Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 29. 11. 2008 10:52

Getc
Zelenáč
Příspěvky: 2
Reputace:   
 

Odhad počtu hvězd v naší Galaxii

Naše Slunce o hmotnosti 2 · 10^30 kg obíhá okolo středu naší Galaxie, který je vzdálen 2,2 · 10^20 m. Jeden oběh uskuteční za 2,5 · 10^8 roků. Předpokládejme, že každá hvězda naší Galaxie má stejnou hmotnost jako naše Slunce, že všechny hvězdy jsou stejnoměrně rozloženy v kouli okolo středu Galaxie a že naše Slunce se nachází na okraji této koule. Odhadněte počet hvězd v naší Galaxii.


Nějak mi nedochází vztah mezi počtem hvězd v galaxii a těmito hodnotami. Jak se dá z tohoto odhadhout počet hvězd?

Offline

 

#2 29. 11. 2008 11:51 — Editoval matoxy (29. 11. 2008 11:56)

matoxy
Místo: Lučenec/Martin
Příspěvky: 443
Reputace:   
 

Re: Odhad počtu hvězd v naší Galaxii

Zdravím, môžem vedieť z kade je ten príklad? Sa mi to zdá až príliž nereálne priblíženie, no uvidíme čo nám víde.

Nepočítali ste v škole náhodou príklad typu: jedno teleso (planéta, či mesiac, družica) obieha okolo druhého (Slnko, či Zem) a ak máte zadanú dobu obehu a vzdialenosť vypočítajte hmotnosť centrálneho telesa?
V takýchto príkladoch sa vzužívajú dva vzorce: odstredivá sila pôsobiaca na teleso pohybujúce sa po zakrivenej dráhe (v našom prípade kružnici) sa rovná:$F_{od}=m.\frac{v^2}{r}$. Keďže odstredivá sila je kolmá na smer pohybu telesa, pri pohybe po kružnici smeruje vždy zo stredu kružnice. Naproti tejto sile pôsobí gravitačná sila, ktorá je rovná: $F_g=\kappa .\frac{m.M}{R^2}$. Táto sila zas pôsobí vždy smerom do stredu kružnice.
Ak sa má Slnko pohybovať rovnomerne po kružnici, musí byť výsledná sila pôsobiaca naň rovná nule.
Keďže je v zadaní napísané, že Slnko obieha na okraji galaxie, bude naň pôsobiť gravitačná sila celej galaxie s hmotnosťou M, jeho vzdialenosť od stredu galaxie je 2,2.10^22 m. Hmtnosť galaxie teda vypočítame porovnaním vyššie uvedených dvoch rovníc.
Keď získame M a vieme priemernú hmotnosť hviezdy v galaxii, určiť počet hviezd by už nemal byť problém:).
Ak by však boly otázky tak napíš.


You know who
(or maybe not)

Offline

 

#3 29. 11. 2008 12:20

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Odhad počtu hvězd v naší Galaxii

matoxy napsal(a):

Ak sa má Slnko pohybovať rovnomerne po kružnici, musí byť výsledná sila pôsobiaca naň rovná nule.

Pokud člověk ovládá rozdíl mezi inerciální a neinerciální vztažnou soustavou, tak mu je zřejmé, že mluvíš o výslednici sil v neinerciální vztažné soustavě spojené se Sluncem. Nevím ale zda to ovládá Getc, tak chci upozornit na to, že tato věta neplatí, pokud bychom se na systém dívali z inerciální vztažné soustavy. Tam by pak nebyla žádná odstředivá síla a jediná síla, která by působila na Slunce by byla gravitační od galaxie a tato síla právě způsobuje pohyb po kružnici (pokud nepůsobí síla, těleso se pohybuje rovnoměrně přímočaře). Tuto gravitační sílu pak nazýváme dostředivou, protože míří do středu otáčení.

Offline

 

#4 29. 11. 2008 13:43

matoxy
Místo: Lučenec/Martin
Příspěvky: 443
Reputace:   
 

Re: Odhad počtu hvězd v naší Galaxii

BrozekP s tou dostredivou a odstredivou silou je to také zvláštne, na základnej, či v prvom ročníku strednej nás učili, že pôsobí proti gravitačnej, pri pohybe po kružnici, potom inde zas tvrdia, že je len výmysel a v skutočnosti sa to teleso pohybuje po kružnici len vďaka gravitačnej a tak ako ty hovoríš, tá spôsobuje, to zakrivenie trajektórie. Len stále v tom nemám celkom jasno, či to vzsvetlovať tak, že tam proste nejaká odstredivá sila existuje, alebo len gravitačná zakrivuje trajektóriu. Ak však vylúčim odstredivú silu, potom neviem ako by som riešil príklady typu aký je hore.


You know who
(or maybe not)

Offline

 

#5 29. 11. 2008 14:39

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Odhad počtu hvězd v naší Galaxii

↑ matoxy:

Na střední škole jsem měl s odstředivou silou podobné nejasnosti jako máš ty. Řekl bych, že se na střední jen krátce definuje inerciální vztažná soustava, řekne se, že ostatní jsou neinerciální a pak už se to neřeší. Přitom správné pochopení těchto pojmů je podle mě důležité, abychom pochopili smysl odstředivé síly.

Na těleso vždy působí pouze pravé síly - ty jsou dány čtyřmi základními interakcemi - silnou, elektromagnetickou, slabou a gravitační. Na střední se podrobněji berou pouze elektromagnetická a gravitační. Často ale nepočítáme přímo s těmito silami, ale s jejich zjednodušením - např. třecí síla je důsledkem elektromagnetické síly mezi atomy povrchů, je to tedy také pravá síla.

V neinerciální vztažné soustavě bychom však pozorovali porušení Newtonových zákonů. Např. si vězměme těleso, na které nepůsobí žádná síla a budeme ho pozorovat ze soustavy, která zrychluje konstantním zrychlením a. Z hlediska této neinerciální soustavy tedy těleso zrychluje se zrychlením -a, přestože na něj nepůsobí žádná síla. Aby Newtonova rovnice platila i v této soustavě, musíme zavést zdánlivou sílu - nazveme ji setrvačnou, která bude na všechny tělesa o hmotnosti m "působit" silou F=-ma. Tato síla tedy na těleso ve skutečnosti nepůsobí (těleso se ve všech inerciálních vztažných soustavách pohybuje rovnoměrně přímočaře), ale pokud se na těleso díváme z té zrychlující soustavy, těleso se podle našich pozorování chová tak, jako by na něj tato síla působila.

Chceme-li tedy řešit příklad, musíme se rozhodnout z jaké vztažné soustavy ho budeme řešit. Pokud se rozhodneme pro inerciální, žádné zdánlivé síly nebudeme řešit, působí pouze pravé síly. Jestliže však řešíme z neinerciální vztažné soustavy, tak musíme zjistit, jaké zdánlivé síly pozorujeme - ty jsou obecně různé pro různé neinerciální soustavy. Pro zrychlující soustavu s konstantním zrychlením to bude pouze setrvačná síla, pro rotující pak tyto zdánlivé síly - odstředivá, Coriolisova a Eulerova (Coriolisova a Eulerova jsou v mnoha úlohách nulové).

K příkladu oběhu planety po kružnici, kolem slunce:
Jestliže budeme řešit z inerciální vztažné soustavy, pak na planetu působí pouze gravitační síla. Obecně pohyb po kružnici nemusí způsobovat gravitační síla ale např. elektromagnetická síla, takže tuto sílu působící do středu nazýváme obecně dostředivou. Dá se ukázat, že aby se těleso o hmotnosti m pohybovalo rovnoměrně po kružnici o poloměru R rychlostí v, musí být splněn vztah pro dostředivou sílu $F_d=\frac{mv^2}{R}$. Jestliže budeme řešit z neinerciální vztažné soustavy s počátkem ve slunci rotující rovnoměrně (=> Eulerova síla=0) s planetou, pak má planeta konstantní polohu (=> Coriolisova síla=0) a působí na ni tedy odstředivá síla daná vztahem $F_d=\frac{mv^2}{R}$. Ještě na ni působí pravá gravitační síla a tyto síly se musí odečíst na nulu, aby se planeta v této neinerciální soustavě nepohybovala.

Ještě jinými slovy k pravým silám (z wikipedie):
Pravé síly vyplývají přímo ze vzájemného působení materiálních objektů, zatímco zdánlivé, setrvačné síly vyplývají z volby vztažné soustavy.

Offline

 

#6 29. 11. 2008 15:43 — Editoval rughar (29. 11. 2008 15:44)

rughar
Příspěvky: 395
Škola: MFF UK
Pozice: Vědecký pracovník
Reputace:   26 
 

Re: Odhad počtu hvězd v naší Galaxii

K tomu problému. Příklad se vyřeší tak, jak ot navrhnul matoxy porovnáním vztahů

$G\frac{M m}{r^2} = m r \omega^2$

Dovolil jsem si použít vztah, kde se pracuje s úhlovou rychlostí, nikoli s kruhovou rychlostí. Podle zadání se s tím bude lépe pracovat. Hmotnost Slunce m se nám může volně krátit. Když počítám, že M je součtem hmotností všech hvězd uvnitř, které váží jednotlivě stejně jako naše Slunce, tak dostáváme (N označím počet hvězd).

$N = \frac{r^3 \omega^2}{G m} = \frac{r^3}{G m} (\frac{2 \pi}{T})^2$

T je doba oběhu. Hvězdy při tomto modelu nemusí být rozmístěny rovnoměrně, ale stačí, že jsou rozístěny symetricky vůči středu (tzn. hustota hvězd je závislá pouze na vzdálenosti od středu galaxie a nikoli na tom, kde se na kouli o tomto poloměru nachází). Newtonův vztah pro gravitaci

$F = G\frac{Mm}{r^2}$ (*)

Platí obecně pro jakýkoliv systém hmotnosti M, který je kulově symetrický (hvězdy uvnitř se mohou stahovat a rozlétavat, ale musí to dělat stejně v každém směru od středu).

Pochopitelně tento model je pro porovnání se skutečností opravdu velmi mimo. Na otázkách gravitace v takovém měřítku jasně vítězí Einsteinova teorie gravitace nad Newtonovou a projeví se i tajemná kosmologická konstanta, která způsobuje rozpínání/stahování vesmíru. Aby toho nebylo málo, tak ani Einsteinova teorie gravitace není ta nejlepší, protože se nějak zjistilo že galaxie se chová jinak než by měla podle pozorovaného rozoložení hmoty. Tak se tento defekt nahradil existencí temné hmoty, která tvoří podle hypotéz asi 70 procent hmotnosti galaxie (teď možná kecám, ale je to určitě něco mezi 60 a 90ti procenty). A co tenhle model podle mě pohřbije úplně je to, že hvězdy nejsou rozloženy se sférickou symetrií, ale spíše v disku.

Teď trochu odbočka. Řešila se tu otázka odstředivého zrychlení. Nejelpší bude vyhnout se nějakým odstředivým silám a pohledům z neinerciálního systému (zákony z těchto pohledů jsou o trochu komplikovanější než se učí na SŠ). A stačí uvažovat, že na Slunce působí síla směřující do středu galaxie (viz *) a pak stačí znát poučku, že pokud působí nějaké zrychlení kolmo na směr pohybu, tak se tento pohybu zakřivuje a poloměr křivosti je dán vztahem

$R = \frac{v^2}{a_n}$

a_n značím normálové (kolmé ke směru rychlsoti v) zrychlení. Tečná složka zrychlení nijak trajektorii nezakřivuje, jen se promítne do změny velikosti rychlosti, to ale při kruhovém obíání kolem hmotného středu je vždy 0.

A pokud se chceme přecejen opírat o neinerciální systémy a odstředivé síly .BrozekP už to tady celkem podrobně popsal. Jen bych doplnil, jak tyto problémy vlastně vznikly a proč je problém s tím dívat se na okolí z neinerciálního systému.

Odstředivá síla je pouze druh setrvačné síly (v tomto případě reakční síla na gravitační dostředivou sílu, která váže planetu do kruhového pohybu). Setračné síly se projevují vždy a jen v systémech, které zrychlují (nejsou inerciální) a odpovídají zrychlení této soustavy s opačnou orientací. Někdo tomu říká pravé a nepravé síly. Mě osobně je tato konvence trochu proti srsti. Zvlášť když je prokázané, že setravčná a gravitační síla od sebe nejdou žádným způsobem odlišit (leda pozorováním z globálního hlediska o rozložení hmoty, která generuje gravitační sílu). Coriolisova síla je pak důsledkem toho, že nesprávně popisujeme objekty pomocí souřadnic. Ať už volíme kartézské nebo polární souřadnice, tak ve spojení s obíhajícím objektem se tyto souařadnice budou měnit vůči inerciálnímu systému. To má za následek, že o kus vedle jsou souřadnice trochu otočené. Toto otočení souřadnic má za následek, že když derivejume vektor rychlosti abychom získali zrychlení (princip derivace je - podívám se na ten samý vektor o kousíček dál a porovnám), tak porovnáváme dva vektory rychlosti, kde každý se vyskytuje v jinak otočených souřadnicích. Pro správné derivování vektoru rychlosti tedy ten vektor "o kus dál" musíme otočit do souřadnic, kde se vyskytuje ten předchozí. Bavíme se o malých změnách, takže v prvním přiblížení lze toto otočení reprezentovat posunutím v kolmém směru k tomtuo vektoru. A právě tato změna vektoru rychlosti kolmá na něj se nazívá Coriolisovým zrychlením.

Ono je kolem toho z pohledu středoškolské fyziky obecně hrozný maglajz. "Když posunu vektor v prostoru, tak je to tentýž vektor". Toto je dost intuitivní věc, ze které plyne hromada vztahů, které nějakým způsobem pracují s vektory (rychlost, zrychlení, síla ...). Málo kdo ale ví, že tato velmi intuitivní věc platí pouze tehdy, když máme kartézké souřadnice (žádné polární nebo sferické nebo jinak pokřivené), které se nijak v čase nemění (žádné otáčení). To je splněno jen když popisujeme inerciální systém podle pravoúhlých os x,y,z. Jakákoliv snaha zjednodušit si situaci zavedením polárních souřadnic nebo nahlédnutí do sousatavy, která se otáčí nebo jinak zrychluje, přináší občas značné komplikace, které se na úrovni SŠ velmi špatně vysvětlují, dokud středoškoláky nenaučíme, jak se vlastně dělá operace typu derivace vektoru. Opravdu to není tak triviální jako u skalárů.


1 + 1 = 1 + 1
... a nebo taky ne

Offline

 

#7 29. 11. 2008 17:02

Getc
Zelenáč
Příspěvky: 2
Reputace:   
 

Re: Odhad počtu hvězd v naší Galaxii

Děkuji všem za nakopnutí a zdlouhavé vysvětlení.

Příklad je z "Fyzika - Mechanika, Termodynamika, část 2" (Halliday/Resnick/Walker) strana 380, příklad 57C.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson