Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 10. 02. 2019 10:43

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1832
Reputace:   53 
 

Laplaceova rovnice

Zrovna v jednom fyzikálním vlákně řešíme, zdali může mít Laplaceova rovnice

$\triangle \varphi = 0$

s okrajovou podmínkou, že v nekonečné vzdálenosti od počátku je její hodnota nulová, tedy že

$\varphi_{(\infty )} = 0$

a asi ještě s požadavkem, že řešení musí v celém prostoru existovat (tj. nesmí tam být nějaké body nespojitosti)

zdali může mít i jiné řešení, nežli nulové v celém prostoru, nebo nemůže.

Nepotřebujeme důkaz, stačil by odkaz, nebo aspoň názor.

Offline

 

#2 10. 02. 2019 13:47

laszky
Příspěvky: 1245
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   94 
 

Re: Laplaceova rovnice

↑ MichalAld:

Ahoj, me napadaji napr. tyto 2 duvody:

1) Jelikoz je $L=-\Delta$ elipticky operator, plati pro nej srovnavaci princip:

$L\varphi\geq0\;\mbox{v}\ \Omega\;\;\& \;\; \varphi\geq0\;\mbox{na}\ \partial\Omega\quad\Rightarrow\quad \varphi\geq0\;\mbox{v}\ \overline{\Omega} $

Pouzije-li se stejne pravidlo na funkci $-\varphi$, ziskame

$\varphi\geq0\;\mbox{v}\ \overline{\Omega}\;\; \& \;\; \varphi\leq0\;\mbox{v}\ \overline{\Omega}\quad\Rightarrow\quad \varphi=0\;\mbox{v}\ \overline{\Omega}$

2) Napr. Greenova funkce pro Laplaceuv operator v $\mathbb{R}^2$ ma tvar

$G(x_1,x_2) = \frac{1}{2\pi}\,\sqrt{x_1^2+x_2^2}$

a reseni rovnice $\Delta \varphi = f\;\mbox{v}\ \mathbb{R}^2$ s $\varphi_{(\infty )} = 0$ lze vyjadrit ve tvaru

$\varphi(x_1,x_2)=\int_{\mathbb{R}^2} G(x_1-\overline{x}_1,x_2-\overline{x}_2)f(\overline{x}_1,\overline{x}_2)\,\mathrm{d}\overline{\boldsymbol{x}}$

Je-li $f=0$, je i $\varphi=0\;\mbox{v}\ \mathbb{R}^2$.

Offline

 

#3 10. 02. 2019 23:54

KennyMcCormick
Příspěvky: 1544
Reputace:   48 
 

Re: Laplaceova rovnice

Platí to i pro vektorový Laplaceův operátor?


Even if you take the best course of action, the universe is still allowed to say "So what?" and kill you.

Offline

 

#4 13. 02. 2019 10:24 — Editoval Bati (13. 02. 2019 10:25)

Bati
Příspěvky: 2138
Reputace:   168 
 

Re: Laplaceova rovnice

Ahoj, tady je jedno, jestli je to skalarni rovnice nebo vektorova, protoze laplac po slozkach je zase laplac a prava strana je nula.

Jinej zpusob jak to videt je, ze kazda harmonicka funkce splnuje mean value property:
$\varphi(x)=\frac1{r^{n-1}V_d}\int_{\partial B_r(x)}\varphi(y)\,\mathrm{d}S(y)$
Takze $|\varphi(x)|\leq \sup_{\partial B_r}|\varphi(y)|\to0$, $r\to\infty$, pro kazdy $x$.

Zadny pozadavek spojitosti neni potreba, mas hezkou pravou stranu a okrajovky, takze reseni existuje a je hladky

Offline

 

#5 13. 02. 2019 23:04

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1832
Reputace:   53 
 

Re: Laplaceova rovnice

Bati napsal(a):

Zadny pozadavek spojitosti neni potreba, mas hezkou pravou stranu a okrajovky, takze reseni existuje a je hladky

No jo, ale co když vezmu třeba funkci

$F(z) = \frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy} = \frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}$


Rovnici by měla (krom bodu nula) splňovat - každá "slušná" komplexní funkce by ji měla splňovat, a nuly to v nekonečné vzdálenosti nabývá také. Akorát je tam ta nespojitost v bodě nula. Proto jsem předpokládal, že požadavek na spojitost v celé oblasti je nutný.

Offline

 

#6 14. 02. 2019 00:40

Bati
Příspěvky: 2138
Reputace:   168 
 

Re: Laplaceova rovnice

To je fakt...dalsi duvod, proc na celym $R^d$ je to hrozne divny...

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson