Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 13. 03. 2019 06:01 — Editoval stereo-total-music (13. 03. 2019 06:05)

stereo-total-music
Příspěvky: 213
 

Integrál při odvození koeficientu Fourierovi série

Mějme integrál s komplexním číslem:
$$$\int\limits_0^T e^{\;i\cdot \frac{2\pi(n-m)}{T}\cdot \tau} \; d\tau$$$

Pokud se koeficienty rovnají $n=m$, tak není problém odvodit že tento integrál je roven $T$.

Pokud se koeficienty nerovnají $n\neq m$, tak je podle mě:
$\int\limits_0^T e^{\;i\cdot \frac{2\pi(n-m)}{T}\cdot \tau} \; d\tau = \frac{T}{2\pi i (n-m)}\cdot \left( e^{\;i\cdot \frac{2\pi(n-m)}{T}\cdot \tau} \right)_{\tau=0}^{\tau=T}$
V takovém případě by měl být tento integrál vždy nulový, ale to mi nejde odvodit. Můžete mi pomoct?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) stereo-total-music)

#2 13. 03. 2019 07:13

Bati
Příspěvky: 2146
Reputace:   168 
 

Re: Integrál při odvození koeficientu Fourierovi série

↑ stereo-total-music:
Funkce $x\mapsto e^x$ je $2\pi i$ periodicka, takze v te zavorce je $(1-1)$.

Offline

 

#3 13. 03. 2019 10:13

krakonoš
Příspěvky: 342
Reputace:   14 
 

Re: Integrál při odvození koeficientu Fourierovi série

Pokud  n-m neni cele cislo,tak podle me integral neni nulovy.

Offline

 

#4 13. 03. 2019 23:15

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1933
Reputace:   56 
 

Re: Integrál při odvození koeficientu Fourierovi série

↑ krakonoš:
To máš určitě pravdu, ale pokud vím, tak u Fourierovy řady se uvažují jen harmonické frekvence - tj. celočíselné násobky té základní.

U Fourierovy transformace, kde se uvažují všechny frekvence (a integrál se nepočítá přes periodu, ale přes celou časovou osu) - no tak tam to (podle mě) nekonverguje, ale ani nediverguje, jen to tak osciluje.

Nevím, jaké všechny triky na to mají matematikové, já znám jen to ještě přenásobit nějakou funkcí, které jde v nekonečném čase k nule, a kolem nuly je jednotková (říká se tomu okno) a případně po spočítání výsledku "s oknem" nechat tohle okno zvětšovat až k nekonečnu.

Protože běžně uváděný výsledek je nula pro m != n, a Diracův pulz pro m=n.

Možná se k němu ale došlo bez nějakého složitého počítání, prostě jen tak, že když na něj aplikujeme inverzní transformaci, dostaneme sinusové signály.

Offline

 

#5 14. 03. 2019 09:18

krakonoš
Příspěvky: 342
Reputace:   14 
 

Re: Integrál při odvození koeficientu Fourierovi série

↑ MichalAld:
Ahoj.
Příklad nebyl zadán ve formě fyzikálního problému,tak jsem uvažovala čistě jenom matematicky.O n,m tam rovněž nic nebylo.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson