Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#51 21. 05. 2018 22:42

check_drummer
Příspěvky: 2603
Reputace:   71 
 

Re: doplnte cislo

MichalAld napsal(a):

No ale nakonec i tady se setkáváme s tím, že abychom se dopočítali výsledku, je nejprve třeba vhodně doplnit (či upravit) zadání.

To je to co jsem psal někde na začátku - pokud by se přidaly nějaké dodatečné informace jako např. že následující člen závisí na předchozích (např. nejvýše dvou), že ta závislost je např. algebraická, tj. v tom vzorci se může vyskytovat jen násobení a sčítání, apod. , tak by se z toho stala legální úloha, která by navíc mohla mít i jediné řešení.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#52 21. 05. 2018 22:50

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: doplnte cislo

↑ check_drummer:
Jenže my jsme hloupí a nechápeme to (že opravdu chytrý člověk nepotřebuje znát zadání, aby spočítal výsledek).

Offline

 

#53 22. 05. 2018 11:14

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8473
Reputace:   494 
 

Re: doplnte cislo

↑↑ MichalAld:

Ano, tak to vidím i já.

PS.
Transfinitní indukci neumím dostatečně vysvětlit několika větami.
Pokud by Tě toto téma zajímalo, zkus zalistovat na webu, možná něco najdeš.
(Souvsející pojmy: ordinál, ordinální číslo, kardinální číslo).

Offline

 

#54 22. 05. 2018 17:17 — Editoval KennyMcCormick (22. 05. 2018 17:19)

KennyMcCormick
Příspěvky: 1516
Reputace:   50 
 

Re: doplnte cislo

↑↑ MichalAld:

postup, kdy z obecného vztahu odvodíme speciální

No jo, to je pravda...


↑↑ check_drummer:

To určitě ne, vlastnost logicky vydedukuješ z axiomů (které jsou voleny tak, aby byly co nejjednodušší, tj. abych jejich stanovení bylo snadné a co nejméně diskutabilní)

To můžeš, ale v tom případě se potřeba hádat přenáší na potřebu uhodnout správné axiomy. (Pokud mluvíme o fyzice, a ne o matematice.)

Pokud si pomůžeš tím, že použiješ jednoduchost jako jedno z měřítek k vybrání jedinečných axiomů, přenesla se nutnost hádat na uhodnutí správné definice jednoduchosti.

Odstranit tuhle nutnost je nemožné.


Even if you take the best course of action, the universe is still allowed to say "So what?" and kill you.

Offline

 

#55 23. 05. 2018 22:17

check_drummer
Příspěvky: 2603
Reputace:   71 
 

Re: doplnte cislo

KennyMcCormick napsal(a):

To můžeš, ale v tom případě se potřeba hádat přenáší na potřebu uhodnout správné axiomy. (Pokud mluvíme o fyzice, a ne o matematice.)

Pokud si pomůžeš tím, že použiješ jednoduchost jako jedno z měřítek k vybrání jedinečných axiomů, přenesla se nutnost hádat na uhodnutí správné definice jednoduchosti.

Odstranit tuhle nutnost je nemožné.

Co jsou to správné axiomy? Nestačí jakékoliv axiomy? Axiomy mohu volit tak, že je budu postupně (jak provádím víc a víc pokusů) aktualizovat tak, aby jejich sada byla co nejobecnější a co nejmenší. V nejtriviálnějším případě prohlasím na axiom jakýkoli změřený jev - jazykem matematiky, za axiomy prohlásím všechny pravdivé výroky.
Pokud však mám jako kriterium definovat ty axiomy co nejejdnodušeji, tak je nutné vědět, co ta jednoduchost znamená - jak píšeš. V něklterých případech je intuitivně zřejmé, že je nějaká sada axiomů jednodušší než jiná, jindy to ale zřejmé není (např. je výraz obsahící násobení jednodušší než vžraz obsahující 10 sčítání?).

Dále je otázka co vlastně znamená "hádání". Můžeme říci, že nic než hádání neprovádíme - hádám, že v lednici najdu to, co jsem tam včera dal, hádám, že ráno vyjde slunce, hádám, že když pustím kámen, bude padat k zemi, hádám, že když se něco 100x stalo, že po 101ní se to snane zas, rovněž tak hádám tvar důkazu tvrzení, které se pokouším dokázat, atd.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#56 23. 05. 2018 22:35

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: doplnte cislo

check_drummer napsal(a):

Co jsou to správné axiomy? Nestačí jakékoliv axiomy? Axiomy mohu volit tak, že je budu postupně (jak provádím víc a víc pokusů) aktualizovat tak, aby jejich sada byla co nejobecnější a co nejmenší. V nejtriviálnějším případě prohlasím na axiom jakýkoli změřený jev - jazykem matematiky, za axiomy prohlásím všechny pravdivé výroky.

Jenže tak to ve fyzice myslím nefunguje. Pokud máme nějaký systém axiomů nazvat fyzikální teorií, musí podle něj jít vytvořit nějaká PŘEDPOVĚĎ, předpověď něčeho, co jsme dosud nezměřili. Jinak je to jen "sběr dat".


Taky si myslím, že fyzikům nějak principiálně nejde o to, aby ten soubor axiomů byl co nejjednodušší, jim jde spíš o to, aby byl co nejuniverzálnější, tj aby z daného (bezesporného) systému šlo udělat co nejvíce předpovědí, pro co nejvíce fyzikálních situací - stavbu atomů i stavbu galaxie a vesmíru, a k tomu ještě funkci mobilního telefonu a chováční počasí na Zemi. "Jednoduchost" není důležitá, zjednodušit to mohou kdyžtak matematici, že...

A určitě bych neřekl, že je to nějaká jednoduchá činnost...o počasí máme záznamů téměř nekonečno, a stejně je nám to na nic...

Offline

 

#57 24. 05. 2018 11:16 — Editoval Rumburak (24. 05. 2018 14:01)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8473
Reputace:   494 
 

Re: doplnte cislo

↑ check_drummer:
Ahoj.

za axiomy prohlásím všechny pravdivé výroky.

Tak to nefunguje ani v matematice.  Které výroky jsou "pravdivé" ?  To právě
závisí na tom, ze které axiomatické soustavy vycházíme.

Matematická teorie je de facto hra:

Zvolíme si soustavu axiomů (tj. určité výroky prohlásíme za pravdivé) a hledáme
jejich důsledky. Při tom se snažíme, aby axiomů nebylo zbytečně mnoho.

Pokud se dostaneme ke sporu, znamená to, že jsme soustavu axiomů zvolili chybně.

Pokud se nám nepodaří dokázat něco, co očekáváme  (například že pro libovolná
přirozená čísla a, b, c platí  a(b+c) = ab + ac,  budujeme-li teorii přirozených čísel),
může to znamenat buď to že nejsme při hledání důlkazu dosti obratní nebo že
soustava axiomů je zvolena nesprávně (vzhledem k našemu očekávání).


Matematická teorie je nejen o axiomech a větách, ale také o pojmech. Ty jsou
dvojího druhu:

- základní neboli primitivní pojmy, z nichž vycházíme, aniž bychom je definovali
  (o nich jsou formulovány základní axiomy),

- další pojmy, které jsou postupně zaváděny přesnými definicemi.

Offline

 

#58 24. 05. 2018 22:05

check_drummer
Příspěvky: 2603
Reputace:   71 
 

Re: doplnte cislo

↑ MichalAld:
Já psal, že ty axiomy postupně aktualizujeme (např. má-li mnoho pokusů nějaký společný výsledek, pak z nich nějak "vyrobíme" axiom). Ale je pravda, že ten triviální postup "přidej vše" není rozumný - chyběla by ta predikovatelnost.

Fyzikům jde také o jednoduchost - viz ta Ocaamova břitva, která tu dříve zazněla. Pokud nějakou jednoduchou teorií vysvětlím 995 jevů z 1000 a jinou o mnoho složitější teorií vysvětlím 996 jevů z 1000, tak si asi vyberu tu jednodušší. (Další otázka je, zda vůbec může být nějaká fyzikální teorie absolutně přesná.)


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#59 24. 05. 2018 22:07

check_drummer
Příspěvky: 2603
Reputace:   71 
 

Re: doplnte cislo

Rumburak napsal(a):

↑ check_drummer:
Ahoj.

za axiomy prohlásím všechny pravdivé výroky.

Tak to nefunguje ani v matematice.  Které výroky jsou "pravdivé" ?  To právě
závisí na tom, ze které axiomatické soustavy vycházíme.

Ahoj - ale já psal pravdivé a nikoli dokazatelné. Pravdivost na axiomech nezávisí - ta závisí na konkrétním modelu.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#60 25. 05. 2018 16:23

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: doplnte cislo

check_drummer napsal(a):

Fyzikům jde také o jednoduchost - viz ta Ocaamova břitva, která tu dříve zazněla. Pokud nějakou jednoduchou teorií vysvětlím 995 jevů z 1000 a jinou o mnoho složitější teorií vysvětlím 996 jevů z 1000, tak si asi vyberu tu jednodušší. (Další otázka je, zda vůbec může být nějaká fyzikální teorie absolutně přesná.)

Já myslím, že Occamova  břitva je o něčem trochu jiném. Není to o tom, že ze 2 teorií by se musela vybrat ta jednodušší.

Je to o tom, aby byly ty teorie "jednoduché" v tom smyslu, aby neobsahovaly věci, které nemají vliv na vytvoření ověřitelné předpovědi.

Pěkný příklad je třeba ten ether, ve kterém se měly pohybovat el. mag. vlny. Když se časem nakonec ukázalo, že taková látka nemá žádné jiné vlastnosti, než co plynulo ze samotných Maxwellových rovnic a teorie relativity, přestal se ten pojem nakonec používat. Protože nic užitečného nepřinášel, všechny výpočty a předpovědi byly úplně stejné s ním i bez něj.

Komplikovanější teorie se vyřazují jen tehdy, když jejich předpovědi není možné ověřit experimenty - a to ještě jen "dočasně", protože situace se může časem klidně změnit. Příkladem jsou klasické teorie gravitace, krom obecně uznávané OTR jsou ještě ve hře ještě další dvě nebo tři varianty, zatím nedokážeme rozhodnout, která z nich by mohla být správná - OTR plyne jako speciální případ každé z těch dalších.

Offline

 

#61 25. 05. 2018 21:22

check_drummer
Příspěvky: 2603
Reputace:   71 
 

Re: doplnte cislo

↑ MichalAld:
Ony jsou dvě interpretace Occamovy břitvy: nepoužívat to, co není nezbytné (jak píšeš) a nebo ze dvou vysvětlení vybrat méně komplikované (jak píšu). To první je zřejmé, to druhé nemusí být správné, protože složitější teorie může (na rozdíl od jednoduché) vysvětlit i věci, o kterých jsme zatím nepřemýšleli. No ale může to být i naopak.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#62 25. 05. 2018 23:44

KennyMcCormick
Příspěvky: 1516
Reputace:   50 
 

Re: doplnte cislo

↑ check_drummer:

má-li mnoho pokusů nějaký společný výsledek, pak z nich nějak "vyrobíme" axiom

V tom případě hádáš axiom, jak jsem psal ↑ tady:. 🙂


Even if you take the best course of action, the universe is still allowed to say "So what?" and kill you.

Offline

 

#63 26. 05. 2018 09:52

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: doplnte cislo

check_drummer napsal(a):

↑ MichalAld:
Ony jsou dvě interpretace Occamovy břitvy: nepoužívat to, co není nezbytné (jak píšeš) a nebo ze dvou vysvětlení vybrat méně komplikované (jak píšu). To první je zřejmé, to druhé nemusí být správné, protože složitější teorie může (na rozdíl od jednoduché) vysvětlit i věci, o kterých jsme zatím nepřemýšleli. No ale může to být i naopak.

Já nevím, myslím, že v takovém případě by mohly zůstat v plastnosti teorie obě. Nenapadá mě ale moc příkladů, vlastně jen jeden - totiž termodynamika a statistická mechanika.

Statistická mechanika je určitě lepší teorií, dokáže předpovědět více věcí, a potřebuje k tomu méně dodatečných předpokladů (nad rámec "normální" fyziky), ale na druhou stranu potřebuje vědět detaily o částicové podstatě zkoumané látky...a je obecně dost složitá...

Termodynamika naproti tomu nepotřebuje vědět o detailech částic tvořící látku vůbec nic - jen z jednoduchého předpokladu, že žádná existující látka či věc nemůže porušit druhý termodynamický zákon (nemůž přeměnit teplo beze zbytku na ušlechtilou energii) dokáže dělat nějaké (byť omezené) předpovědi o vlastnostech látky.


Řekl bych, že v takovémto případě (dvě nějak funkční teorie) nerozhoduje Occamova břitva, ale prostě užitečnost těch teorií.

Offline

 

#64 26. 05. 2018 09:57

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: doplnte cislo

KennyMcCormick napsal(a):

↑ check_drummer:

má-li mnoho pokusů nějaký společný výsledek, pak z nich nějak "vyrobíme" axiom

V tom případě hádáš axiom, jak jsem psal ↑ tady:. 🙂

No jo, ono to "vyrobení" či "uhodnutí" fyzikálního zákona nemusí být vůbec triviální věc i ve zcela jednoduchých případech.

Já si třeba nedokážu představit, že bych z tabulky toho, jak vidíme v určité dny "předměty" na obloze (tj máme datum, čas, azimut a elevaci) "vyrobil" představu, že vše obíhá kolem slunce po eliptických drahách. A to nemluvím vůbec o nějakém zákonu (gravitaci) kterým se to vše řídí. Prostě jen o té kinematice.

Offline

 

#65 26. 05. 2018 20:40

KennyMcCormick
Příspěvky: 1516
Reputace:   50 
 

Re: doplnte cislo

↑ MichalAld:
Já nevím. Asi bych zkusil vytvořit model, kde je Slunce nehybné a podívat se, jestli kolem něj ostatní planety opisují nějaké jednoduché tvary, např. elipsy.

Bez moderního matematického aparátu.

A aniž bych věděl, že chyby měření mají normální rozdělení pravděpodobnosti nebo že všechny planety leží (zhruba) ve stejné rovině.

Není divu, že se lidé tenkrát dožívali tak nízkého věku...


Even if you take the best course of action, the universe is still allowed to say "So what?" and kill you.

Offline

 

#66 27. 05. 2018 22:22

check_drummer
Příspěvky: 2603
Reputace:   71 
 

Re: doplnte cislo

KennyMcCormick napsal(a):

↑ check_drummer:

má-li mnoho pokusů nějaký společný výsledek, pak z nich nějak "vyrobíme" axiom

V tom případě hádáš axiom, jak jsem psal ↑ tady:. 🙂

Proč myslíš, že jde o hádání a ne o deterministický proces?


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#67 28. 05. 2018 21:29 — Editoval KennyMcCormick (28. 05. 2018 21:30)

KennyMcCormick
Příspěvky: 1516
Reputace:   50 
 

Re: doplnte cislo

↑ check_drummer:
Může to být deterministické hádání - slovo "hádání" jsem použil ve smyslu, že neexistuje algoritmus k nalezení správných axiomů, ne ve smyslu, jestli myšlenkový proces, kterým se axiomy pokusíš uhodnout, je deterministický nebo ne. 🙂


Even if you take the best course of action, the universe is still allowed to say "So what?" and kill you.

Offline

 

#68 28. 05. 2018 21:36

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: doplnte cislo

Jo jo, na nalezení těch správných axiomů neexistuje žádný postup, který by bylo možné rutinně aplikovat, či snad dokonce naprogramovat.

Offline

 

#69 28. 05. 2018 22:20

check_drummer
Příspěvky: 2603
Reputace:   71 
 

Re: doplnte cislo

↑ KennyMcCormick:
Zní to rozumně, ale lze to dokázat? :-)


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#70 29. 05. 2018 23:42

KennyMcCormick
Příspěvky: 1516
Reputace:   50 
 

Re: doplnte cislo

↑ check_drummer:
1. Existuje nespočetné nekonečno možných axiomů, na kterých může správná teorie stát a ty máš k dispozici jenom konečně mnoho bitů informace (a každý bit infomace ti umožní zredukovat nejistotu jenom na polovinu).

2. Informace, které získáš pozorováním, je posloupnost, jejíž členy jsou vektory (každému $n$ je přiřazen vektor $(\text{čas pozorování, senzorická data})$) a máš k dispozici prvních $n$ členů.

Takže bys musel uhodnou předpis posloupnosti na základě prvních $n$ členů. 🙂


Even if you take the best course of action, the universe is still allowed to say "So what?" and kill you.

Offline

 

#71 29. 05. 2018 23:55

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: doplnte cislo

↑ KennyMcCormick:
Přirovnání k posloupnosti není asi úplně korektní, protože u experimentů nezávisí na pořadí, v jakém byly prováděny.

Offline

 

#72 29. 05. 2018 23:57

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: doplnte cislo

↑ check_drummer:
Moc si takoviý důkaz nedokážu předstvit, protože důkaz znamná doložit, že to plyne z výchozího systému axiomů. Jenže my ty axiomy hledáme...

Offline

 

#73 30. 05. 2018 20:12 — Editoval KennyMcCormick (30. 05. 2018 20:21)

KennyMcCormick
Příspěvky: 1516
Reputace:   50 
 

Re: doplnte cislo

↑ MichalAld:

Přirovnání k posloupnosti není asi úplně korektní, protože u experimentů nezávisí na pořadí, v jakém byly prováděny.

1. Ano. (Edit: Tím chci říct "Ano, nezávisí."...)

2. Senzorická data, která dostáváme, se mění v čase i tehdy, pokud nezáleží na pořadí provedených experimentů.

3. Mohli bychom říct, že nemůžeme vektoru $(\text{čas pozorování, senzorická data})$ přiřadit konkrétní $n$, ale mně se zdálo přirozené je řadit podle vzrůstajícího času, (protože když mě zajímá, co budu pozorovat v čase $t$, tak pozorování v časech $t-\d t, t-2\d t, \ldots $ jsou pro mě relevantnější než pozorování v čase $t+10^8\,\text{let}$).


↑ MichalAld:

Moc si takový důkaz nedokážu předstvit, protože důkaz znamená doložit, že to plyne z výchozího systému axiomů. Jenže my ty axiomy hledáme...

Já tomuhle vůbec nerozumím, ale nejsou to jiné axiomy? Tj. nejsou axiomy, které hledáme, axiomy, které generují všechny správné experimentální předpovědi (např. axiom "hmotnost je absolutní" v Newtonově mechanice*), zatímco axiomy, které potřebujeme, axiomy, ze kterých vycházíme pro provedení našeho (hypotetického) důkazu?

Nebo se axiomům ve vědě říká jen "postuláty"? (Takže všude, kde jsem psal o hádání axiomů ve vědě z experimentálních dat, jsem měl psát o hádání postulátů?)


*Když pominu, že to není nezbytně pravda.


Even if you take the best course of action, the universe is still allowed to say "So what?" and kill you.

Offline

 

#74 30. 05. 2018 20:55

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: doplnte cislo

↑ KennyMcCormick:

Já tomu taky moc nerozumím. Každopádně ale - v přírodních vědách (jako je třeba zrovna ta fyzika) je klíčové přiřazení nějakých matematických entit skutečným věcem z tohoto světa. To je něco, co matematika nezná a nezabývá se tím.

Axiom je pojem z matematiky, nevím, jak se nazývá tady to zmíněné přiřazení matematické entity fyzikální veličině.

Například tvrdíme, že intenzita el. pole je vektor. Vektor je pojem z matematiky. Není to žádný axiom (čili tvrzení), je to jen pojem. Nicméně ten pojem má spoustu vlastností, některé z nich jsou vysloveny jako výchozí axiomy, jiné jsou jejich důsledkem (jsou z nich odvozené).

Ale tvrzení, že el. intenzita je vektorem, je vlastně taková "fyzikální teorie". Ano, to bude ten správný pojem. A plantost této teorie musíme testovat experimenty. Musíme ověřit, zda se E za všech okolností chová skutečně jako vektor. My to samozřejmě za všech okolností neověříme...proto teorie zůstane teorií a nikdy není jisté, jestli bude vždy správná.

Můžeme vzít nějaký vztah mezi vektory, třeba $div E =\frac{\rho}{\epsilon_0}$ a prohlásit jej za další teorii (za další součást té el. mag. teorie). Matematicky z toho zase plynou nějaké důsledky a my musíme ověřovat, jestli všechny platí.

Takže fyzika (i jiné vědy) dělá hlavně tady to přiřazování matematických entit reálnému světu. Ty navrhuješ, že by mohlo jít o "deterministický proces", ale podle mě se tenhle proces vůbec žádnou matematikou ani logikou neřídí.
Nemám nejmenší tušení, jak by se něco takovéhoto dokazovalo nebo vyvracelo - protože přiřazování reálného světa matematickým entitám už do matematiky a její precizní logiky nespadá.

Offline

 

#75 30. 05. 2018 21:05 — Editoval vanok (30. 05. 2018 21:34)

vanok
Příspěvky: 13036
Reputace:   717 
 

Re: doplnte cislo

Poznamka. 
Moze byt poucne trochu studovat historiu vied. 

A uz aj tu sa da trochu poucit
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Axiom


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson