Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 18. 07. 2011 20:05 — Editoval Olin (18. 07. 2011 20:07)

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Uzávěr spočetného sjednocení

Nechť $\{A_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ je posloupnost podmnožin libovolného topologického prostoru. Dokažte, že

$\overline{\bigcup_{i =1}^\infty A_i} = \left ( \bigcup_{i =1}^\infty \overline{A_i} \right ) \cup \left ( \bigcap_{i =1}^\infty \overline{\bigcup_{j = i}^\infty A_j} \right )$.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Olin)

#2 18. 07. 2011 20:57 — Editoval Pavel Brožek (18. 07. 2011 21:01)

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Uzávěr spočetného sjednocení

Dokážu nejprve

$\overline{\bigcup_{i =1}^\infty A_i} \supseteq \left ( \bigcup_{i =1}^\infty \overline{A_i} \right ) \cup \left ( \bigcap_{i =1}^\infty \overline{\bigcup_{j = i}^\infty A_j} \right )$,

k druhé části důkazu se případně vrátím později. (Zatím ji vymyšlenou nemám, předpokládám, že bude obtížnější.)

Offline

 

#3 20. 07. 2011 12:52

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: Uzávěr spočetného sjednocení

Souhlasím. Uvedenou inklusi jsem dokazoval trochu stručněji:



Druhá inkluse mi vskutku připadla obtížnější.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#4 20. 07. 2011 14:13 — Editoval Rumburak (20. 07. 2011 14:15)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8172
Reputace:   478 
 

Re: Uzávěr spočetného sjednocení

↑ Olin:↑ Pavel Brožek:

Důkaz obrácené inkluse také není těžký :

Offline

 

#5 22. 07. 2011 00:10 — Editoval Olin (23. 07. 2011 12:51)

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: Uzávěr spočetného sjednocení

↑ Rumburak:

Velmi pěkné, já jsem se při tomto důkazu nevyhnul topologickým úvahám.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#6 22. 07. 2011 09:54 — Editoval Rumburak (22. 07. 2011 10:14)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8172
Reputace:   478 
 

Re: Uzávěr spočetného sjednocení

↑ Olin:

Tvé řešení je také pěkné a stojí za to si ho zapamatovat.  I v mém řešení jsou přítomny  topologické úvahy, a sice hned v prvním řádku,
kde jsem využil skutečnosti, že operece uzávěru je konečně additivní. Holt jsme v topologii ...

(To sjednocení v  podmínce (2) u Tebe zřejmě mělo probíhat od j = i. Já indexy i, j nerad používám vedle sebe,
protože při nižší hladině pozornosti se mi popletou buďto mezi sebou nebo s jedničkou.  :-) )

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson