Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 31. 03. 2013 16:39

Brano
Příspěvky: 2487
Reputace:   215 
 

topologicke grupy

Pri citani jedneho clanku ma napadlo takato uloha/otazka (ja odpoved neviem).

Nech G je topologicka grupa - t.j. grupa na ktorej mame taku topologiu, ze $f(x,y)=xy$ a $g(x)=x^{-1}$ su spojite funkcie. Pre $A,B\subset G$ definujme $AB=\{xy\in G;x\in A;y\in B\}$.

Je zname, ze ak $A,B$ su uzavrete, tak $AB$ nemusi byt uzavreta - priklad $G=\mathbb{R}$ (operacia je scitanie), $A=n\mathbb{Z}$ a $B=n\pi\mathbb{Z}$ potom $AB$ je husta a vlastna podmnozina $\mathbb{R}$ cize nie je uzavreta.

Moja otazka je: Dokazte, alebo najdite kontrapriklad, ze ak $U\subset G$ je otvorena a $\overline{U}$ oznacuje uzaver $U$ potom $\overline{U}\;\overline{U}$ je uzavreta.

Offline

 

#2 03. 04. 2013 20:04 — Editoval kompik (03. 04. 2013 20:51)

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 352
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   53 
 

Re: topologicke grupy

V grupe $(\mathbb R^2,+)$ zober $U=\{(x,y)\in\mathbb R^2; y>1/{|x|}\}$.
Vychádza mi $(\overline U)^2=\{(x,y)\in\mathbb R^2; y>0\}$.
(Dúfam, že som tam nič neprehliadol.)

Pridám ešte poznámku, že ak chceme nájsť takýto príklad, tak množina $\overline U$ nemôže byť kompaktná. (A pri hľadaní kontrapríkladu môže pomôcť pozrieť sa na to, ako ide dôkaz v kompaktnom prípade.)
MSE: Product of compact and closed in topological group is closed

Offline

 

#3 03. 04. 2013 20:45

Brano
Příspěvky: 2487
Reputace:   215 
 

Re: topologicke grupy

↑ kompik:
Ahoj, o tom odkaze viem, odtial som zobral to svoje $A,B$. A co sa tyka tvojho prikladu ... co je $+$? Ak by to bolo scitanie po zlozkach, tak by bolo $\overline{U}\;\overline{U}=\overline{U}$ nie?

Offline

 

#4 03. 04. 2013 20:52 — Editoval kompik (03. 04. 2013 20:54)

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 352
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   53 
 

Re: topologicke grupy

Brano napsal(a):

↑ kompik:
Ahoj, o tom odkaze viem, odtial som zobral to svoje $A,B$. A co sa tyka tvojho prikladu ... co je $+$? Ak by to bolo scitanie po zlozkach, tak by bolo $\overline{U}\;\overline{U}=\overline{U}$ nie?

Mal som na mysli obvyklé sčitovanie (po súradniciach), ale mal som tam preklep v definícii $U$; mal som napísať $y>1/{|x|}$ a napísal som $y>1{|x|}$.

To je trest za to, že špekulujem, či lepšie vyzerá 1/|x| alebo  \frac1{|x|} a potom nenapíšem ani jedno poriadne.

Offline

 

#5 03. 04. 2013 21:04

Brano
Příspěvky: 2487
Reputace:   215 
 

Re: topologicke grupy

↑ kompik:
dakujem teraz je to ok - a ved som sa aj divil, ze preco pises tak divne, ze $y>1{|x|}$

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson