Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 26. 12. 2018 21:35

Kotlopou
Zelenáč
Příspěvky: 23
Reputace:   
 

Vzájemné vzdálenosti čtyř bodů

Dávám to sem, protože vůbec nevím, na jaké úrovni je ten problém.

Mějme dané čtyři body na ploše. Mezi dvojicemi existuje šest různých vzdáleností. Máme zadaných pět a hledáme tu šestou. Může existovat více řešení. Vypadá to např. takto:

http://forum.matematika.cz/upload3/img/2018-12/55829_megaproblem.png

Známe vše kromě x. Nemusí platit, že jeden z bodů je uvnitř trojúhelníka z ostatních tří.


Pokusil jsem se to řešit nejprve přes Heronův vzorec - obsah trojúhelníka ABC se rovná součtu obsahů trojúhelníků ADC, CDB, BDA - ale to ztroskotalo na spoustě různých případů podle toho, kde se nachází bod D vůči ostatním třem (pokud je mimo ABC, některé obsahy se odčítají). Navíc vznikaly dost hnusné rovnice - když se mi během řešení objevil člen rozměru metr na šestnáctou, nechal jsem toho - a nevznikl by jednotný vzorec.

Pak jsem zkusil analytický přístup s umístěním bodu B do souřadnic [0; 0] a bodu C do souřadnic [a; 0]. Podařilo se mi přijít na souřadnice bodu A, ale u bodu D vznikaly další hnusné rovnice.



Pravděpodobně by se analytický přístup dal dotáhnout do konce, ale zahrnuje to spoustu svalové práce (problém budu nejspíš řešit i pro pět bodů v prostoru, kde už je známých devět dvojic a hledáme desátou). Neexistuje nějaký jednodušší způsob?

Offline

 

#2 26. 12. 2018 22:48 — Editoval vanok (26. 12. 2018 22:48)

vanok
Příspěvky: 13210
Reputace:   719 
 

Re: Vzájemné vzdálenosti čtyř bodů

Pozdravujem ↑ Kotlopou:,
Tvoj problem je zaujimavy.
Ak chces napredovat pozri si na internete, co najdes o determinante Caley-Menger.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 26. 12. 2018 23:25

Kotlopou
Zelenáč
Příspěvky: 23
Reputace:   
 

Re: Vzájemné vzdálenosti čtyř bodů

↑ vanok:

Jestli jsem to dobře pochopil (což není vůbec jisté), jde o něco, co dokáže spočítat objem čtyřstěnu z délek hran (obecně pro n rozměrů). To bylo to, k čemu jsem se chtěl původně dostat, takže je to motání se v kruzích.

Offline

 

#4 26. 12. 2018 23:31

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5204
Reputace:   195 
Web
 

Re: Vzájemné vzdálenosti čtyř bodů

Kotlopou napsal(a):

Pak jsem zkusil analytický přístup s umístěním bodu B do souřadnic [0; 0] a bodu C do souřadnic [a; 0]. Podařilo se mi přijít na souřadnice bodu A, ale u bodu D vznikaly další hnusné rovnice.

A nebylo by to lepší s body A a B?

Offline

 

#5 27. 12. 2018 01:10

Kotlopou
Zelenáč
Příspěvky: 23
Reputace:   
 

Re: Vzájemné vzdálenosti čtyř bodů

↑ Stýv:

Díky. Samozřejmě, že bylo. Takhle to vypadá o dost jednodušeji. Ukázkový příklad, jak může obrázek svést na scestí.

Offline

 

#6 27. 12. 2018 01:34 — Editoval vanok (27. 12. 2018 01:54)

vanok
Příspěvky: 13210
Reputace:   719 
 

Re: Vzájemné vzdálenosti čtyř bodů

poznamka. 
Ak sa sustredis na stvorsten v priestore, je jasne, ze jeho objem je nulovy v specialnom pripade ked 4 body A,B,C ,D su v rovine.  A to mozes vyuzit. 
( mozes sa inspirovat, ako ja,  tu http://mathafou.free.fr/themes_en/cayley.html )

No vsak mozes dokazat aj priamo ( v rovine), ze plati
$\begin{vmatrix} 
0 & 1&1&1&1 \\
1 & 0&d^2  &e^2&x^2\\
1&d^2&0&c^2&b^2\\
1&e^2&c^2&0&a^2\\
1&x^2&b^2&a^2&0
\end{vmatrix} =0$
(co mozes dokazat vela sposobmi, napr. vdaka linearnej algebre).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 27. 12. 2018 04:31 — Editoval vanok (27. 12. 2018 11:25)

vanok
Příspěvky: 13210
Reputace:   719 
 

Re: Vzájemné vzdálenosti čtyř bodů

Naznacim ti este toto:

Stale podla tvojho obrazku ↑ Kotlopou:,
vektory $\vec {DA}, \vec {DB},\vec {DC}$ su linearne zavisle, tak ich Gram-ov determinant est nulovy. Tu mas jeho vlasnosti https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gramian_matrix  . Ako vidis je typu 3x3. 
Urcime  vsetki jeho cleny
(Naznacim ako sa to robi)
$\vec {DA}|\vec {DA}=d^2$
$\vec {DB}|\vec {DB}=e^2$
$\vec {DC}|\vec {DC}= x^2$
$\vec {BC}=\vec {BD} +\vec{DC}$, co da ....$a^2=e^2-2 \vec {DB}|\vec {DC} +x^2$ a tak $ \vec {DB}|\vec {DC} =\frac {e^2+x^2-a^2}2$
Atd
Teraz mozme napisat Gram-ov determinant $0=...$, co je ina forma odpovede, a pochopitelne aj ukazat, ze sa rovna
$\frac 18 .\begin{vmatrix} 
0 & 1&1&1&1 \\
1 & 0&d^2  &e^2&x^2\\
1&d^2&0&c^2&b^2\\
1&e^2&c^2&0&a^2\\
1&x^2&b^2&a^2&0
\end{vmatrix} $ ( ti necham urobit samemu ak tomu neveris)
A tak mame ( dve metody) co nam daju odpoved na tvoju otazku.... no mozes sa zabavat s tym a nast aj ine. ( no vzdy over, ze ti to da ten isty vysledok).’’


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 27. 12. 2018 10:44 — Editoval vanok (27. 12. 2018 11:23)

vanok
Příspěvky: 13210
Reputace:   719 
 

Re: Vzájemné vzdálenosti čtyř bodů

Pridam ti este detajli toho Gram-oveho determinantu
$\begin{vmatrix} 
\vec {DA}|\vec {DA} &\vec {DA}|\vec {DB} &\vec {DA}|\vec {DC}\\
 \vec {DB}|\vec {DA} &\vec {DB}|\vec {DB} &\vec {DB}|\vec {DC}\\
\vec {DC}|\vec {DA} &\vec {DC}|\vec {DB} &\vec {DC}|\vec {DC}
\end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 
d^2 &\frac { d^2+e^2-c^2}2 &\frac {x^2+d^2-b^2}2\\
\frac {d^2+e^2-c^2}2 & e^2  &\frac {e^2+x^2-a^2}2 \\
\frac {x^2+d^2-b^2}2&\frac {e^2+x^2-a^2}2 &x^2
\end{vmatrix} =0$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson