Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 01. 08. 2011 05:07

stuart clark
Příspěvky: 793
Reputace:   
 

inequality

If $a,\;b,\;c>0\;,$ Then $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\geq \sum_{cyclic}ab\sqrt{\frac{a}{b}(b+c)(c+a)}$

Offline

 

#2 09. 03. 2018 13:40

laszky
Příspěvky: 773
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   46 
 

Re: inequality

If we divide the whole inequality by $abc>0$, we obtain

$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b} \geq \sqrt{\left(\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)} + \sqrt{\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{b}{a}\right)} + \sqrt{\left(\frac{c}{b}+\frac{c}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)}$.

The left-hand side can be rearranged in the form

$ \frac{1}{2}\left[\left(\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\right) + \left(1+\frac{a}{c}\right)\right]+ 
   \frac{1}{2}\left[\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right) + \left(1+\frac{b}{a}\right)\right] + 
   \frac{1}{2}\left[\left(\frac{c}{b}+\frac{c}{a}\right) + \left(1+\frac{c}{b}\right)\right] + \frac{1}{2}\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{b} + \frac{b}{c} -3 \right) $.

For each term in the square brackets, we use the AG-inequality $x+y\geq 2\sqrt{xy}$, whereas for the last term there holds

$\frac{c}{a}+\frac{a}{b} + \frac{b}{c} -3 \geq 3\sqrt[3]{\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c}} -3 = 0$,

where we have applied another AG-inequality $x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}$.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson