Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 11. 07. 2013 13:48

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Teorie množin - výzkum jedné "množiny"

Ahoj,
lze prostředky teorie množin (např. ZFC) ukázat, že existuje množina $x$ s vlastností $x = \{x\}$? Nebo obecněji (speciálněji): lze prostředky teorie množin ukázat, že existuje množina $x$ s vlastností $x \in x$?
Děkuji


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#2 11. 07. 2013 14:34 — Editoval Mihulik (11. 07. 2013 14:35)

Mihulik
Příspěvky: 175
Škola: MFF UK - Matematická analýza, Nav. Mag.
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Teorie množin - výzkum jedné "množiny"

Ahoj,
doufám, že dobře chápu dotaz, ale pokud se nepletu, tak "existenci" množiny $x$ takové, že $x\in x$, zabraňuje axiom regularity, ne?:)

Offline

 

#3 11. 07. 2013 14:36 — Editoval Pavel Brožek (11. 07. 2013 14:42)

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Teorie množin - výzkum jedné "množiny"

Ahoj, já myslím, že naopak lze ukázat, že taková množina neexistuje. Předpokládejme, že existuje množina $x$ taková, že $x\in x$. Podle axiomu dvojice je $\{x,\{x\}\}$ množina a je jistě neprázdná (obsahuje $x$). Podle axiomu fundovanosti

$(\forall a)(a\neq 0\rightarrow (\exists b)(b\in a\wedge b\cap a = 0))$

tedy

$(\exists b)(b\in \{x,\{x\}\}\wedge b\cap \{x,\{x\}\} = 0).$

Množina $\{x,\{x\}\}$ má maximálně dva různé prvky $x$ a $\{x\}$. Pokud $b=x$, pak $b\cap \{x,\{x\}\}=x\cap \{x,\{x\}\}$. Ale $x$ patří jak do $x$ tak do $\{x,\{x\}\}$, patří tedy i do průniku a průnik je tak neprázdná množina. Kdyby $b=\{x\}$, tak $b\cap \{x,\{x\}\}=\{x\}\cap \{x,\{x\}\}$. A opět, $x$ patří do obou množin v průniku, takže je průnik neprázdná množina. To je spor s axiomem fundovanosti.

Edit: Na wikipedii se o tom také píše.

Offline

 

#4 11. 07. 2013 20:26

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Teorie množin - výzkum jedné "množiny"

↑ Pavel Brožek:
Děkuji. Podobně by nejspíš bylo možné dokázat i to, že neexistuje "řetězec" $x \in y \in x$, apod.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#5 11. 07. 2013 22:02

vanok
Příspěvky: 12306
Reputace:   698 
 

Re: Teorie množin - výzkum jedné "množiny"

Pozdravujem. 
Pozri sa na NF ( new fundations), uvidis ze tvoj vzorec ma v nej zmysel. 
Pozor, ide o teoriu mnozin, co sa chova inac ako ZF.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson