Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 11. 06. 2018 11:55

Fanula311
Zelenáč
Příspěvky: 7
Škola: ČVUT
Pozice: Student
Reputace:   
 

Výpočet maximálního objemu (extrém funkce)

Dobrý den,

potřeboval bych poradit s následujícím příkladem: Při jakých rozměrech bude mít otevřená vana s půlkruhovým průřezem, který má daný povrch $3\cdot\pi$, největší objem?

Vyjádřil jsem si povrch a objem pro celou vanu z polokoule a půlky rotačního válce:
$S_{vana}=2\cdot \pi \cdot r^{2}+\pi \cdot r\cdot v$
$V_{vana}=\frac{2}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}+\frac{\pi \cdot r^{2}\cdot v}{2}$

Pak jsem si vyjádřil z rovnice $S_{vana}$ výšku válce $v$ (délka vany) a dosadil do rovnice $V_{vana}$:
$v=\frac{S_{vana}-2\cdot \pi \cdot r^{2}}{r\cdot \pi }$, po dosazení:
$V_{vana}=\frac{2\cdot \pi \cdot r^{3}}{3}+\frac{r\cdot (S_{vana}-2\cdot \pi \cdot r^{2})}{2}=\frac{2\cdot \pi \cdot r^{3}}{3}+\frac{r\cdot S_{vana}}{2}-\pi \cdot r^{3}$.

Po té jsem derivoval $V_{vana}$ podle $r$ a tento výraz položil rovný nule (hledám extrém-první derivace rovna nule):
$\frac{dV_{vana}}{dr}=2\cdot \pi \cdot r^{2}+\frac{S_{vana}}{2}-3\cdot \pi \cdot r^{2}=0$. Odtud jsem pak vypočítal $r$ s dosazením za $S_{vana}=3\cdot \pi $:
$r=\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Zde jsem se zastavil protože má být $r=1$.

Mohl by mi někdo prosím poradit, kde mám chybu?

Offline

 

#2 11. 06. 2018 12:58

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5142
Reputace:   195 
Web
 

Re: Výpočet maximálního objemu (extrém funkce)

Vyjádřil jsem si povrch a objem pro celou vanu z polokoule a půlky rotačního válce:

Ta polokoule je ten podle mě špatně, ze zadání nevyplývá, že by konce vany byly nějak zaoblené.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson