Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 26. 02. 2012 10:12 — Editoval Andrejka3 (26. 02. 2012 10:28)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1883
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   112 
 

Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

Ahoj fórumáci.
Narazila jsem na hezký příklad, se kterým bych se ráda s Vámi podělila. Hledala jsem, jestli tady už je, ale myslím, že ne.

Zadání a návod


Porozumění (pro ty, kteří neznají binomická čísla)

Řešení pro $j=3$

To je pro mě kouzelný výsledek. Dokonce mě bavilo postupně dosazovat malá čísla $n$ a ověřovat, že to skutečně funguje. Samozřejmě se nabízí otázka, zda to funguje pro každé přirozené $j$.
Prvočísla

Proč to píšu:
Napadne Vás nějaké zadání slovní úlohy, které by vedlo k tomuto příkladu? Asi lze napsat obecný postup, jak spočítat tyto vztahy pro libovolné $j$ přirozené (Frobenius-Stickelberger?). Kdybyste věděli, jak na to, těším se na odpovědi.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Andrejka3)

#2 26. 02. 2012 19:57

check_drummer
Příspěvky: 2395
Reputace:   65 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

↑ Andrejka3:
Ahoj, velmi pěkné. Každý vztah, kde figuruje reálná funkce a přirozená čísla jako hodnoty je pěkný. :-)
Jakou máš na mysli slovní úlohu - samo zadání "najděte počet podmnožin..." není slovní úloha?


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#3 26. 02. 2012 20:13

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1883
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   112 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

↑ check_drummer:
Ahoj, no spíš bych ráda něco více "ze života" :D
Něco, co by mohlo třeba zaujmout puberťáky.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#4 27. 02. 2012 00:49 — Editoval vanok (27. 02. 2012 00:51)

vanok
Příspěvky: 12306
Reputace:   698 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

Ahoj ↑ Andrejka3:,
toto sa ti zda ake?
V jednej triede ucitel vymyslel takuto matematicku aktivitu:
do jedneho klobuka dal 64 papierikov a na kazdy napisal jednu inu podmnozinu mnoziny
$A= \{1;2;3;4;5;6 \}$
Pripravil 2 krabice
na jednu napisal pocet prvkov je delitelny 3
na  pocet prvkov je nedelitelny 3

A dal taketo otazky
1) napisal  vsetki  podmnoziny mnoziny A?
2) ak rozdelime tie papieriky do nasich 2 krabic, ktora bude mat viacej papierikov
3) da sa to dokazat?

......
ATD....

Ale neviem ci je to zo zivota, ako si chcela?  Ale je to mozno pouzitelne v nejakom matematickom kruzku.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 27. 02. 2012 07:05

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1883
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   112 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

↑ vanok:
Díky za nápad. Určitě to je pro nematematiky lepší.

PS: A co si myslíte o obecnějším případě pro libovolné přirozené $j$? Že lze vždy vymyslet, jak ty rovnice vynásobit a posčítat?


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#6 01. 03. 2012 19:01 — Editoval Andrejka3 (01. 03. 2012 19:49)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1883
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   112 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

Pokračování první zprávy:
Pozorování
Díky symetriím problému (názorné v Gaussově rovině) platí $\forall n \in \mathbb{N}: \; \sum_{j=0}^{n-1}e^{i 2 \pi \frac{j}{n} }=0$, tedy také

$\sum_{j=1}^{n-1}e^{i 2 \pi \frac{j}{n} }=-1 \;.$   (12)

Z toho je patrné, že $y$ z důkazu pro $j=p$ prvočíslo je rovno jedné.
Dále je patrné, že grupy řešení rovnice (2) jsou cyklické a tedy, máme-li prvočíselný rozklad, $j= \Pi_{l=1}^{m} p_l^{\nu_l}$ (různá prvočísla), pak grupa kořenů příslušné rovnice (2) je izomorfní aditivní grupě $\times_{l=1}^{m}\mathbb{Z}_{p_l^{\nu_l}}$. (Nejsem si tímto jistá.)
V následujícím textu zkouším dokázat, proč návod funguje pro čísla ve tvaru součinu dvou prvočísel, $j=pq$. Je to sice jen 'malá třída' čísel a opět jen speciální případ, ale myslím, že zobecnění na širší případy se pak nabídne samo.

$j=pq$



edit: doplněno.
Zbývá přemýšlet o obecném případě, nebo aspoň součinu prvních mocnin konečně mnoha prvočísel, pak třeba druhá mocnina jednoho prvočísla a nakonec to možná zapadne a bude to.
Napsat hezky obecně pravou stranu?


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#7 01. 03. 2012 20:09

check_drummer
Příspěvky: 2395
Reputace:   65 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

↑ Andrejka3:
Ahoj. Já jsem si říkal, že by tam to y mohlo být "zbytečně". :-) Bohužel nemám teď tolik času se více zamyslet, tak jen krátce - pro případ j prvočíslo tedy dáváš jen "návod" jak daný vzorec sestavit, ovšem nikoli explicitní vzorec, protože je poněkud obtížně takto jedním vzorcem vystihnout všechna taková j - mám pravdu?
Bylo by zajímavé najít "společný" explicitní vzorec pro všechna j, tedy pokud vůbec existuje. Na druhou stranu, pokud existuje pro každé j, pak jistě existuje v poněkud komplikovaném tvaru - nechť je tento počet pro každé j dán výrazem K(j). Potom pro libovolné m je dán tento vzorec např. výrazem $\sum_i{(1-|sign(m-i)|)K(i)}$.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#8 01. 03. 2012 20:30

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1883
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   112 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

check_drummer napsal(a):

↑ Andrejka3:
...
Na druhou stranu, pokud existuje pro každé j, pak jistě existuje v poněkud komplikovaném tvaru - nechť je tento počet pro každé j dán výrazem K(j). Potom pro libovolné m je dán tento vzorec např. výrazem $\sum_i{(1-|sign(m-i)|)K(i)}$.

Ahoj. Díky za odpověď.
Ano, dávám jen návod, jak vzorec sestavit. Spočítala jsem vždy jen levou stranu (explicitně), ale pravou s tou Moivre větou jsem se nezabývala prozatím. Přesně, jak píšeš. Ráda bych našla nějaký vzorec obecný. :D
Bohužel nerozumím tomu dalšímu, co píšeš. V diskrétce toho ještě moc nevím.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#9 01. 03. 2012 21:43

check_drummer
Příspěvky: 2395
Reputace:   65 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

↑ Andrejka3:
Já už tam ale žádnou další myšlenku nemám. :-)


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#10 02. 03. 2012 12:19 — Editoval Andrejka3 (02. 03. 2012 12:21)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1883
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   112 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

Zobecnění pro $j=\Pi_{l=1}^m p_l$, kde $p_l$ jsou různá prvočísla:

Pozorování 2
$\Psi_k$ definované v (13) je endomorfismem na grupě řešení rovnice (2) (díky komutativitě).
Platí: $j|k \Rightarrow \Psi_k$ je triviální endomorfismus.
Zobrazení $\Psi_k$ budu úžit na menší podmnožiny (podgrupy).

Vyšetřujme koeficienty u členu ${n \choose k}$ pro $k=0, \dots,n$ (poté, co podle návodu dosadíme řešení (2) do (1) a rovnice sečteme).
1) Pro $j|k \Rightarrow \Psi_k$ triviální a koeficient je $j$.
2) Pro $j \nmid k$ BÚNO $p_1 \nmid k,\dots, p_d \nmid k$ a zbytek, $p_{d+1} |k, \dots, p_m|k$.
Potom $\Psi_k$ zúženo na $\varphi(\mathbb{Z}_{p_1} \times \dots \times \mathbb{Z}_{p_d} \times \{0\} \times \dots \times \{0\})$,

je automorfismus, protože

Je tedy $\forall (a_{d+1},\dots, a_m) \in \mathbb{Z}_{p_{d+1}} \times \dots \times \mathbb{Z}_{p_m}$ pevné
součet prvků množiny $\Psi_k(\varphi(\mathbb{Z}_{p_1} \times \dots \times \mathbb{Z}_{p_d} \times \{a_{d+1}\} \times \dots \times \{a_m\}))$ roven nule (Pozorování).
Celkem sčítáme $\Pi_{i=d+1}^m p_i$ takových nul, což je nula :)
V případě, že $d=m$, máme nulu jednu :)
Levá strana je ve tvaru
$j \sum_{\substack{k=0\\j|k}}^n {n \choose k}$   (14)


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#11 05. 03. 2012 17:30

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1883
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   112 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

$j=p^{\nu}$,
kde $p$ je prvočíslo a $\nu \in \mathbb{N}$.
Multiplikativní grupa řešení rovnice (2) (značme ji $\mathbb{C}_j$) je cyklická a její řád je $p^{\nu}$. Má celkem $\nu+1$ podgrup, $\mathbb{C}_{p^i},i=0,\dots,\nu$. Zároveň platí následující řetězec inkluzí:

$\mathbb{C}_1 \subset \mathbb{C}_{p} \subset \dots \subset \mathbb{C}_{p^{\nu}}$   (15)
Postupujme jako u jiných případů. Již jsme dosadili řešení (2) do (1) a rovnice sečetli, upravujeme levou stranu a zkoumáme koeficienty u čísla ${n \choose k}$ pro každou mocninu $k=0,\dots,n$. Budeme označovat, podobně jako dříve, $\Psi_k: x \in \mathbb{C}_{p^{\nu}} \mapsto x^k$

Pokud $p^{\nu}|k$, pak $\Psi_k$ je triviální endomorfizmus a před členem ${n \choose k}$ dostaneme $j=p^{\nu}$.
Pokud $\mathrm{D}(k,p^{\nu})=1$, tedy jsou nesoudělná, pak $\Psi_k$ je automorfizmus. (Důkaz prostoty vede na rovnici $\left(xy^{-1}\right)^k=1$, jež má v tomto případě jediné řešení.) Díky Pozorování je koeficient u ${n \choose k}$ nulový.
Pokud nakonec $\mathrm{D}(k,p^{\nu})=p^m$ pro nějaké pevné $m \in \{1,\dots, \nu-1\}$, pak můžeme psát: $k = p^mq$, kde $q$ je nesoudělné s $p^{\nu}$. Také je zřejmě $\Psi_k= \Psi_{p^m} \circ \Psi_q$. $\Psi_q$ je automorfizmus a tedy se můžeme rovnou zabývat $\Psi_{p^m}$. $\Psi_{p^m}: \mathbb{C}_{p^{\nu}} \rightarrow \mathbb{C}_{p^{\nu-m}}$ a to na. Surjektivnost je zřejmá: volme $y \in {p^{\nu-m}}$. Rovnice $x^{p^m}=y$ má v $\mathbb{C}$ právě $p^m$ řešení a protože pro každé takové řešení $x$ je také $x^{p^{\nu}}=y^{p^{\nu-m}}=1$, je $x \in \mathbb{C}_{p^{\nu}}$. Dostaneme tedy součet prvků podgrupy $\mathbb{C}_{p^{\nu-m}}$ celkem $p^m$-krát, což je $p^m$-krát nula.

Teď ale zbývá vyřešit obecný případ... ach jo.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#12 05. 03. 2012 19:25

check_drummer
Příspěvky: 2395
Reputace:   65 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

↑ Andrejka3:
Ahoj, trošku mimo: Ne zas tak špatný odhad tohoto počtu je triviální: $\frac{2^n}{j}$. Přemýšlel jsem, zda porovnáním blízkých binomických koeficientů není možné tento odhad nějak vylapšit nebo dokonce získat přesný hledaný počet, ale nic mě zatím nenapadlo.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#13 05. 03. 2012 19:38

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1883
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   112 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

↑ check_drummer:
Ahoj. To jo. :)
Jsem ráda, že tu píšeš.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#14 05. 03. 2012 19:42 — Editoval Andrejka3 (05. 03. 2012 20:26) Příspěvek uživatele Andrejka3 byl skryt uživatelem Andrejka3. Důvod: skryto pro blbost.

#15 06. 03. 2012 10:01 — Editoval Andrejka3 (08. 03. 2012 09:59)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1883
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   112 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

$j=\Pi_{i=1}^m p_i^{\nu_i}$,
kde $p_i$ jsou navzájem různá prvočísla.
$\mathbb{C}_j  \simeq \times_{i=1}^m \mathbb{C}_{p_i^{\nu_i}}$ a $\Psi_k: x \in \mathbb{C}_j \mapsto x^k$ pro nějaké pevné $k \in \{0, \dots , n\}$ je endomorfizmus, který lze přirozeně rozdělit na $m$ endomorfismů působících na jednotlivých komponentách direktního součtu,
$\Psi_{k,i}:x_i \in \mathbb{C}_{p_i^{\nu_i}} \mapsto x_i^k$. Tyto jsme vyřešili v předchozích případech.
Zapíšeme-li $k=a\Pi_{i=1}^m p_i^{\mu_i}$, kde $\mathrm{D}(a,\Pi_{i=1}^m p_i^{\nu_i})=1$ a označíme-li $\alpha_i:=\max \{0,\nu_i-\mu_i\}$, pak
$\Psi_{k,i}: \mathbb{C}_{p_i^{\nu_i}} \rightarrow \mathbb{C}_{p^{\alpha}}$ a to na a každý obraz má právě $\min \{p^{\nu_i},p^{\mu_i}\}$ vzorů.

Pozn.: Takto bych měla opravit i případ pro $j= \Pi_{i=1}^m p_i$.

Pak na levé straně (po dosazení všech řešení (2) do (1) a sečtení rovnic) dostaneme pro pevné $k$ u členu ${n \choose k}$ součet všech prvků grupy $\times_{i=1}^m \mathbb{C}_{p_i^{\alpha_i}}$, celkem $\Pi_{i=1}^m p_i^{\min \{\mu_i,\nu_i\}}$-krát. Tedy stejněkrát nulu, pokud $j \nmid k$ a tolikrát jedničku, pokud $j|k$.
Na levé straně zůstane
$j \sum_{\substack{k=0\\j|k}}^n {n \choose k}$.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#16 06. 03. 2012 10:09 — Editoval Andrejka3 (06. 03. 2012 16:14)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1883
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   112 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

Pokud to je správně, zbývá vyřešit pravou stranu. Spočítat výrazy
$\exp(i\frac{2\pi}{j}l)+1$ stačí pro $l=0,\dots ,\lfloor j/2\rfloor$, kde $\lfloor \cdot \rfloor$ značí dolní celou část čísla. Velikost těchto komplexních čísel bych asi vyjádřila pomocí úhlu, ještě nevím, jak přesně. Argument bude zřejmě poloviční, tj. $\frac{\pi}{j}l$. Pak dostaneme postupně součty tohoto typu: $? \cdot 2\cos\left(\frac{\pi}{j}l\right)$.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#17 06. 03. 2012 16:08 — Editoval Andrejka3 (10. 03. 2012 16:48)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1883
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   112 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

Pravá strana.
Označme $\alpha_l=\frac{2\pi}{j}l$, pro $l=1,\dots,\lfloor j/2 \rfloor$. Tyto argumenty/úhly jsou menší nebo rovny  $\pi$. Stačí mi vzít tyto, protože  zbylé jsou od čísel k nim komplexně sdružených. Ty, které nemají komplexně sdruženého partnera - jednička a minus jednička: jedničku dám zvlášť, minus jednička pak vytvoří nulu, takže ji můžu zahrnout v dalším počítání, totiž:
$1+\exp(i\alpha_l)$ chci umocnit na $n$ a pak sečíst s cpx sdruženým, tj. vzít 2 krát reálnou část.
Po nakreslení obrázku mi vychází
$|1+\exp(i\alpha_l)|=2\cos\left(\frac{\alpha_l}{2}\right)$.
Argument součtu je $\alpha_l/2$.
Po umocnění, $\left(1+\exp(i\alpha_l)\right)^n=\left(2\cos\left(\frac{\alpha_l}{2}\right)\right)^n\exp\left(in\alpha_l\right)$ a vezmeme-li dvakrát reálnou část a dosadíme za $\alpha_l$, dostaneme
$2\left(2\cos\left(\pi \frac{l}{j}\right)\right)^n\cos\left(n\pi \frac{l}{j}\right)$.
Pravá strana vychází
$2^n+2\sum_{l=1}^{\lfloor j/2 \rfloor }\left(2\cos\left(\pi \frac{l}{j}\right)\right)^n\cos\left(n\pi \frac{l}{j}\right)$ a tedy
$\sum_{\substack{k=0\\j|k}}^n{n \choose k}=\frac{2^n}{j}+\frac{2^{n+1}}{j}\sum_{l=1}^{\lfloor j/2 \rfloor }\cos^n\left(\pi \frac{l}{j}\right)\cos\left(n\pi \frac{l}{j}\right)$.
Jak psal kolega check_drummer, je tam vidět první odhad $2^n/j$ a pak nějaké opravy.
Kdybyste našli chyby, měli připomínky, nebo jste došli ke stejnému výsledku, budu moc ráda, když napíšete.
edit: o neco hezci zapis posledniho vztahu.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#18 07. 03. 2012 20:25

check_drummer
Příspěvky: 2395
Reputace:   65 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

↑ Andrejka3:
Ahoj, stačí si přečíst tento příspěvek a pak všechny níže nebo jsou důležité pro celkové řešení všechny? Děkuji.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#19 07. 03. 2012 21:02 — Editoval Andrejka3 (07. 03. 2012 21:43)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1883
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   112 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

↑ check_drummer:
Ahoj, podstatné jsou ↑ 10:,↑ 11:,↑ 15:,↑ 17:.
Přemýšlím o tom, že to přepíšu do kupy. Cestou jsem možná našla lepší způsoby, jak na to - aspoň se mi zdá, že pozdější příspěvky jsou hezčí (a kratší).
Edit: možná, že pro ty, kteří znají dobře cyklické grupy to je zbytečně rozvláčné, ale pro mě to bylo docela objevné...


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#20 08. 03. 2012 08:00 — Editoval Andrejka3 (08. 03. 2012 09:58)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1883
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   112 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

Shrnutí:
Potřebujeme binomickou větu ve tvaru
$(\forall n \in \mathbb{N})(\forall x \in \mathbb{C}):  \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k = (1+x)^n$ .  (i=1)
Pro pevné $j \in \mathbb{N}$ je množina všech řešení rovnice
$x^j=1$                                            (ii=2)
tato: $\{\exp\left(i \frac{2\pi}{j}l\right);\; l \in \{0,1,\dots,j-1\}\}$. Tato množina spolu s operací násobení tvoří cyklickou grupu, kterou budeme značit $\mathbb{C}_j$.
Dosadíme postupně všechny její prvky do (i), vzniklých $j$ rovnic sečteme a výsledná rovnice bude mít levou stranu ve tvaru součtu kombinačních čísel přenásobených nějakými koeficienty a pravá je součtem nějakých komplexních čísel. Budu-li dál psát o "levé/pravé" straně rovnice a nebude jasné které, budu mít na mysli tuto rovnici.
Úprava "levé strany":


Úprava "pravé strany" a konečný výsledek je ↑ tady:.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#21 18. 02. 2014 20:41

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1883
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   112 
 

Re: Počet podmnožin, jejichž velikost je dělitelná daným číslem

Po delším čase jsem se vrátila k tomuto příkladu, abych si ho zapsala do poznámek v TeXu. Přitom jsem snad zjednodušila některé argumentace, i když podstata je stejná:
http://forum.matematika.cz/upload3/img/2014-02/52132_subsets.png
$\nu_p(a)\stackrel{\text{\tiny def}}{=}\max\{n\in\mathbb{N}_0;\:p^n\mid a\}$


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson