Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 04. 02. 2019 10:31 — Editoval zaspicek (04. 02. 2019 10:59)

zaspicek
Zelenáč
Příspěvky: 17
Reputace:   
 

Matematická indukce - nerovnice

Ahoj,

mohl by mi prosím někdo pomoct s tímhle příkladem?

Dokažte, že platí:

Pro všechna $n\ge 1$

$\frac{n}{1+n} < \ln (1+\frac{1}{n})^{n} < 1$

Vím, že pokud udělám indukcí
$n = 1$ tak $\frac{n}{1+n} < \ln (1+\frac{1}{n})^{n}$ neplatí, ale $\ln (1+\frac{1}{n})^{n} < 1$ ano.

Dál už nevím, jak se dostat.

Předem děkuji za pomoc

Offline

 

#2 04. 02. 2019 10:46

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8558
Reputace:   496 
 

Re: Matematická indukce - nerovnice

↑ zaspicek:
Ahoj.

Úloh, v nichž figuruje nerovnost $\frac{n}{1+n} < \ln (1+\frac{1}{n})^{n} < 1$,
může být mnoho. Zkus napsat přesné zadání Tvé  úlohy. To má i pro Tebe význam,
neboť už snaha o přesnou formulací nás často zavede na "správnou stopu".

Offline

 

#3 04. 02. 2019 10:47

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 3941
Škola:
Reputace:   99 
 

Re: Matematická indukce - nerovnice

↑ zaspicek: Preco myslis, ze pre $n = 1$ vztah $\frac{n}{1+n} < \ln (1+\frac{1}{n})^{n}$ neplati?

Offline

 

#4 04. 02. 2019 11:02

zaspicek
Zelenáč
Příspěvky: 17
Reputace:   
 

Re: Matematická indukce - nerovnice

↑ Rumburak: opravil jsem zadání.

↑ vlado_bb: vlastně platí, máš pravdu.

Poté jsem teda upravil na

$\frac{n+1}{n+2} < ln(1 + \frac{1}{n+1})^{n+1} < 1$

Co mam udelat dale?

Offline

 

#5 04. 02. 2019 11:28 — Editoval Rumburak (04. 02. 2019 11:35)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8558
Reputace:   496 
 

Re: Matematická indukce - nerovnice

↑ zaspicek:

Máme-li funkci $f$ definovanou a rostoucí v $\mathbb{R}$, potom nerovnice $a < b$ je ekvinalentní
s nerovnici $f(a) < f(b)$. Zkus použít tuto větu, když za $f$  vezmeš funkci $\exp$.

Alternaticní možností by mohlo být vyjádřit ten přirozený logaritmus integrálem (po drobné úpravě
v tom prostředním členu nerovnice). Ale zcela promyšleno to nemám.

Offline

 

#6 04. 02. 2019 11:59

zaspicek
Zelenáč
Příspěvky: 17
Reputace:   
 

Re: Matematická indukce - nerovnice

↑ Rumburak: moc nechápu co tím myslíš..mohl bys mi to prosím ukázat na příkladu?

Offline

 

#7 04. 02. 2019 12:17

krakonoš
Příspěvky: 289
Reputace:   10 
 

Re: Matematická indukce - nerovnice

Ahoj.
Co se tyce primeho dukazu,  sesadila bych mocninu a dala n pred logaritmus ,a pak pouzila ,ze logaritmus argumentu je mensi nez argument.Dostaneme,ze je zadany vyraz mensi nez nplus 1, tedy i mensi nez 1.
Pri dukazu opacne nerovnosti sesadit opet mocninu a udelat rozvoj logaritmu v radu.Logaritmus bude vetsi nez prvni dva cleny v rade a z toho to pakvse vyplyne.

Offline

 

#8 04. 02. 2019 14:33 — Editoval Rumburak (04. 02. 2019 14:36)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8558
Reputace:   496 
 

Re: Matematická indukce - nerovnice

↑ zaspicek:

Když za funkci $f$ vezmeme rostoucí funkci $\exp$, můžeme místo nerovnosti

(1)          $\frac{n}{1+n} < \ln (1+\frac{1}{n})^{n} < 1$

dokazovat nerovnost

(2)          $\exp \frac{n}{1+n} < \exp \ln (1+\frac{1}{n})^{n} < \exp 1$

neboli
               $\exp \frac{n}{1+n} <  (1+\frac{1}{n})^{n} < \text{e}$.

Ale jak jsem napsal, konkretně promyšleno to nemám.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson