Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 13. 03. 2018 11:23 — Editoval Andrejka3 (13. 03. 2018 11:30)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1915
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   114 
 

Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

Ahoj.
Mám těleso, které vznikne z krychle odřezáním všech jejích rohů (v půlkách hran). Zajímalo by mě, jak by se dala vypočítat pravděpodobnost, že po náhodném hodu padne trojúhelník (stojí na trojúhelníkové stěně).

Máte nějaký nápad (kromě dostatečně mnohokrát opakovaného pokusu :D )?


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#2 13. 03. 2018 11:41 — Editoval Ferdish (13. 03. 2018 11:42)

Ferdish
Příspěvky: 765
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: ml. vedecký pracovník
Reputace:   24 
 

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

Ak steny považuješ za rovnocenné, čo tak pomer počtu trojuholníkových stien k celkovému počtu stien telesa? :-)

Offline

 

#3 13. 03. 2018 12:20 — Editoval Andrejka3 (13. 03. 2018 13:07)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1915
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   114 
 

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

↑ Ferdish:
Ráda bych to přiblížila skutečnosti. Myslím, že nejsou rovnocenné.

Možná by mohlo mít smysl uvažovat situaci, kdy kostka leží na hraně, projít úhly náklonu a dívat se, kde je těžiště -- kam se to převáží (mi poradil kamarád)(?)

Edit: Pokud je ta kostka právě postavená na hranu a má nulovou rychlost, pak s 64% pravděpodobností spadne na čtverec. viz Wolfram


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#4 13. 03. 2018 14:56 — Editoval Ferdish (13. 03. 2018 14:56)

Ferdish
Příspěvky: 765
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: ml. vedecký pracovník
Reputace:   24 
 

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

Tak samozrejme, v prípade nerovnocennosti bude treba uvažovať polohu ťažiska a veľkosti uhlov naklonenia.

V tom prípade ale (aby sme sa naozaj priblížili skutočnosti) bude treba okrem prípadu, kedy teleso leží na hrane, uvažovať aj prípad, kedy kocka bude balansovať na vrchole...

Offline

 

#5 14. 03. 2018 07:24

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1915
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   114 
 

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

↑ Ferdish:
Jak na to? A jak potom vyvodit něco z těch dvou výsledků?


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#6 14. 03. 2018 12:20

Honzc
Příspěvky: 3796
Reputace:   210 
 

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

↑ Andrejka3:
Takové těleso se nazývá "cuboctahedron".
Obrázek


Zkusil bych třeba jako poměr ploch (povrchů)(předpokládejme hrana=a=1)
Pak
$S_{c}=6+2\sqrt{3}$
$S_{t}=2\sqrt{3}$
$p=\frac{S_{t}}{S_{c}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0.366$

Offline

 

#7 14. 03. 2018 13:33 — Editoval vanok (14. 03. 2018 18:16)

vanok
Příspěvky: 12750
Reputace:   714 
 

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

Pozdravujem ↑ Honzc: a tiez aj ↑ Andrejka3:,
To si myslel na https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cuboctahedron.
Ale pozor. Taka obrezana kocka ma vsetki hrany rovnakej dlzky. 
A tiez je  dobre vyvazena, lebo ak sa nemylim vtedy aj vzdialenost vrcholov od centra objemu je taka ista ako dlzka hran. 
Edit.  Ako to potvrdil kolega Honzc ↑ Honzc:
Edit. 
(Ake su ine stabilne situacie obrezanej kocky? Ine ako dva extremne pripady, povodnu kocku a   uplne obrezanej kocky, co da pravidelny tetraeder. 
Edit.
Dalsie stopy ako vysetrit stabilitu
Vdaka https://en.m.wikipedia.org/wiki/Stabili … 564203723. 
No vsak neviem ako modelizovat taku situaciu.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 14. 03. 2018 14:31 — Editoval Honzc (14. 03. 2018 14:36)

Honzc
Příspěvky: 3796
Reputace:   210 
 

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

↑ vanok:
Však v zadání je, že rohy se ořezávají do poloviny hran
Pak takové těleso je popravidelné (Archimedes) těleso cuboctotahodron tvořené 8-mi rovnostrannými trojúhelníkovými plochami a 6-ti čtverci. Takové těleso má všechny hrany stejně dlouhé.
Dokonce když budeme řezat krychli o hraně délky a=sqrt(2) bude délka krany c. dlouhá c=1.
Něco ktomuto tělesu Tady

Opsaná koule má poloměr opravdu R=1, těžiště tělesa je v jejím středu.
Z toho jsem vycházel při výpočtu

Offline

 

#9 14. 03. 2018 15:08

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5069
Reputace:   193 
Web
 

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

Já bych vyšel z velikosti prostorových úhlů se středem v těžišti.

Offline

 

#10 14. 03. 2018 16:38 — Editoval laszky (19. 03. 2018 22:50)

laszky
Příspěvky: 773
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   46 
 

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

Ahoj, pokusil jsem se na to prijit takhle...

Spocital jsem energii, ktera je nutna k prevraceni kostky ze ctverce na trojuhelnik, resp. obracene. To mi vyslo

$\square \to \Delta \qquad E_{ct}=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})mga \; \approx \; 0.1589\, mga$

$\Delta\to\square\qquad E_{tc}=\frac{\sqrt{3}}{6}(\sqrt{2}-1)mga \; \approx \; 0.1196\, mga$

Takze by se zdalo, ze ctverec bude padat casteji, protoze k prevraceni na ctverec je zapotrebi mene energie.

Pak jsem se snazil vzit do uvahy kinetickou energii kostky. Pri prechodu z trojuhelnika na ctverec dojde ke zmene smeru rychlosti a ta by se mela zmensit.

$\square\to\Delta \qquad v_{ct,out} = v_{ct,in}\cos{0} = v_{ct,in}$

$\Delta\to\square \qquad v_{tc,out} = v_{tc,in}\cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} v_{tc,in} $

Tim padem se zmensi i kineticka energie a lze urcit rychlosti, pri kterych dojde k prevraceni na jednu stenu, ale na dalsi stenu uz se kostka neprevrati.

Ctverec tedy padne, pokud


$\square \qquad   \frac{\sqrt{3}}{6}(\sqrt{2}-1)\,mga \leq E_{kin,in}= E_{kin,out} < \frac{1}{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})\,mga$

Trojuhelnik padne pokud

$\Delta \qquad  \frac{1}{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})\,mga \leq E_{kin,in}=4 E_{kin,out} <4\cdot  \frac{\sqrt{3}}{6}(\sqrt{2}-1) \,mga$

Pro rychlosti to vychazi nasledovne.

$\square \qquad (\sqrt{ga}\,0.4890)^2\; \approx \; ga \frac{\sqrt{3}}{3}(\sqrt{2}-1) \leq v_{\square}^2 < ga(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \; \approx \; (\sqrt{ga}\,0.5638)^2$

$\Delta \qquad (\sqrt{ga}\,0.5638)^2\; \approx \; ga(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \leq v_{\Delta}^2 < 4ga \frac{\sqrt{3}}{3}(\sqrt{2}-1)  \; \approx \; (\sqrt{ga}\,0.9781)^2$

Pokud je tedy tesne pred pritisknutim steny k podkladu rychlost v uvedenem rozmezi, kostka se jiz dale neprevrati, zaroven ale rychlost byla dostatecne velka, aby se kostka mohla na aktualni stenu prevratit. Ted by se mozna melo urcit jake je rozmezi pocatecnich rychlosti kostky a urcit z jake pocatecni rychlosti lze dospet do jednoho z uvedenych stavu (samozrejme pro idealni podklad a idealni "kostku" ktera neskace atd.).

Ale jelikoz nejsem fyzik, tak je taky mozny, ze jsem nekde napsal nesmysl  :-)

Edit: Opravil jsem preklep ve dvou cislech.

Jeste dalsi uvahy:

Offline

 

#11 14. 03. 2018 17:00

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1915
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   114 
 

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

Ahoj všichni! A dík. Vyrábí se dřevěný exemplář.

↑ Honzc: a ↑ Stýv: vyjde stejně, že?

↑ vanok: jsem přelítla, a vypadá to nad moje možnosti.

↑ laszky: se pokusím vstřebat.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#12 14. 03. 2018 17:56 Příspěvek uživatele check_drummer byl skryt uživatelem check_drummer. Důvod: Aha, to je zakázané. :-)

#13 14. 03. 2018 21:04

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5069
Reputace:   193 
Web
 

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

Andrejka3 napsal(a):

↑ Honzc: a ↑ Stýv: vyjde stejně, že?

Tím si právě nejsem jistý. Určitě to bude podobný číslo, ale plocha stěny nemusí být přímo úměrná ploše jejího průmětu na opsanou kouli.

Offline

 

#14 14. 03. 2018 23:31

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1915
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   114 
 

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

check_drummer: Tu závorku jsem psala speciálně kvůli Tobě, ale příště Ti to potěšení nevezmu :)


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#15 15. 03. 2018 00:18 Příspěvek uživatele laszky byl skryt uživatelem laszky.

#16 15. 03. 2018 20:21

MichalAld
Příspěvky: 749
Reputace:   21 
 

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

Podle mě to určitě souvisí s tou energií, potřebnou k tomu, aby se kostka dostala z polohy "sedící na ploše" do polohy "na hraně", odkud se může zase převalit jinam.

Jen nevím, jestli pravděpodobnost bude lineárně úměrná té energii, nebo to bude spíš něco jako Boltzmanovo rozdělení

Pokud budou rohy seříznuté "dobře", aby energie na rohové ploše byla stejná jako na kostkové ploše, měla by být i pravděpodobnost stejná - krom samozřejmě toho, že rohů bylo 8, zatímco ploch jen 6.

Ale ještě je tam komplikace s tvarem těch ploch, jedny budou mít tvar trojúhelníka, jiné šestiúhelníka, takže závislost na směru rychlosti bude také jiná. Ale otázka je, jestli to má na něco vliv, protože třeba ve statistické mechanice (odkud pochází to Boltzmanovo rozdělení) závisí pravděpodobnost obsazení stavu jen na jeho energii, a tyhle podružné síly (co nekonají práci) nemají na nic vliv. Jenže je otázka, lze li tohle aplikovat na házení kostkou.

Pokud by se měla i kostka při vrhu řídit Boltzmanovou mechanikou, pak je to velmi jednoduché - pravděpodobnost stavu záleží jen na jeho energii (výšce těžiště nad podložkou), a to exponenciálně. Ale jak říkám, to platí pro stav tepelné rovnováhy, což kostka zrovna není.

Taky je možné že se to bude chovat jinak při házení na hladké (kluzké) podložce, jako třeba na povrchu stolu, a jinak třeba na stolu pokrytém gumou....já si popravdě nedokážu představit ani výpočet toho, jak dlouho se vydrží kostka po stole kutálet.

Offline

 

#17 15. 03. 2018 20:52

MichalAld
Příspěvky: 749
Reputace:   21 
 

Re: Hod mnohostěnem, pravděpodobnost, že padne jistá stěna

Andrejka3 napsal(a):

Pokud je ta kostka právě postavená na hranu a má nulovou rychlost, pak s 64% pravděpodobností spadne na čtverec. viz Wolfram

Nemáš k dispozici nějaké jednoduché fyzikální zdůvodnění, proč by to tak mělo být ?

Podle mě, pokud stojí kostka na hraně (že její těžiště je svisle nad tou hranou), bude tak stát navěky. Plyne to z 2. Newtonova zákona.

A pokud kostka nakonec na nějakou stranu spadne, tak je to buď proto, že nebyla postanevá úplně přesně, nebo proto, že na ni zapůsobila nějaká malinká síla, kterou jsme přehlédli - závan větru, zachvění podložky, prostě cokoliv.

V obou případech "ta věc" co způsobila pád kostky na konkrétní stranu vůbec nesouvisí s geometrií kostky samotné.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson