Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
17. 10. 2014 (Jel.) Kolega Pavel připomíná, že budou Vánoce. Děkuji!
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použit některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
01. 09. 2013 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie - aktuální

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 15. 12. 2009 20:13 — Editoval MWagusak (15. 12. 2009 20:49)

MWagusak
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

[Odmocniny] - jeji vypočet pomoci "algoritmu"

"Jsem fanda do matematiky, ale nevenuji se ji natolik, že bych byl "odbornik" vzhledem k věku, jen když mě něco zaujme, tak počítám i dlouhé hodiny než ten výsledek dostanu. A teď k tématu..."

Nevim jestli se to dá nazvat "algoritmus", moc toho o matice a vyjadřování v ní nevím, doufam, že se v tom nestratíte.
Bádal jsem jak získat bez kalkulačky, či tabulek odmocnicu třeba (př.: 5√243 ), chtěl bych vědět jestli je to možné použít v praxi jako efektivní řešení (mě se zdá, že by to mohlo trvat dlouho i kdyby byl napsat nejaky program s timto), nebo jak bych to měl upravit popřípadně jiné řešení, které je v matice dáno a já o něm jen nevím...

Výpočet má několik kroků, (vůbec netušim jak bych to měl správně sepsat, aby to nevypadalo tahle nepřehledně).


Legenda

Code:

y => zadané číslo, číslo vstupní, které chceme odmocnit (z př.:  je to to 243)
x => množina N -to prozatim stačí, X € {N+}; (nepočítám s 0, proto to +), z množiny vybírám čísla postupně
n' => je v př.: 5 (č. odmocniny, víte co myslim...nevim jak se to jmenuje:( )
n'' => pro n'' < n' o jednu, nevim jak to vyjadrit, uvidíte v přikladu
Z' =>  oznaceni vysledku kroku 1
Z'' =>  oznaceni vysledku kroku 2
O => vysledná odmocnina

1. krok    5√243  a   v prvním kroku začínáme s X=2; y=243; ( jednicku vynechám, zbytečný krok pro náš příklad)

Code:

243
___     = 121.5   // 121.5 vysledek Z'
  2

V tomto kroku jsem udělal podíl X na Y, následně ověřím v kroku 2 jestli by to mohla být 2, ktrá by byla 5√243...

2.krok  x=2;

Code:

2^4 = 16           =>   Z'≠Z'' // jelikož se to nerovná zvolím další číslo z množiny, trojku

Tady jsem udělal  x^, protože n''<n'  x^4 < x^4; (samozřejmě je i jiná možnost, zvolil jsem tuhle, lepší jsem nevymyslel)

1. krok - znovu opakuji s jiným číslem z množiny N+

Code:

243
___     = 81   // 81 vysledek Z'
  3

2.krok

Code:

3^4 = 81          =>   Z'=Z'' //rovná-li se mi Z' s Z'' získám O=3 => č. 3 je naše pátá odmocnina z 243

Výsledek máme tedy 3. Ale pořád nad tím dumám, že je to strašně složité, dá se to nějak zjednodušit (bez tabulek, kalkulačky), abychom mohli počítat nejen s N  ( bez celých-záporných a iracionálních čísel).
Např.: s rozepsáním na papír + v hlavě, odmocnit třeba číslo 38 235

"Tento způsob používám pro MS office Excel jako vzorec (upravený), nenašel jsem tam větší možnost odmocnění, než je √. Proto jsem si taky napsal to, co zde je, raději to ani nazývat nebudu.:) Díky za odpovědi, kritiku, uplně jiné řešení...."       
EDIT: (příbuzný to zkoušel pomocí logaritmů, ale to už je lepší volba ty tabulky.:) )


P.S. Ještě jsem nevyšel ZŠ, 8.tř. (poznámka k umístění příspěvku)

Offline

 

#2 16. 12. 2009 13:59

MWagusak
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: [Odmocniny] - jeji vypočet pomoci "algoritmu"

↑ MWagusak:

Omlouvám se za oživení, mohl by prosimvás někdo poradit. Děkuji:)

Offline

 

#3 16. 12. 2009 14:50

martanko
Místo: banska bystrica
Příspěvky: 493
Reputace:   
Web
 

Re: [Odmocniny] - jeji vypočet pomoci "algoritmu"

prepac ale sa trosku usmievam nad tym ze namiesto znaku $\in$ si pouzil znak pre euro :D

Offline

 

#4 16. 12. 2009 15:52

MWagusak
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: [Odmocniny] - jeji vypočet pomoci "algoritmu"

↑ martanko:
no, malinkej detail... rád bych aby mi někdo zkušenější reagoval na první post:)...

Offline

 

#5 16. 12. 2009 17:16

MWagusak
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: [Odmocniny] - jeji vypočet pomoci "algoritmu"

↑ MWagusak:

Promiňte za další oživení tématu, rád bych dostal nějakou odpověď k otázkám... Děkuji mnohokrát když aspoň napíšete jestli je to správná cesta atd.. viz nahoře. Vrtá mi to hodně hlavou, ale nejsem zkušený matematik...

Offline

 

#6 16. 12. 2009 22:17

MWagusak
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: [Odmocniny] - jeji vypočet pomoci "algoritmu"

↑ MWagusak:

Už je mi to dost trapné oživovat, mohl byste mě někdo kontaktovat nebo pomoci. Děkuji, vždyť nechci nic vyřešit za sebe jen zjistit zda-li je v pořádku.

Offline

 

#7 16. 12. 2009 22:39 — Editoval FailED (16. 12. 2009 22:55)

FailED
Příspěvky: 1255
Reputace:   42 
 

Re: [Odmocniny] - jeji vypočet pomoci "algoritmu"

↑ MWagusak:
Samozřejmě to funguje :) Stejně jak tam testuješ 2^4, 3^4 tak bys tam mohl testovat rovnou páté mocniny.
Co se týče celých čísel, když hledáš třeba pátou odmocninu z 243, můžeš ti pomoct poslední cifra, pátá mocnina celého čísla končí v desítkové soustavě na 3 jedině když to číslo končí na 3, dál víš že 13^5 je víc než 10^5=100 000 takže to musí být 3.

A když to chceš rozšířit na necelá čísla, existují algoritmy pro hledání přibližného řešení, (odmocniny jsou často iracionální čísla) ale to není nic co bys chtěl počítat ručně. A navíc to není nic pro žáka osmé třídy. Jestli tě to opravdu zajímá, nebo se chceš jen dozvědět jak to funguje, zkus hledat např. aproximace nebo numerické řešení. Tu pátou odmocninu bys musel zadat třeba jako funkci $y=\sqrt[5]{x}-243$ a hledat po které(á) x je y rovno 0.

Možná existují pro odmocňování i efektivnější algoritmy, takové neznám, ale rád se přiučím :).

Offline

 

#8 17. 12. 2009 14:55

MWagusak
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: [Odmocniny] - jeji vypočet pomoci "algoritmu"

↑ FailED:

Moc děkuji.  Dost mi to pomohlo, už jsem aspoň o něco moudřejší. Budu experimentovat s těmi funkcemi. Zdá se mi to i snažší.
Hezkej den.:)

Offline

 

#9 17. 12. 2009 15:10

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: [Odmocniny] - jeji vypočet pomoci "algoritmu"

Třeba pro druhou odmocninu je jeden takový hezký snadno pochopitelný postup. Chceme třeba odmocnit číslo 111. Tipneme si, že by ta odmocnina mohla být zhruba 10. Vypočteme
$\frac 12 \( 10 + \frac{111}{10} \) = \frac{211}{20}$
což je nový, přesnější odhad, než byl ten první (10). Pokračujeme zase stejně:
$\frac 12 \( \frac{211}{20} + \frac{111}{\frac{211}{20}} \) = \frac{88921}{8440} \approx 10,535664$
$\sqrt{111} \approx 10,535654$
takže už máme hodně dobrý odhad (při zaokrouhlení na 6 platných číslic stejné)… Takto můžeme pořád opakovat a vždy dostaneme lepší odhad odmocniny.

Podobný, ale složitější postup se dá sestrojit pro libovolnou odmocninu.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#10 18. 12. 2009 12:56

Pavel
Místo: Ostrava/Třinec
Příspěvky: 1274
Reputace:   63 
 

Re: [Odmocniny] - jeji vypočet pomoci "algoritmu"

Pro přibližný výpočet $k$-té odmocniny z čísla $a$ lze použít vzorec

$ x_{n+1}=\frac 1k\,\left((k-1)x_n+\frac a{x_n^{k-1}}\right), $

kde $a$ je číslo, které chceme odmocnit, $k$ je řád odmocniny a $x_1$ je startovací hodnota, nejlépe nějaký, třeba i hrubý, odhad hledané domocniny. Tak dostaneme číslo $x_2$, které bude lepším odhadem hledané odmocniny než $x_1$. Vzorec je možné použít znovu na tento výsledek $x_2$ a dostat ještě přesnější odhad $x_3$. A tak můžeš odhad dále zlepšovat.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#11 18. 12. 2009 13:43

Cheop
Příspěvky: 6231
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: pracující
Reputace:   300 
 

Re: [Odmocniny] - jeji vypočet pomoci "algoritmu"

↑ Pavel:
Pěkná metoda (tu jsem neznal).


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#12 18. 12. 2009 14:33

Pavel
Místo: Ostrava/Třinec
Příspěvky: 1274
Reputace:   63 
 

Re: [Odmocniny] - jeji vypočet pomoci "algoritmu"

↑ Cheop:

Jedná se o použití Newtonovy metody

http://cs.wikipedia.org/wiki/Newtonova_metoda

na funkci $f(x)=x^k-a$.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson