Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 22. 08. 2018 18:47

vanok
Příspěvky: 13036
Reputace:   717 
 

Realne matice

Tu http://forum.matematika.cz/viewtopic.php?id=102163  ↑↑ MichalAld:, dal do popredia jednu otazku ktoru  vyjadrim trochu vseobecnejsie. 
Ako to je z realnymi maticami, ktore maju aj komplexne vlastne hodnoty?
.

Pohovorime si tu o realnych maticach typu 3x3.  Co je napriklad aj pripad rotacii ( v troj-rozmerovov euklidovskom orientovanom priestore ).

Tak tu napisem nejake observacie na tuto temu.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 22. 08. 2018 20:37 — Editoval vanok (22. 08. 2018 21:28)

vanok
Příspěvky: 13036
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Prva observacia. 
Ak mam realnu maticu 3x3.  Tak jej charakteristicky polynom je 3tieho stupna. 
Z analyzy viem, ze ma alebo 3 realne korene ( ak pocitame ich nasobnost), alebo jeden realny a dva, su komplexne zdruzene.

Tak lin. alegra nam v tom druhom pripade zarucuje, ze taka matica nie je diagonalibilna v $\Bbb R$
( v komplexnom prietore je!)
No  vsak taka matica je podobna ( viete co to znamena ) realnej matici formy
$\begin{pmatrix} 
c&0&0\\
0&a & -b \\
0&b&a
\end{pmatrix}$
Co nam da uz dostatocne zaujimave informacie.   

A co to da v pripade rotacii?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 22. 08. 2018 22:00 — Editoval MichalAld (22. 08. 2018 22:00)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: Realne matice

Takže pokud bude c=1, a pro a, b bude platit, že $a^2+b^2=1$,

tak to bude rotace kolem osy x ?   O úhel $\tan \varphi ={ b \over a}$

Offline

 

#4 22. 08. 2018 22:48 — Editoval vanok (23. 08. 2018 00:39)

vanok
Příspěvky: 13036
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Ahoj ↑ MichalAld:,
Vedi vieme ze jej det je 1 a je ortogonalna.  (To co si prakticky vyjadril)
Tak prides k matici formy

$B= \begin {pmatrix} 1&0&0 \\0 & \cos \theta  & -\sin \theta\\0& \sin \theta &\cos \theta \end {pmatrix}$

Na dnes koncim. 
Pokracovanie zajtra....


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 23. 08. 2018 11:08 — Editoval vanok (23. 08. 2018 11:12)

vanok
Příspěvky: 13036
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Pokracovanie.
Posledny vysledok znamena, ze mame bazu v ktorej sa rotacia takto pise. 

O rotaciach sme uz dost hovorili vo vlakne citovanom tu ↑ vanok:.

Tiez je zaujimave vediet toto https://en.m.wikipedia.org/wiki/Quatern … l_rotation

Iste vsetci viete aj  vsetko o Eulerovych uhloch.... https://en.m.wikipedia.org/wiki/Euler_angles

Otazka. 
Ako sa daju vypocitat mocniny matice rotacie?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 23. 08. 2018 12:08 — Editoval Ferdish (23. 08. 2018 13:00)

Ferdish
Příspěvky: 1019
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   31 
 

Re: Realne matice

Zdravím kolegu ↑ vanok:.

Len taká poznámka: slovenské ani české odborné matematické texty nepoznajú termín diagonalibilná matica. Dokonca ani Google nič netuší.
Anglický termín diagonalibility však nájde - zrejme je to prevzaté odtiaľ.

Aby sme zbytočne nemiatli prípadných vyššej matematiky menej znalých poslucháčov a diskutujúcich, navrhujem používať zaužívaný termín diagonalizovateľná matica.

Online

 

#7 23. 08. 2018 12:22

vanok
Příspěvky: 13036
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Pozdravujem ↑ Ferdish:,
Dakujem za tvoj zaujem o tuto temu, zo zakladov linearnej algebry. 
Akoze som ani na sk ani v cz nikdy nestudoval matematiku tak casto si podla inych jazykov vytvorim mena pojmov. 
Iste nam kolegovia co maju nejake knihy z linearnej algebry potvrdia najcastejsie pouzivane slovo pre tento pojem.  👍


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 23. 08. 2018 18:57

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: Realne matice

vanok napsal(a):

Ako sa daju vypocitat mocniny matice rotacie?

Pokud matici rotace umocníme na n-tou, znamená to, že provedeme n-krát tu rotaci, takže z $\theta$ uděláme $n\theta$. Nebo né ?

Offline

 

#9 23. 08. 2018 18:59

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: Realne matice

↑ vanok:

Ještě se chci zeptat, čím je vlastně definovaná matice rotace.

Jinými slovy, když budu mít matici

$B= \begin {pmatrix} 1&0&0 \\0 & \cosh \theta  & \sinh \theta\\0& \sinh \theta &\cosh \theta \end {pmatrix}$

je to taky matice rotace ?

Offline

 

#10 23. 08. 2018 19:50 — Editoval vanok (23. 08. 2018 19:56)

vanok
Příspěvky: 13036
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Ahoj ↑ MichalAld:,
No to ide o inu transformaciu (niekedy sa povie, ze ide o « hyperbolicku rotaciu »ta spodna cast matice, pouziva sa to v fyzike).
Porovnanie najdes tu. 
http://pi.math.cornell.edu/~web4520/CG15-0.pdf.
https://arxiv.org/pdf/1002.4728.pdf

Vratme sa k tejto otazke : ci mozme povedat o mocninach matice rotacie ( ako tu ↑ vanok:)?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#11 23. 08. 2018 19:54

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1956
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   117 
 

Re: Realne matice

↑ MichalAld:
Není ortogonální?

↑ vanok:
Tvoří grupu rotací. Někdy.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#12 23. 08. 2018 20:07 — Editoval vanok (23. 08. 2018 22:12)

vanok
Příspěvky: 13036
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Ahoj ↑ Andrejka3:,
Ano k tomu dojdeme, ze ide o structure grupy.   

Ta sa oznacuje $SO3$ v priestore a $SO2$ v rovine.... ( v komplexnom pripade analogickom pripade pre unitarne matice a Hermitovske priestory [ kolega ↑ Ferdish: ma asi aj tu pouci]😀. To su grupy $SU3$, $SU2$).
Grupa rotacii
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Groupe_spécial_unitaire


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#13 23. 08. 2018 22:00

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: Realne matice

↑ vanok:
Tak to je super, aspoň se konečně dozvím, co je to ta "grupa" .

Offline

 

#14 23. 08. 2018 22:10

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: Realne matice

Andrejka3 napsal(a):

↑ MichalAld:
Není ortogonální?

To je pravda. Při použití běžného skalárního součinu není.

Když bychom ale povolili trochu jinou definici skalárního součinu, ve 2D případě jako

$A\cdot B=x_Ax_b-y_ay_b$

tak už by to ortogonální bylo.

Offline

 

#15 23. 08. 2018 22:25 — Editoval vanok (23. 08. 2018 23:35)

vanok
Příspěvky: 13036
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Ahoj ↑ MichalAld:,
Ako sa mi zda, presnejsie by ta zaujimal suvis medzi grupami a kvadratickymi (bilinearnymi) formami.
To je ozaj velmi zaujimava tema. 
Navrhujem, otvorit nove vlakno na tu temu, ked dokoncime nase uvahy o maticach. 
Mozno potom ta zacne matematika o mnoho viac bavit.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#16 24. 08. 2018 15:31

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: Realne matice

↑ Andrejka3:↑ vanok:

Já bych s těmi hyperbolickými transformacemi neotravoval, ale ono je to ve fyzice docela důležité, zatímco matematici se tomu tak nějak vyhýbají. A jak říkám, algebra není zrovna má nejsilnější stránka, takže uvítám každou možnost se něco nového dozvědět.

V klasickém euklidovském prostoru ta hyperbolická transformace není nijak zvlášť speciální.

Naproti tomu ale v Minkowského prostoru, kde je skalární součin definován trochu jinak, už hyperbolické transformace ortogonální jsou.


O co mě vlastně jde je ten samotný pojem "rotace". Jestli je "normální" nazývat hyperbolickou transformaci jako rotaci.

Dřív jsem o tom takto nepřemýšlel, mě se to prostě nikdy nelíbilo ji takto nazývat, ale teď, když o tom přemýšlím, jediný rozdíl co vidím je, že jsme museli zrušit ten požadavek aby skalární součin byl pozitivně definitní ($\ge 0$).

Poznámka pro nefyziky:
Vše je to o vztazích mezi prostorem a časem (teorie relativity), pokud budeme mluvit jen o 2D Minkowského prostoru nebo 2D časoprostoru, bude to jedna osa v prostoru a jedna v čase. V samotném prostoru samozřejmě platí běžná euklidovská metrika.

Offline

 

#17 24. 08. 2018 15:33

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: Realne matice

vanok napsal(a):

Ahoj ↑ MichalAld:,
Ako sa mi zda, presnejsie by ta zaujimal suvis medzi grupami a kvadratickymi (bilinearnymi) formami.
To je ozaj velmi zaujimava tema. 
Navrhujem, otvorit nove vlakno na tu temu, ked dokoncime nase uvahy o maticach. 
Mozno potom ta zacne matematika o mnoho viac bavit.

Nic z toho nerozporuji, ale pro začátek bych potřeboval vědět, co je to ta grupa.
Pořád to někde vidím, a vlastně nevím, co to je a k čemu je to dobré.

Offline

 

#18 24. 08. 2018 15:53

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1956
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   117 
 

Re: Realne matice

↑ MichalAld:
Ortogonalita vlastně znamená, že to zobrazení zachovává úhly. Pokud ale použiješ bilineární formu, která není pozitivně definitní, tak nevím.
Asi otázka pro algebraiky.

O grupách: líbily se mi skripta Trlifaje, příklady Stanovského. Když si zadáš algebra a jméno jednoho z těch dvou, určitě to najde pdf.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#19 24. 08. 2018 16:57

vanok
Příspěvky: 13036
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Ahoj ↑ MichalAld:,
Ked pises, ze matematici sa o to nezaujimaju, nie je celkom pravda.   
A su matematici co sa venuju aj takymto problemom. 
Skor by som povedal, ze asi osnovy na vysokych skolach medzi matematikou a fyzikou nie dobre suladene.
Ale iste fyzici, ktory to potrebuju su schopni vyucovat teoriu co potrebuju.
( Alebo aspon vediet pouzit vysledky, co sa tyka prislusnej  teorie.)

Ako je na to tvoj nazor?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#20 24. 08. 2018 17:54

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: Realne matice

↑ vanok:
Já to nechci moc kritizovat, mě se na univerzitě líbilo, ať už to bylo jaké bylo, pořád jsem se tam spoustu věcí dozvěděl.

Ovšem i z názorů jiných lidí (a nakonec i samotných matematiků) bych řekl, že to je standardní problém, že matematika se vyučuje dost odtržená od toho, k čemu se pak má v reálném světě používat.

Obdobný problém je ovšem i s dalšími předměty (vlastně se dá říct se všemi), spousta věcí je taková dost odtržená od reálného světa, případně (na těch technických školách) je spousta věcí co se učí už dost zastaralých...

Offline

 

#21 24. 08. 2018 18:10

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: Realne matice

S tím Minkowského prostorem je totiž problém, že se to strašně těžko představuje.
Když si namalujeme 2D (nebo i 3D graf), kde jedna osa je čas a druhá (druhé) prostor, pořád je to namalované na rovnině (nebo v prostoru) kde platí Euklidovská metrika. Tedy kde délka úsečky je $L^2 = x^2 + y^2 + z^2$. Ani žádným zakřivením té roviny nelze dosáhnout toho, aby se tam objevilo znaménko minus.

Takže jediné, co můžeme dělat je hledat v tom nějaké analogie.

Rotace (transformace) nám zachovává délky. To je celkem zřejmé.
Hyperbolická rotace nám je tedy zachovává taky - akorát, že "délkou" rozumíme něco jiného - $\tau^2 = x^2 - t^2$
Tahle "délka" má zpravidla i nějaký fyzikální význam. V případě vzdáleností a času je to tzv. vlastní čas.
Akorát že ta "délka" může být i nulová (pohyb rychlostí světla) nebo i záporná. Teda - záporné bude to, co je pod tou odmocninu - a nikdo moc neví, jak se k tomu stavět. Takže se to rozdělilo na "času-podobné délky" a "prostoru-podobné délky" a každá se počítá jinak - tak, aby se dělala odmocnina z kladného čísla.

Rotace nám taky zachovávají "úhly". Jenže co je to vlastně úhel mezi dvěma vektory ? Ve 2D nebo 3D prostoru je to jasné, ale vektory mohou mít i více dimenzí, případně i nekonečno - mohou to být nekonečné řady, nebo i spojité funkce. A úhle je definovaný přes skalární součin. Ve 2D nebo 3D to odpovídá úhlu co známe z geometrie, ale ve vyšších dimenzích to neodpovídá ničemu. Fyzická představa "úhlu mezi dvěma nekonečnými řadami" žádná neexistuje...

No a stejně můžeme definovat úhel i v Minkowského prostoru, pomocí skalárního součinu (který je s tím záporným znaménkem). A v tomto případě nám bude hyperbolická rotace zachovávat úhly taky. (teda aspoň myslím, jistě to nevím)

Offline

 

#22 24. 08. 2018 19:42

vanok
Příspěvky: 13036
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Cau ↑ MichalAld:,
Vsak je to dobre mat tvoj vlastny nazor. 
Ta organizacia toho co sa uci je urobena ako?

A aj keby bola sloboda toho, co sa moze vyucovat, asi vtedy ( napr.) matematik by chcel ucit asi ine ako robit radost fyzikom a na opak.   Ci nie?

Alebo potom by boli taky matematikofyzici a fyzikomatematici, co by zili v harmonii.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#23 25. 08. 2018 23:29

vanok
Příspěvky: 13036
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Ahoj ↑ MichalAld:,
Ten priestor cas od Minkowsk-eho je popisany tu https://en.m.wikipedia.org/wiki/Minkowski_space .
Mohol by si nam povedat nieco o priestorovych a casovych vektorovy v tomto priestore?
A co su svetelne vektory?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#24 26. 08. 2018 12:31 — Editoval MichalAld (26. 08. 2018 12:32)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: Realne matice

To samozřejmě můžu, když mi odpustíte formální nepřesnosti a terminologii...

Takže po objevu teorie relativity se přišlo také na to, že ji (Lorentzovu transformaci) lze interpretovat jako "rotaci" v trochu speciálním 4D prostoru. Tento prostor byl nazván časoprostor, nebo také někdy prostoročas (v angličtině), Minkowského prostor, nebo také "čtyř-prostor". Jednotlivé osy jsou samozřejmě ty 3 prostorové (x, y, z), a časová (t). Aby vynikly čistě geometrické vlastnosti, je třeba, abychom čas měřili ve "stejných jednotkách" jako prostor, tedy, aby nám rychlost světla byla rovna jedné (c = 1).  Jinak bychom museli všude místo t použít ct. Což vzorce dost komplikuje a zamlžuje.

Abychom měli konzistentní teorii, musíme použít všechny čtyři dimenze (x, y, z, t), ale pro demonstraci všech fyzikálních důsledků nám stačí vzít jednu prostorovou a jednu časovou dimenzi, třeba (x, t).

Body v tomto čtyřprostoru se nazývají UDÁLOSTI. To je docela důležité pochopit - událost má svoji polohu v prostoru i v čase. Událost tedy není hrnek položený na stole (nemá časovou souřadnici, stojí tam pořád), ani hrnek letící na podlahu, ale pokud se při dopadu rozbije, tak ono "rozbití" - to je přesně událost. Má svoji polohu prostorovou, i časovou.

Ze dvou bodů (událostí) můžeme podobně jako v klasickém Euklidově prostoru vytvořit vektor. Vektory ve čtyřprostoru se nazývají logicky čtyřvektory (aby se to nepletlo s obyčejnými vektory). A ve čtyřprostoru platí speciální způsob, jak počítáme "vzdálenost".

V Euklidovském prostoru ji počítáme dle zobecněné Pythagorovy věty:
$L^2 = x^2 + y^2 + z^2$

Ve čtyřprostoru se u časové souřadnice objeví opačné znaménko:
$L^2 = x^2 + y^2 + z^2 - t^2$ nebo $L^2 = - x^2 - y^2 - z^2 + t^2$
(podle toho, co vychází kladné)

Tenhle malý detail se znaménkem má celou řadu neintuitivních důsledků. Protože čtverec délky ($L^2$) může vyjít kladný, nulový nebo i záporný. "Délku" ve čtyřprostoru zpravidla nazýváme časoprostorovým intervalem. A teď je samozřejmě problém, když nám $L^2$ vyjde záporné, jak spočítat to L. Vyřešilo se to radikálním způsobem - časoprostorové intervaly se rozdělily na "času-podobné" a "prostoru-podobné", a každý z nich se počítá tak, aby se dělala odmocnina z kladného čísla.

A tak jako se velikost vektoru nemění, když provádíme jeho rotaci, tak se velikost časoprostorového intervalu nemění, když na něj aplikujeme Lorentzovu transformaci, takže můžeme uvažovat, že je to taky taková "speciální" rotace. Speciální v tom smyslu, že zachovává velikost $x^2-t^2$. (pro zjednodušení budeme uvažovat jen jednu prostorovou osu).

Věci, které jsou invariantní vzhledem k nějakým prostoro-časovým transformacím zpravidla mívají i nějaký přímý fyzikální význam. V případě času-podobného intervalu je to tzv. vlastní čas. Představme si, že se mezi dvěma událostmi pohybujeme konstantní rychlostí, a "táhneme si s sebou" nějaké hodiny. Tak čas, který ukáží tyto hodiny - to je přesně ten vlastní čas. A pokud jsou události prostorově vzdálené (nejsou ve stejném místě), je tento vlastní čas vždy menší, než rozdíl časových souřadnic těch dvou událostí.


Pokud teď vezmeme naše dvě události, mezi kterými se pohybuje konstantní rychlostí "naše laboratoř s hodinami", a budeme jejich (těch událostí) vzdálenost v prostoru zvětšovat, případně vzdálenost v čase zmenšovat, budeme potřebovat stále vyšší rychlost naší laboratoře. A jejich časoprostorová vzdálenost bude stále menší a menší (vlastní čas, ten který ukáží hodiny v naší letící laboratoři, bude stále kratší). Až nakonec dosáhneme stavu, kdy $x^2 = t^2$, kdy vzdálenost událostí v prostoru bude stejná jako jejich vzdálenost v čase, a časoprostorový interval vyjde nulový. To odpovídá tomu, že by se naše laboratoř s hodinami musela pohybovat jednotkovou rychlostí (což je rychlost světla).

(z relativistické dynamiky plyne, že žádný hmotný krám se takto rychle pohybovat nemůže, ale může se k té (jednotkové) rychlosti libovolně přiblížit).
Takže to máme časoprostorový interval o nulové velikosti. Zatímco v běžném prostoru, když má nějaký vektor nulovou velikost, má nulové i všechny složky, ve čytřprostoru tomu tak vůbec není. Čtyřvektory s nulovou velikostí jsou zcela běžné, odpovídají pohybu rychlostí světla.

Pokud bychom dále zvětšovali prostorovu vzdálenost mezi našimi událostmi či zkracovali časovou, vyjde nám ve vztahu pro interval záporná hodnota. Takže si vzorec "otočíme" (prohodíme plusy a minusy), a prohlásíme, že interval je v tomto případě "prostoru-podobný". Ano, odpovídal by pohybu nadsvětelnou rychlostí.

Z mnoha důvodů dnes předpokládáme, že žádná "reálná" věc se nadsvětelnou rychlostí nemůže pohybovat. Nicméně vytvořit dvě události, mezi nimiž je prostoru-podobný interval není vůbec nemožné, je to úplně běžné. Nicméně tyhle prostoru-podobné intervaly se chovají z našeho pohledu dost "podivně". Dochází tam k jakési "záměně" prostoru a času.

Pokud budeme mít dvě události s času-podobným intervalem, třeba kulka jež byla vystřelená z pistole a o něco později narazila do terče, můžeme aplikací vhodné Lorentzovy transformace dosáhnout toho, že prostorové souřadnice těchto událostí jsou stejné (budeme kulku pozorovat ze soustavy, která se pohybuje stejnou rychlostí). Takže kulka stojí na místě, jen v jiných časech vyletí z hlavně a narazí do terče.

U prostoru-podobných intervalů je to přesně naopak, vhodnou transformací lze dosáhnout toho, že hypotetická kulka (jež se pohybuje nadsvětelnou rychlostí), bude ve stejném čase na více místech v prostoru. A to se nám poněkud špatně fyzikálně interpretuje (nic takového ve světě nepotkáváme). To je jeden z důvodů, proč "věci" pohybující se nadsvětelnou rychlostí nepovažujeme za fyzikálně reálné.

Offline

 

#25 26. 08. 2018 12:43

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1563
Reputace:   48 
 

Re: Realne matice

Časoprostorový interval a kauzalita:

Se "vzdáleností" v časoprostoru úzce souvisí i problém kauzality.

Ono se jinak dost těžko hledá, co to vlastně ta kauzalita je - všude se o tom píše, ale málokde je vysvětlené, o co vlastně jde. Takže jednoduše - chování žádného (reálného) systému nemůže záviset na budoucnosti.

U času-podobných intervalů není velký problém si představit, že vhodnou transformací dosáhneme toho, že jejich prostorové souřadnice jsou "opačné". Tj, že pokud např. pokud $x_1 > x_2$, tak po transformaci bude $x_1' < x_2'$
V případě naší kulky z pistole stačí, pokud to budeme pozorovat ze soustavy, jež letí rychleji než ona kulka. Není na tom vůbec nic divného.

U prostoru-podobných intervalů bychom ovšem vhodnou transformací mohli dosáhnout toho, že "prohodíme" časové souřadnice.  Tj, že pokud např. pokud $t_1 > t_2$, tak po transformaci bude $t_1' < t_2'$. A zatímco v prostoru nám "prohození souřadnic" ničemu nevadí, v čase je to problém. Protože událost s číslem 1 nemůže být důsledkem události s číslem 2, protože v jiné soustavě bychom to "viděli" v opačném pořadí.

Z toho tedy plyne důsledek, že pokud je mezi nějakými dvěma událostmi prostoru-podobný interval (vzdálenost), memůže mezi mimi existovat "kauzální spojení" - jedna nemůže být příčinou té druhé, ani naopak.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson