Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 11. 2018 12:02 — Editoval alfix (05. 11. 2018 12:51)

alfix
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

Dobrý den,
pokud mám zadání: vyjádřete vztah pro povrch pravidelného šestibokého jehlanu s podstavou vepsanou do kružnice s poloměrem r a výškou v.

Vyšlo mi:

S = (tg(30)*v*v/2*12) + (v * r  / 2 * 6)

Vycházím z toho, že:
- podstava (tg(30)*r*r/2*12) je 12 trojúhelníků, kdy jedna strana trojúhelníku má stranu stejnou jako poloměr r, dále znám úhel 30° (360°/12=30°), takže pomocí tg zjistím druhou stranu a jelikož je trojúhelnik pravoúhlý, mohu použít vzorec pro obdélkík a poté výsledek vydělit dvěma (a vynásobit 12, protože trojúhelníků je 12)

- plášť (v * r  / 2 * 6) může být obdélník, kde vypočítám obsah vzorcem a * b, vydělím dvěma (= trojúhelník) a poté vynásobím šesti (počet boků)

Prosím o radu, jestli jde o správný postup.

Offline

 

#2 05. 11. 2018 12:28

laszky
Příspěvky: 1048
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   73 
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

↑ alfix:

Omlouvam se, ze neporadim, ale takhle nejak si predstavuju matematicky dadaismus :-)

Offline

 

#3 05. 11. 2018 12:40 — Editoval Ferdish (05. 11. 2018 12:42)

Ferdish
Příspěvky: 1016
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   31 
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

↑ alfix:
To ani zďaleka.

Po prvé: podstava pravidelného šesťbokého ihlanu je tvorená pravidelným šesťuholníkom.

Je vôbec možné rozdeliť pravidelný šesťuholník na desať zhodných trojuholníkov?

Offline

 

#4 05. 11. 2018 12:52

alfix
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

Díky a omlouvám se, opravil jsem zadání. Má to být 12 shodných trojúhelníků, tedy úhel 30°.

https://www.vypocitejto.cz/obsah-obvod/obr/oo-se-1.svg

Offline

 

#5 05. 11. 2018 13:19 — Editoval Ferdish (05. 11. 2018 13:21)

Ferdish
Příspěvky: 1016
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   31 
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

↑ alfix:
Tak to by sme mali, môžeme pokračovať ďalej. Teraz správne vyjadri obsah pravouhlého trojuholníka, ktorý máš vyznačený na obrázku.

A snaž sa prosím zachovať označenie prvkov a dĺžok v príklade. Je mi jedno či použiješ značenie z prvého príspevku alebo z obrázku, ale používaj iba jedno z toho.

Offline

 

#6 05. 11. 2018 13:33

alfix
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

https://i.imgur.com/rz4IYP0.png

Takže obsah celé podstavy by měl být S * 12?

Offline

 

#7 05. 11. 2018 13:44 — Editoval Ferdish (05. 11. 2018 13:54)

Ferdish
Příspěvky: 1016
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   31 
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

Čítaš vôbec to, čo ti píšem? Znova si použil iné značenie - a tentokrát pre zmenu úplne nové!!!

S tvojim súhlasom navrhujem odteraz používať nasledovné značenie:
$a$ - kratšia odvesna v pravouhlom trojuholníku
$r$ - dlhšia odvesna v pravouhlom trojuholníku, súčasne VÝŠKA na stranu $a$ v pravouhlom trojuholníku
$r_0$ - polomer kružnice opísanej podstave nášho ihlana, súčasne PREPONA v pravouhlom trojuholníku
$v$ - výška ihlana


Čo sa týka výpočtu - potrebuješ si vyjadriť $r$, lebo túto hodnotu nepoznáš. Ty si si však vyjadril $a$, ktoré sa dá vyjadriť omnoho jednoduchšie cez polomer.
A tg 30° je tabuľková hodnota, takže ju môžeš rovno dosadiť do vzorca. Osobne by som však miesto tangensu uprednostnil inú goniometrickú funkciu...

Offline

 

#8 05. 11. 2018 14:04

misaH
Příspěvky: 10354
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

↑ Ferdish:

Obávam sa, že nemôžeš  odvesnu  označiť  r, keď je to podľa zadania polomer kružnice opísanej podstave.

Zadávateľ si proste situáciu nevie predstaviť, zrejme ani nepozná vlastnosti pravidelného šesťuholníka.

Offline

 

#9 05. 11. 2018 14:13 — Editoval Ferdish (05. 11. 2018 14:15)

Ferdish
Příspěvky: 1016
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   31 
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

↑ misaH:
Pokiaľ sa k tomu sám nevyjadrí, nechcem robiť žiadne unáhlené závery.

Pre mňa za mňa nech si to značí ako chce. Beztak zostanú vo výslednom vzťahu len dva parametre - polomer kružnice a výška ihlana.

Nech však značenie ostane pevné a nemenné od začiatku až do vyriešenia príkladu. Inak z toho vzniká chaos, ako môžeš vidieť...

Offline

 

#10 05. 11. 2018 14:24

alfix
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

Omlouvám se, ale ani z jednoho zadání nebylo patrné, jak označit stranu a, tak jsem udělal nový nákres. Ostatní jsem neměnil.. respektive mohl jsem v nejnovějším náčrtku označit a jako a/2 a pak by to korespondovalo, to je fakt.
Nechme tedy tvoje značení, které odpovídá i poslednímu náčrtku akorát s rozdílem, že r0 je přepona (že je to poloměr kružnice opsané nemusíme řešit, ten poloměr neznáme a myslím, že ani nepotřebujeme) a r je kromě delší odvěsny také poloměr vepsané kružnie.

mishaH: r je ale podle zadání poloměr kružnice VEPSANÉ podstavy, takže r by opravdu měla být delší odvěsna.

r tedy ze zadání podle mě znám, protože je to poloměr kružnice vepsané a tím pádem by měl být minimálně výpočet ze příspěvku #6 správně. Opravte mě prosím, pokud se pletu.

Offline

 

#11 05. 11. 2018 14:43 — Editoval Ferdish (05. 11. 2018 14:43)

Ferdish
Příspěvky: 1016
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   31 
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

↑ alfix:
Polomer a ani výšku ihlana síce nemáš zadané konkrétne, ale vystupujú v úlohe ako parametre.

To znamená, že keď nakoniec dospeješ k výslednému vzorcu pre povrch ihlana, tak v tom vzorci budú jedinými neznámymi práve tieto dva parametre - všetky ostatné (neznáme) prvky vo vzorci budú vyjadrené práve cez ne.

Ad opísaná/vpísaná kružnica - tak tento omyl som si všimol až teraz, ospravedlňujem sa. Avšak prečo je potom v nákrese zaznačená aj kružnica OPÍSANÁ podstave??? Zbytočný zavádzajúci krok, ktorý spôsobil viac škody než úžitku...


Takže, aby teraz už NAOZAJ nedochádzalo k omylom a zmätkom navrhujem urobiť nový náčrt s podstavou a kružnicou nemu VPÍSANOU a riadne a napevno zaznačiť všetky dĺžky a prvky, ktoré budeme k výpočtu obsahu podstavy potrebovať.

Offline

 

#12 05. 11. 2018 14:48

misaH
Příspěvky: 10354
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

↑ Ferdish:

Citát zo zadania:

s podstavou vepsanou do kružnice s poloměrem r

to znamená, že r je polomer   o p í s a n e j   kružnice.

A prečo sú dva polomery? Lebo zadávateľ našiel taký obrázok na internete.

...

Offline

 

#13 05. 11. 2018 14:57

Ferdish
Příspěvky: 1016
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   31 
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

↑ misaH:
Boha jeho, to je bordel, na toto fakt nemám nervy. A ako jednoducho ten príklad vyzeral...

Ak chceš, rád ti tento príklad kompletne prenechám. Mám totiž aj iné veci na práci, než tu veštiť z jasnovideckej gule resp. zo zadávateľovej hlavy správnosť/nesprávnosť zadania príkladu.

Offline

 

#14 05. 11. 2018 15:22

misaH
Příspěvky: 10354
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

↑ alfix:

Čakajú ťa 2 úlohy, lebo povrch toho ihlana sa skladá z pravidelného 6-uholníka a šiestich bočných rovnoramenných trojuholníkov.

Ty máš vyrátať ten povrch, keď poznáš polomer kružnice šesťuholníku opísanej a výšku toho ihlana.

Na to potrebuješ vedieť vyrátať

1. obsah toho 6-uholníka

2. obsah tých šiestich bočných 3-uholníkov

Offline

 

#15 05. 11. 2018 15:28

misaH
Příspěvky: 10354
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

Šesťuholník:

http://forum.matematika.cz/upload3/img/2018-11/27789_20181105_151718.jpg

Základná vec: 

Pravidelný 6-uholník sa skladá zo 6 rovnostranných trojuholníkov (vieš prečo) ?

Takže dĺžka AJ sa rovná polovica r, pričom r je dĺžka AB, rovnako aj dĺžka AH aj dĺžka BH.

Na výpočet obsahu trojuholníka potrebuješ poznať  dĺžku  JH.

Je na tebe, či zvolíš goniometriu alebo Pytagorovu vetu.

Offline

 

#16 05. 11. 2018 20:23

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7503
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   365 
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

↑ misaH:
Na obsah trojúhelníku není potřeba vzdálenost JH,
stačí znát délku strany tady snad r.


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#17 05. 11. 2018 20:32 — Editoval misaH (05. 11. 2018 20:34)

misaH
Příspěvky: 10354
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

↑ Cheop:

No - keď sa vieš nabifliť "vzorce"...

Na ZŠ sa v tomto prípade znalosť "vzorca" neočakáva, aspoň tu u nás, pokiaľ viem. Tu sa už na ZŠ neučí ani základná goniometria (a ani značná časť algebry - rozklady na súčin, lomené výrazy, sústavy rovníc...).

Ale je mi to jedno, nech si každý robí, čo uzná za vhodné...

Offline

 

#18 05. 11. 2018 22:47 — Editoval alfix (06. 11. 2018 19:08)

alfix
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

Díky za postrčení. To, že těch 6 trojúhelníků v podstavě je rovnostranných mi nedošlo. Teď podle tvých rad chápu, že r (z prvního zadání) je jedna strana trojúhelníku a stačí tedy dopočítat výšku, abych použil vzorec S = a * Va / 2.

Takže:

JH = sqrt(r^2 - (r/2)^2)

tedy S podstavy by mělo být:

S = 6 * (r * sqrt(r^2 - (r/2)^2) / 2)

Offline

 

#19 06. 11. 2018 02:12

gadgetka
Příspěvky: 8252
Škola: Gymnázium Nové Město na Moravě (1985)
Pozice: maminka
Reputace:   453 
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

Zdravím, můžeš si vzorec usnadnit:
obsah trojúhelníku obecně je
$S=\frac{z\cdot v}{2}$

a ty těch trojúhelníků máš 6:

$S=6\cdot \frac{z\cdot v}{2}=3\cdot z\cdot v$

Po dosazení:
$S=3\cdot r\cdot \sqrt{r^2-\(\frac{r}{2}\)^2}$

P. S. V tvém vzorci jsi místo "umocnítka" ^ použil zřejmě omylem *. A nikoli S podstavy, ale tys napsal jen vzorec pro obsah jednoho trojúhelníku z podstavy. :)


Nejsem učitelka, proto matematiku neučím, ale přímo ji řeším...

Offline

 

#20 06. 11. 2018 12:27 — Editoval alfix (06. 11. 2018 12:54)

alfix
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

gadgetka: Ahoj, moc děkuji, upravil jsem si to.

misaH napsal(a):

↑ Ferdish:

Citát zo zadania:

s podstavou vepsanou do kružnice s poloměrem r

to znamená, že r je polomer   o p í s a n e j   kružnice.

...

Díky, až teď mi došlo, jak je to myšlené. Já kružnici považoval za vepsanou a on je do ni vepsaná ta podstava.. pak už mi to dává smysl.

Zbývá tedy dopočítat S plášťě - 6 trojúhelníků, kde známe délku jedné strany (= r) a její výšku (v), takže by měl fungovat vzorec:
Spl = 6 * ((r * v) / 2)

Říkám to správně?

Offline

 

#21 06. 11. 2018 13:03

Ferdish
Příspěvky: 1016
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   31 
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

↑ alfix:
Pozor - výška ihlana sa nerovná výške trojuholníka v plášti! Tú budeš musieť vypočítať.

Offline

 

#22 06. 11. 2018 13:19 — Editoval alfix (06. 11. 2018 13:20)

alfix
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

To mi vůbec nedošlo. Těžko se mi představuje vztah té opsané kružnice k jednotlivým trojúhelníkům v plášti, ale řekl bych, že spodní strana těch šesti trojúhelníků bude rovna hodnotě r, takže si představím trojúhelník, který má spodní stranu r/2, kolmou ke straně o délce, která je rovno výšce jehlanu a tak si dopočítám výšku trojúhelníků v plášti:
sqrt((r/2)^2 + v^2)

Obsah jednoho trojúhelníku v jehlanu tedy:
S = ((r * sqrt((r/2)^2 + v^2)) / 2)

Spl = 6 * ((r * sqrt((r/2)^2 + v^2)) / 2)

Offline

 

#23 06. 11. 2018 16:58 — Editoval Ferdish (06. 11. 2018 17:00)

Ferdish
Příspěvky: 1016
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   31 
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

↑ alfix:
Opakujem - výška ihlanu sa nerovná výške "plášťového" trojuholníka.

Hľadaná výška je preponou v pravouhlom trojuholníku, ktorého kratšiu odvesnu tvorí výška nám už známeho "podstavového" rovnostranného trojuholníka, a dlhšiu odvesnu tvorí výška ihlanu.

Ak by si si to zakreslil do 3D náčrtu tvojho ihlanu, tak by ti to pravdepodobne začalo dávať zmysel...

Offline

 

#24 06. 11. 2018 20:54 — Editoval alfix (06. 11. 2018 20:55)

alfix
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

Díky za další nápovědu. Pokud tě chápu správně, tak počítáme toto:

https://i.imgur.com/OzCPQ4T.png

? = sqrt((r/2)^2 + v^2)

Ale není mi jasné, jak mi tohle číslo pomůže k výpočtu povrchu pláště jehlanu.

Původně jsem totiž zamýšlel počítat s těmito hodnotami (ta spodní hrana by měla mít délku jako r ze zadání):
https://i.imgur.com/kCuMI3P.png

Moc děkuji za trpělivost. :(

Offline

 

#25 06. 11. 2018 21:01

misaH
Příspěvky: 10354
 

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

↑ alfix:

Vieš čo - nechápeš správne.

Možno by si mohol sústrediť svoju pozornosť na vystrihnutie toho ihlana z papiera.

A až potom riešiť...

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson