Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 03. 2014 18:34 — Editoval paha154 (14. 09. 2014 19:25)

paha154
Příspěvky: 407
Reputace:   14 
 

-

-

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) paha154)

#2 03. 03. 2014 20:30

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29668
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   84 
 

Re: -

Zdravím,

Toto je prý příklad pro žáka základní školy a já si s tím lámu hlavu už od rána.

to není div - mají jiný pohled na svět.

Můj návrh - začnu s trojúhelníkem na 3 různých vrcholech (neleží na jedné přímce a mají různé barvy dle zadání. Dovnitř trojúhelníku umístím bod libovolné barvy, opět mohu vytvořit trojúhelník splňující požadavek atd.

Předpokládám, že někdo z kolegů bude mít více použitelné řešení.

Offline

 

#3 04. 03. 2014 12:07

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8172
Reputace:   478 
 

Re: -

↑ paha154:, ↑ jelena:

Zdravím .

Aby věta platila,  přidejme jednoduchý předpoklad, že z daných bodů žádné tři neleží v jedné přímce (asi by se dal zeslabit,
ale to teď neřešme).

Zkusím rozvést myšlenku od kolegyně Jeleny do formálního důkazu.

Nechť  $Z$  je množina bodů splňujících předpoklady věty. 

Budeme říkat, že bod $x$ patří trojúhelníku $T$ ,  je-li jeho vrcholem či vnitřním bodem.
O trojúhelníku s vrcholy v množině  $Z$ budeme říkat, že je trojbarevný, právě když každý jeho vrchol je obarven jinou barvou.
Označme $M$  množinu všech trojbarevných trojúhelníků.  Z předpokladů věty plyne, že  $M \ne \emptyset$.

Je-li $X \in M$,  pak nechť  $f(X)$ je počet těch bodů množiny $Z$ , které patří trojúhelníku $X$,  takže vždy je $f(X) \ge 3$.   
Máme dokázat, že existuje trojúhelník $T \in M$ takový, že $f(T) = 3$ (což by znamenalo, že žádný bod množiny $Z$
není jeho vnitřním bodem).

Množina 

(0)                  $F := \{ f(X) :  X \in M \}$

je neprázdnou částí množiny všech přirozených čísel a má tedy svůj nejmenší prvek $m$

Jde o to dokázat, že $m = 3$ - odtud vyplyne existence trojúhelníka $T \in M$ s vlastností $f(T) = m = 3$.   Dokazujme sporem.
Předpokládejme, že $m > 3$  a  $V \in M$ s vrcholy  $a, b, c$ je  takový, že $f(V) = m$. To znamená,  že uvnitř trojúhelníka $V$
existuje $m-3$ bodů množiny $Z$ , které jsou samozřejmě různy od bodů  $a, b, c$ .  Je-li $d$ jedním z těchto $m-3$ bodů, pak je
barevně shodný s právě jedním z bodů $a, b, c$ - bez újmy na obecnosti předpokládejme, že s bodem $c$ . Snadno lze nahlédout,
že o trojúhelníku $W$ s vrcholy $a, b, d$  platí následující dvě tvrzení:

(1)        $W$  je trojbarevný  (tedy $W \in M$) ,

(2)        každý bod patřící trojúhelníku $W$ patří též trojúhelníku $V$ .

Odtud vyplývá  $f(W) \le f(V)$ . Avšak rovněž je zřejmé, že bod $c$ (partřící trojúhelníku $V$) nepatří trojúhelníku $W$,
proto  $f(W) < f(V)$ , takže také  $f(W) < m$ . To je ale ve sporu s volbou čísla $m$ jakožto nejmenšího prvku  množiny $F$ z (0).

Offline

 

#4 04. 03. 2014 13:45 — Editoval vanok (04. 03. 2014 14:12)

vanok
Příspěvky: 12306
Reputace:   698 
 

Re: -

Pozdravujem,
Intuitivny neformalny dokaz.
Treba pochopitelne predpokladat, ze aspon jeden trojfarebny trojuholnik
existuje.  (pod pojmom trojfarebny trojuholnik, rozumiem taky ktoreho vrcholy su roznej farby aj z jeho obvodom)
Ak mame jeden trojfarebny trojuholnik, co obsahuje  farebne body, tak vyber z jedneho z nich, dovoluje vytvorit novy 3jfarebny trojuholnik, ktory obsahuje  menej farebnych bodov ako predosly. 
Cize po konecnom poctu krokov dostaneme jeden trojfarebny trojuholnik co vyhovuje problemu.
Poznamka:
I ked taketo riesenie malo ziakov najde, ale asi skoro vsetci ho mozu pochopit.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 04. 03. 2014 14:49 — Editoval paha154 (04. 03. 2014 14:53)

paha154
Příspěvky: 407
Reputace:   14 
 

Re: -

↑ jelena:, ↑ vanok::
To jsou velice hezké a pochopitelné důkazy, takhle mě nenapadlo se na to dívat. Díky!

↑ Rumburak::
Díky za tento důkaz. Sice si ho ještě musím párkrát přečíst a popřemýšlet, než mi to bude zcela jasné, ale jinak je srozumitelný.

Offline

 

#6 06. 03. 2014 19:21 — Editoval paha154 (06. 03. 2014 20:14)

paha154
Příspěvky: 407
Reputace:   14 
 

Re: -

Ještě bych potřeboval trochu nakopnout, nedochází mi totiž ten závěr toho důkazu...
Jak to, že je to v rozporu?
My předpokládali, že m>3 a vyšlo nám, že f(W)<m, to ale znamená, že můžu najít ještě trojúhelník, který je "podmnožinou" toho trojúhelníku W, ne? Protože my to m=3 měli ještě před tím sporem a pak jsme předpokládali právě, že m>3 a to se nám neodporovalo, ne? Nebo jo a já to v tom prostě nevidím???

Zkrátka tyto dva řádky:

Odtud vyplývá  $f(W) \le f(V)$ . Avšak rovněž je zřejmé, že bod $c$ (partřící trojúhelníku $V$) nepatří trojúhelníku $W$,
proto  $f(W) < f(V)$ , takže také  $f(W) < m$ . To je ale ve sporu s volbou čísla $m$ jakožto nejmenšího prvku  množiny $F$ z (0).

nemůžu pochopit. :-(

Offline

 

#7 06. 03. 2014 21:41 — Editoval check_drummer (06. 03. 2014 21:43)

check_drummer
Příspěvky: 2395
Reputace:   65 
 

Re: -

Ahoj,
vyhovme ještě kolegovi a nastiňme požadované řešení, která má využívat "maxima nebo minima": Zvolme ze všech trojúhelníků, jehož 3 vrcholy jsou obarveny různou barvou takový, který má minimální obsah. Pak je on tím hledaným trojúhelníkem. (Důkaz je podobný jako důkazy výše, dokážeme sporem.)

Edit: Vidím, že kolega Rumburak myšlenku minima použil (avšak automatické vyhledání selhalo, protože šlo o nejmenší prvek).


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#8 07. 03. 2014 09:33 — Editoval Rumburak (07. 03. 2014 10:05)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8172
Reputace:   478 
 

Re: -

↑ paha154:

Číslo $m$  bylo zavedeno jako nejmenší prvek množiny $F$ (na základě věty,  že každá neprázdná část množiny přirozených čísel
obsahuje svůj nejmenší prvek, při čemž $F$ je takovou částí). Výsledek $f(W) < m$ odvozený z předpokladu

(P)                        $m > 3$

však říká, že v množině $F$ byl nalezen prvek menší než $m$,  a sice prvek $f(W)$ (jelikož o nalezeném trojúhelníku $W$ platí
$W \in M$) . Pak by ale číslo $m$ nemohlo být nejmenším prvkem množiny $F$.  To je ten spor.  Vedl k němu předpoklad (P),
takže tento předpoklad musí být nesprávný, protože ze správných předpokladů by spor nemohl vyplynout.

Offline

 

#9 08. 03. 2014 10:37

paha154
Příspěvky: 407
Reputace:   14 
 

Re: -

OK, už to chápu komplet.
Díky moc všem!!!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson