Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 12. 06. 2018 16:23

adam150
Příspěvky: 35
Škola: ČZU
Pozice: student
Reputace:   
 

Kruhová frekvence útlumu

Ahoj chtěl bych se zeptat proč čitatel ve výrazu $\omega _{b}=\frac{b}{2m}$ násobíme 2? Vycházím z rovnice $y^{''}+\frac{b}{m}y^{'}+\frac{k}{m}y=0$

Offline

 

#2 12. 06. 2018 23:06

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1136
Reputace:   33 
 

Re: Kruhová frekvence útlumu

Tak zkus vyřešit tu rovnici. Když víme, že řešení bude ve tvaru $y=Ye^{\omega t}$, tak po dosazení, provedení příslušných derivací a vykrácení všho co jde dostaneme rovnici tvaru:

$\omega^2 + \frac{b}{m}\omega + \frac{k}{m}=0$

to je obyčejná kvadratická rovnice. Na tu je známý vzorec

$\omega_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b}{2a}\mp \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$


Protože předpokládáme, že jde o rovnici tlumeného kmitání, tj. tlumení je jen mírné (když bude moc velké, tak už to kmitat nebude vůbec), tak ten výraz pod odmocninou musí být záporný, abychom dostali imaginární výsledek - ten právě vede na harmonickou funkci. A ta první část výsledku bude reálná. Takže

$\omega_b=\frac{-b}{2a}$

$\omega_a =\mp i\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}$


Teď už stačí jen dosadit a a,b,c a je jasné, kde se tam vzala ta dvojka (ono už je to jasné teď - pochází to z toho vzorce pro kořeny kvadratické rovnice. V našem případě a=1 a b=b/m (máme tam 2x b, ale každé znamená něco jiného, pozor na to), takže výsledek je

$\omega_b=\frac{-b}{2m}$

Ptal ses jen na tlumení, neptal ses na ten druhý člen (který může za ty harmonické kmity), takže to už dosazovat nebudu. Ještě upozorňuji na to záporné znaménko. Ono je docela důležité. Je samozřejmě jedno, jestli ho zahrneme do $\omega_b$ nebo ho napíšeme až do celkového řešení, nicméně upozorňuji na to, že za jistých okolností to může vyjít i s kladným znaménkem. U pasivního zařízení (závaží na pružině) se to stát nemůže, ale pokud tam vložíme nějaký aktivní člen (zesilovač), tak se to klidně přihodit může. A potom je to nestabilní systém. Protože exponenciála se záporným $\omega_b$ klesá s rostoucím časem k nule, zatímco s kladným $\omega_b$ roste k nekonečnu. Ale nastat mohou obecně oba případy, takže by se mělo při výpočtu dávat pozor, jak to s tím znaménkem je.


Celkové řešení té diferenciální rovnice potom vypadá takto:

$y= Y_1 e^{\omega_bt}e^{+i\omega_at} + Y_2e^{\omega_bt}e^{-i\omega_at}=Ye^{\omega_bt}\sin(\omega_a t + \varphi)$

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson