem už řekl, algebra není moje nejsilnější stránka. Na druhou stranu, všechny fyzikální veličiny (měřitelné určitě) by tenzory být měly.

A úplně na závěr aspoň pár příkladů věcí, které tenzory určitě nejsou. Třeba X-ová složka vektorů síly není skalárem. Při otáčení souřadné soustavy se bude měnit (skalár by se neměnil), pokud ale nebudeme znát ty ostatní složky (y, z), nikdy nezjistíme, jak se bude měnit.

Stejně tak v teorii relativity není skalár čas (t) a ani polohový vektor (x, y, z) není tenzorem (takže to vlastně není vektor). Pouze celý čtyřvektor x,y,z,t je tenzorem.

Což mi ještě připomíná, že v STR by se mělo mluvit o čtyřvektorech a čtyřtenzorech.

Offline

 

#3 26. 02. 2018 00:24

Xainna
Příspěvky: 101
Reputace:   
 

Re: STR - Lorentzova transformační matice

↑ MichalAld:

Děkuji za takové podrobné vysvětlení, ale už vím, že matice Lorentzovy transformace tenzory nejsou. To, že v té matici jsou vyjádřený nějaké obecné veličiny (nečíselně) jsem nemyslela jako, že ty hodnoty konkrétních veličin nemohou být v různých inerc. systémech různé, ale to mínus u té veličiny při inverzní transformaci. Tenzor se pozná podle transformace, a ta nesplňuje všechny požadavky.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson