Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 25. 11. 2014 16:04

check_drummer
Příspěvky: 2590
Reputace:   71 
 

Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

Ahoj,
pokouším se sestrojit zcela obecné rozšíření tělesa $\mathbb{R}$ tak, že tímto rozšířením bude těleso dvojic $S:=\mathbb{R}^2$. (Směřujeme k tomu, že $S=\mathbb{C}$.). Přičemž (*) $\mathbb{R} \subset S$ (tj. $\mathbb{R} \neq S$) a bodům $r \in \mathbb{R}$ odpovídají body $[r,0] \in S$. Chceme aby S bylo rovněž těleso (tj. mj. operace +,. jsou komutativní a asociativní) - a díky (*) je [0,0] nulový a [1,0] jednotkový prvek v S.

(**) Nyní se pokouším dokázat, že již musí být $S=\mathbb{C}$.

Zatím jsem si situaci trochu zejdnodušil a předpokládám, že operace + je v S definována jako v $\mathbb{C}$, tj. [x,y]+[z,w]=[x+z,y+w] a že operace "." je v S definována jako [x,y].[z,w]=[f(x,y,z,w),g(x,y,z,w)], kde f,g jsou polynomy v proměnných x,y,z,w. Dokonce jsem si to ještě zjednodušil a předpokládám, že f,g jsou homogenní stupně 2 a že neobsahují členy $x^2$,$y^2$,.. ale jen členy tvořené součinem různých proměnných jako x.y,x.z, apod. Navíc předpokládám, že na S je definována norma || splňující pro $u \in S$ (***) $|u^n|=|u|^n$, kde || je definována jako v $S=\mathbb{C}$, tj. pro u=[v,w] je $|u|:=\sqrt{v^2+w^2}$.

Na základě těchto speciálních předpokladů již jsem schopen dokázat (**). Otázka však je, zda jsou všechny předpoklady opravdu nutné (řekl bych, že z (***) by mohl plynout tvar operace + a částečně tvar operace ., které předpokládám) - a zda pro slabší předpoklady nezískám i jině těleso než $\mathbb{C}$.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) check_drummer)

#2 25. 11. 2014 21:48 — Editoval OiBobik (25. 11. 2014 22:23)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1010
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ check_drummer:

Ahoj,

možná neodpovídám na to, na co se ptáš, ale tak zkusim to. Tady přesně pomůže alespoň základní abstrakce. Tady to bude hlavně lineárka.

0) v zásadě nic tě nedonutí, aby "skutečně" $S=\mathbb{C}$, pokud opravdu nepoužíváš nějaké předpoklady navíc - vem si třeba nějakou ošklivou bijekci $b: \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C},$ která na $\mathbb{R}$ je identita, a definuj na $S$ operace pomocí té bijekce, tj. $[a,b]+[c,d]:=b^{-1}(b([a,b])+b([c,d])),$ kde to $+$ nalevo definuješ pomocí toho $+$ napravo, které pochází skutečně z komplexních čísel, atd. Dostaneš isomorfní kopii $\mathbb{C}$, ale jednotlivé prvky se (s výjimkou $\mathbb{R}$) budou jmenovat jinak. Takže lepší je asi požadovat isomorfismus, ne identitu.

1) Když vezmeš libovolný prvek $s \in S \setminus \mathbb{R}$, lze nahlédnout, že $s$ je kořenem nějakého ireducibilního polynomu nad reálnými čísly.

2) Když si rozmyslíš, jak ir. kvadratické reálné polynomy vypadají, pak už snadno najdeš, že v $S$ musí být odmocnina z $-1$ - tedy kořen polynomu $x^2+1$.

3) z důvodů reálné dimenze se dá vykoukat, že přihozením této odmocniny z $-1$ a uzavřením na tělesové operace už dostaneš celý $S$, (Toto není pravda, nemáš zatím zdůvodněno, že $\dim_{\mathbb{R}}S=2$. Závěr určitě platí, jen se to musí říct jemněji - v zásadě asi jako ve 2), podívám se na irr polynomy nad reálnými čísly, ty jsou nejvýše kvadratické... atd)

4) No a pak už snadno sestrojíš isomorfismus těles $S \stackrel{\simeq}{\rightarrow} \mathbb{C}$.


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#3 01. 12. 2014 22:35

check_drummer
Příspěvky: 2590
Reputace:   71 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

OiBobik napsal(a):

1) Když vezmeš libovolný prvek $s \in S \setminus \mathbb{R}$, lze nahlédnout, že $s$ je kořenem nějakého ireducibilního polynomu nad reálnými čísly.

Ahoj, díky za reakci. Nějak nevidím, proč by měl bod 1 platit. Můžeš prosím stručně naznačit důkaz?


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#4 02. 12. 2014 00:04

vanok
Příspěvky: 12944
Reputace:   715 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

Pozdravujem
Podla  http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Histoire … _complexes
Hamilton uviedol prvy komplexe cisla ako dvojice realnych cisiel z ich operaciamy.   ( v tom istom texte mas aj Cauchy-ho pohlad na tuto temu)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 02. 12. 2014 13:35

Brano
Příspěvky: 2523
Reputace:   218 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

OiBobik napsal(a):

2) Když si rozmyslíš, jak ir. kvadratické reálné polynomy vypadají, pak už snadno najdeš, že v $S$ musí být odmocnina z $-1$ - tedy kořen polynomu $x^2+1$.

no nejak moc sa do toho nerozumiem, ale ↑ check_drummer: chcel nejake rozsirenie R nie nutne zuplnenie a ty podla mna predpokladas rovno uplnost - cize najprv by si ju asi mal dokazat

Offline

 

#6 04. 12. 2014 10:43 — Editoval OiBobik (04. 12. 2014 17:54)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1010
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ Brano: ↑ check_drummer:

Ahoj,

máte pravdu, co jsem implicitně předpokládal, je že chceme, aby
1) $S$ bylo komutativní těleso (což jsem teda bral jako definici, tj. angl. "field"), a
2) $S$ byl $\mathbb{R}$-lineární prostor konečné dimenze.

Takže ten argument projde, ale jen zase za nějakých dodatečných předpokladů.

Bez toho s tím samozřejmě opět nejde hnout ($S\setminus \mathbb{R}$ je množina mohutnosti kontinua, tj dostatečně velká na to, abych tam nacpal libovolné rozšíření $\mathbb{R}$ s libovolně velkou transcendentní bází až do velikosti kontinua).


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#7 04. 12. 2014 12:00

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8453
Reputace:   494 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ check_drummer:

Ahoj (zdravím i ostatní účastníky diskuse) .

Ve svém úvodním příspěvku píšeš:

               

Směřujeme k tomu, že $S=\mathbb{C}$

,

Nyní se pokouším dokázat, že již musí být $S=\mathbb{C}$.

Takže partrně předpokládáš,  že $\mathbb{C}$ již nějakým způsobem zavedeno JE
A JAK si tedy definici tělesa  $\mathbb{C}$ představuješ? Přesněji : jak si představuješ tu definici tělesa $\mathbb{C}$,
s níž chceš svoji konstrukci zkonfrontovat
?

Offline

 

#8 04. 12. 2014 20:56

check_drummer
Příspěvky: 2590
Reputace:   71 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ Rumburak:
Ahoj,
chtěl jsem dojít k tomu, že definice násobení a sčítání musí být definováno jako v $\mathbb{C}$, tj. [x,y]+[z,w]=[x+z,y+w] a [x,y].[z,w]=[xz-yw,xw+yz].


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#9 04. 12. 2014 23:56

vanok
Příspěvky: 12944
Reputace:   715 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ check_drummer:,
Tak preco ignorujes prispevok co som ti poradil?
Hamiltonov pristup ti dava odpovede na tvoje otazky. ( a podobne ako on by si mohol prist aj quaternionom)
A na webe najdes o mnoho viac.

Inac kniha od Ebbinghaus, and all Numbers (springer-verlag) je viac ako uzitocne citanie na tuto temu.

Dobre pokracovanie.  ( oplati sa investovat do slovnikov!)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 05. 12. 2014 09:56 — Editoval Rumburak (05. 12. 2014 10:12)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8453
Reputace:   494 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ check_drummer:

Stále jsi nenaznačil, jak si "klasická" komplexní čísla (jejichž teorii chceš vybudovat "alternativním" způsobem
pomocí usp. dvojic reálných čísel) představuješ.

Pokud bereš k. č. jako výrazy tvaru

(1)                   $x + y \mathrm{i}      ( x , y \in \mathbb{R} ,  \mathrm{i} \notin \mathbb{R}) $

(s nimiž je algebraicky nakládáno podle známých pravidel) ,  pak Tvůj přístup přes $\mathbb{R}^2$ nedává nic nového,
protože výraz (1)  lze rovněž považovat  za uspořádanou dvojici  $[x, y] \in \mathbb{R}^2$, která jen jen zapsána poněkud
jinou formou,  než jak je u uspořádaných dvojic běžné.

Offline

 

#11 06. 12. 2014 12:21

check_drummer
Příspěvky: 2590
Reputace:   71 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ Rumburak:
Ahoj, mým cílem není sestrojit "alternativní" komplexní čísla - ale hledám postačující podmínky takové, aby sčítání a násobení dvojic reálných čísel bylo definováno tak, jako u komplexních čísel, tedy abych získal komplexní čísla. Začínám pouze z předpokladem, že takto vzniklé těleso musí být rozšířením reálných čísel (a operace násobení musí být komutativní, co žse zpravidla u těles předpokládá). To ovšem neznamená, že z toho již plyne, že takové těleso už musí být těleso komplexních čísel.
Obecně bude [x,y]+[z,w]=[f(x,y,z,w),g(x,y,z,w)] pro nějaké funkce f,g (a podobně pro násobení). A já chci nalézt další vhodné dodatečné podmínky (označme je P) (o některých píšu výše, např. ve svém prvním příspěvku), aby již f a g měly tvar odpovídající sčítání komplexních čísel (tj. f=x+z, g:=y+w) - a podobně pro násobení.
Tedy to podstatné na tomto problému je nalézt vhodné P - které již zaručují, že uvedeným rozšířením získáme těleso komplexních čísel. Samozřejmě P mohou být určeny nejednoznačně, spíš jde o to ,aby byly co nejjendoudšší, bylo jich co nejméně (je to vágní formulace, ale snad je jasné co tím myslím).


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#12 06. 12. 2014 16:59 — Editoval Bati (06. 12. 2014 17:00)

Bati
Příspěvky: 2110
Reputace:   164 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ check_drummer:
Ahoj,
jakmile vezmeš prvek $x$, který nepatří do reálných čísel a budeš požadovat, aby rozšíření $\mathbb{R}(x)$ (tj. množina $\{a+bx;a,b\in\mathbb{R}\}$) bylo těleso, pak už ti vyjde, že násobení splývá s násobením v $\mathbb{C}$.

Můžu napsat jak, ale nevím jestli to je to, co chceš.

Offline

 

#13 06. 12. 2014 22:42

check_drummer
Příspěvky: 2590
Reputace:   71 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ Bati:
Ahoj, nejsem si jist, zda je a+bx a dvojice [a,b] totéž. Podle mého je tvůj tvar příliš speciální.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#14 08. 12. 2014 10:57 — Editoval Rumburak (08. 12. 2014 14:44)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8453
Reputace:   494 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ check_drummer:

Předpokládejme, že komlexní čísla zatím nemáme.
Pokud vezmeme x tak, jak předpoklá kolega ↑ Bati:,  potom symbol a+bx s reálnými čísly a, b je
sám o sobě (bez dalších definic) jen symbol bez konkretního algebraického obsahu, tedy obdobně
jako  usp. dvojice [a,b],  a je tudíž lhostejné,  zda následné defince součtu a součinu "budoucích"
kompl. č. zavádíme se symboly (a+bx),  (c+dx) nebo se symboly [a, b] , [c, d] .  V prvním případě
máme ovšem drobný problém v tom, že znaménko + má v zápise (a+bx) + (c+dx) dvojí význam -
oddělovače v symbolech (a+bx),  (c+dx) a zároveň nově zavedeného algebraického operátoru pro
jejich součet. Obdobně pokud jde o znaménko součinu. Proto pracovat přímo s usp. dvojicemi
[a, b] , [c, d] je jistě lepší, protože uvedenému problému se tím vyhneme, a mnozí autoři učebnic
tak postupují (usp. dvojici [c, 0] nakonec ztotožní s reálným číslem c  a pro [0, 1]  vyhradí symbol i).
Ale jde v podstatě jen o kosmetický rozdíl.

EDIT. Ještě doplním vhodné definice alg. operací s "dvojicemi" :

        $[a, b] + [c, d]  := [a + c, b + d]$ ,
        $[a, b] \cdot [c, d]  := [ac - bd, ad + bc]$.

Odtud snadno dokážeme, že

$[a, 0] + [c, 0] = [a + c, 0]$,
$[a, 0] \cdot [c, 0] = [ac, 0]$ ,
$[a, b] = [a, 0] \cdot [a, 0]   +  [b , 0] \cdot [0, 1]$ ,
$[0 , 1] \cdot [0 , 1] = [-1, 0]$

a další.

Licencí $[a, 0] = a ,  i := [0, 1]$  tedy máme $[a, b]  = a + bi  ,   i^2  = -1$ atd.

Offline

 

#15 08. 12. 2014 18:11

check_drummer
Příspěvky: 2590
Reputace:   71 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

Rumburak napsal(a):

EDIT. Ještě doplním vhodné definice alg. operací s "dvojicemi" :

        $[a, b] + [c, d]  := [a + c, b + d]$ ,
        $[a, b] \cdot [c, d]  := [ac - bd, ad + bc]$.

Ahoj, ale to je právě to, co je požadováno dokázat - že sčítání a násobení bude mít právě takovýto tvar. Tedy hledám takové vhodné předpoklady P na těleso S, aby sčítání a odčítání již bylo nutně definováno tak jak píšeš. P hledám "vhodné", aby byly co nejjednodušší a aby "nevnucovaly" to, že S má být uzavřené, má obsahovat "odmocninu z -1", apod. Znovu opakuji, že P lze volit mnoha způsoby a např. ten můj pomocí normy (můj první příspěvek) se zdá být vhodný, ale nevím zda je dostatečný.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#16 09. 12. 2014 11:27

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8453
Reputace:   494 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ check_drummer:

Ahoj.

Už asi chápu, o co Ti jde - chceš dospět ke KČ nějakým "přirozenějším" způsobem, než běžnou metodu "zdola". 
Ale k tomu mne (zatím) nic nenapdá.

Offline

 

#17 09. 12. 2014 17:00

check_drummer
Příspěvky: 2590
Reputace:   71 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ Rumburak:
Přesně tak.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#18 10. 12. 2014 10:04 — Editoval Rumburak (10. 12. 2014 17:18)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8453
Reputace:   494 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ check_drummer:

A co takto:

Hledáme komutativní těleso $\mathbb{C}$ , které

(1)     je nadtělesem tělesa $\mathbb{R}$ všech reálných čísel,

(2)     je algebraicky uzavřené
         (tj. každý polynom kladného stupně  s koeficienty v $\mathbb{C}$ má v $\mathbb{C}$ kořen),

(3)     je nejmenším komutativním tělesem s vlastnostmi (1), (2) .


Uvažujme nejprve o NUTNÝCH podmínkách, které musí být v hledaném  tělese $\mathbb{C}$ splněny.

Polynom $x^2 + 1$  musí mít v $\mathbb{C}$ kořen - jeden takový pevně zvolme a označme ho $\mathrm{i}$
Je zřejmé, že $\mathrm{i} \in \mathbb{C} - \mathbb{R}$,     

Snadno nahlédneme, že $\mathbb{C}$ nutně musí obsahovat všechny prvky tvaru

(4)       $a + b\,\mathrm{i}$  , kde  $a, b \in \mathbb{R}$  (součet a součin zde již bereme jako operace v $\mathbb{C}$).

Odtud snadno zjistíme,  jak budou vypadat algebraické operace s prvky (4) v obecném případě:

(5)        $(a + b\,\mathrm{i}) + (c + d\,\mathrm{i}) = (a + c) + (b+d)\,\mathrm{i}$ ,

(6)        $(a + b\,\mathrm{i}) \cdot (c + d\,\mathrm{i}) = ac + ad\,\mathrm{i} + b\,\mathrm{i}\,c + b\,\mathrm{i}\,d\,\mathrm{i}= ac + (ad + bc) \,\mathrm{i} + bd\,\mathrm{i}^2 =\\= (ac - bd) + (ad + bc) \,\mathrm{i}                                                                        $ ,

neboť  $\mathrm{i}$ bylo zvoleno tak, aby $\mathrm{i}^2 = -1$ .

Také není těžké ověřit,  že již sama množina $S$ všech prvků tvaru (4) s operacemi (5), (6) je komutativní
těleso  s nulovým prvkem 0 a jednotkovým prvkem 1.  Je tedy nejmenším kom. tělesem obsahujícím
množinu $\mathbb{R} \cup \{\mathrm{i}\}$ tak, aby $\mathbb{R}$  bylo  podtělesem v $S$.

Dokážeme-li dále, že těleso $S$ je algebraicky uzavřené, můžeme položit $\mathbb{C} := S$ a cíl najít těleso $\mathbb{C}$
s požadovanými vlastnostmi bude tím splněn.  Důkaz algebraické uzavřenosti tělesa $S$ však již není tak
snadný - rovná se důkazu Základní věty algebry v tělese $S$.

Offline

 

#19 10. 12. 2014 23:16

check_drummer
Příspěvky: 2590
Reputace:   71 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ Rumburak:
Ahoj, ale jak víš, že S bude vypadat zrovna tak, jak píšeš? Operace sčítání a násobení nejsou zadány...


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#20 11. 12. 2014 00:39 — Editoval Bati (11. 12. 2014 11:15)

Bati
Příspěvky: 2110
Reputace:   164 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ check_drummer:
Už to moc nepamatuju, ale ono nějak stačí ukázat, že na $\mathbb{R}[X]/_{(X^2+1)}$ se dá koukat jako na vektorový prostor nad $\mathbb{R}$ s bází $\{[1],[X]=:i\}$. Ale ve vektorovém prostoru sčítání už máme - to je přesně to sčítání po složkách. Takže stačí vyřešit násobení, ale to už se pak dostane ze sčítání a axiomů tělesa. Tak jsem přibližně myslel ten svůj předchozí příspěvek.

To, že to je opravdu vektorový prostor vlastně plyne z toho tvrzení, které říká něco jako, že dimenze faktorokruhu odpovídá stupni toho minimálního polynomu, který generuje ten ideál.

Offline

 

#21 12. 12. 2014 11:28 — Editoval Rumburak (12. 12. 2014 14:22)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8453
Reputace:   494 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ check_drummer:

Ahoj.

Tvary (5), (6) těch operací v $S$  plynou z předpokladů, které klademe na hledané těleso $\mathbb{C}$.

Podrobněji:

I.  Jsou-li $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ , potom také   $a, b, c, d \in \mathbb{C}$ ,  neboť  $\mathbb{R}$ má být podtělesem v $\mathbb{C}$.

II.  Polynom $x^2 + 1$ ,  který nemá kořen v $\mathbb{R}$,  má mít kořen $\mathrm{i} \in \mathbb{C}$ , tedy $\mathrm{i} \in \mathbb{C} - \mathbb{R}$ .

III.  Těleso $\mathbb{C}$ musí být (jako každé těleso) uzavřené na operace součtu a součinu,  proto spolu
s uvažovanými $a, b, c, d , \mathrm{i} \in \mathbb{C}$ nutně obsahuje i prvky  $a + b\,\mathrm{i},   c + d\,\mathrm{i}$,  bereme-li zde
součet a součin již jako operace v tělese $\mathbb{C}$ (že o takových operacích můžeme uvažovat, plyne
z předpokladu, že $\mathbb{C}$ je těleso).

IV. Při odvození vztahů (5), (6) pro součet a součin prvků $a + b\,\mathrm{i},   c + d\,\mathrm{i}$ (s operacemi v tělese $\mathbb{C}$)
využíváme vedle předpokladu $\mathrm{i} \cdot \mathrm{i} = \mathrm{i}^2 = -1$ už jen obecných vlastností operací součtu a součinu
v libovolném komutativním tělese, tedy asociativní a komutativní zákony, distributivní zákon.

V.  Že pro  $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ jsou výrazy $a + c,  ac,  ac - bd$ apod.  v tělese $\mathbb{C}$  po řadě totožné
s týmiž výrazy v tělese  $\mathbb{R}$ ,  vyplývá z předpokladu, že $\mathbb{R}$ má být podtěleso v $\mathbb{C}$ .

Offline

 

#22 13. 12. 2014 13:17

check_drummer
Příspěvky: 2590
Reputace:   71 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ Rumburak:
Ahoj, a z čeho plyne II? O tělse S nepředpokládám, že v něm má každý polynom kořen. A ani bych nechtěl - chtěl bych volit takové předpoklady, které nemají co do činění s uzavřeností tělesa nebo s řešitelností nějakých rovnic. Já vím, že volba podmínek, které musí S splňovat je svoboná, ale tomuto bych se rád vyhnul. Např. jako vhodné se mi jeví podmínky týkající se existence normy a jejích vlastností, apod. Tedy v podstatě funkce s hodnotami v reálných číslech -  a tedy z tohoto pohledu funkce relativně jednoduché.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#23 15. 12. 2014 11:06

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8453
Reputace:   494 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ check_drummer:

Ahoj.

Tvrzení

II. Polynom $x^2 + 1$ ,  který nemá kořen v $\mathbb{R}$,  má mít kořen $\mathrm{i} \in \mathbb{C}$ , tedy $\mathrm{i} \in \mathbb{C} - \mathbb{R}$ .

plyne z předpokladů, že

(a) hledané těleso $\mathbb{C}$ je algebraicky uzavřené , tudíž každý polynom (s koeficienty c $\mathbb{C}$) stupně 1 a více
má v něm kořen,

(b)   $\mathbb{C}$ je nadtěleso tělesa  $\mathbb{R}$.

Takže polynom $x^2 + 1$ s  koeficienty v $\mathbb{R}$  je zároveň polynomem s koeficienty v $\mathbb{C}$ , jeho stupeň je
(z obou pohledů) 2  a tedy podle (a) má  v  $\mathbb{C}$ kořen, který jsme označili $\mathrm{i}$.  O dotyčném polynomu
však VÍME,  že v $\mathbb{R}$ kořen NEMÁ, proto nutně $\mathrm{i} \in \mathbb{C} - \mathbb{R}$ .

Podotýkám, že symbolem $S$ jsem označil pouze množinu prvků tvaru  $a + b\,\mathrm{i} \in \mathbb{C}$ pro speciální případy,
kdy $a, b \in \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.  Že již $S$ má všechny vlastnosti hledaného tělesa $\mathbb{C}$, by se muselo dokázat.


Domnívám se, že algebraická uzavřenost tělesa komplexních čísel je jeho vlastností natolik podstatnou,
že ji  při konstrukci tohoto tělesa sotva bude možno ignorovat,  pokud chceme jít "přirozenou" cestou
a ne tak, že vysypeme z rukávu nějaké axiomy, jejichž odůvodnění nebude zřejmé.

Offline

 

#24 16. 12. 2014 23:59 — Editoval check_drummer (17. 12. 2014 00:01)

check_drummer
Příspěvky: 2590
Reputace:   71 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ Rumburak:
Ahoj, no a uměl bys tedy dát příklad tělesa (neizomorfního s $\mathbb{C}$), na které klademe pouze mnou výše uvedené předpoklady, tj. aby to bylo rozšíření $\mathbb{R}$ (a šlo o dvojice [v,w] reálných čísel - a [r,0] ztotožňujeme s reálným číslem r), kde násobení a sčítání je definováno jako nějaký polynom v souřadnicích činitelů (sčítanců), a případně aby ještě platilo (pro normu):
$|u^n|=|u|^n$, kde pro u:=[v,w] klademe $|u|:=\sqrt{v^2+w^2}$.
Tedy tím udat příklad myslím definovat sčítání a násobení, aby pro takto sestrojené operace byly splněny podmínky výše.

Naopak si myslím, že některé podmínky (axiomy) mohou být velmi přirozené a slabší ("přímočařejší") než požadavek na řešitelnost jistých rovnic.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#25 22. 12. 2014 11:47 — Editoval Rumburak (22. 12. 2014 13:41)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8453
Reputace:   494 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ check_drummer:

Ahoj. 

Komutativní nadtěleso $S$ tělesa $\mathbb{R}$ můžeme vnímat jako vektorový (neboli lineární) prostor nad $\mathbb{R}$.
Budeme-li chtít, aby při tomto pohledu byla dimense prostoru $S$ rovna 2,  potom prostor $S$ bude isomorfní
s "klasickým" vektorovým prostorem $\mathbb{R}^2$.  Tedy můžeme množinově ztotožnit $S$$\mathbb{R}^2$,  a to tak, že
reálnému číslu $r \in S$ bude odpovídat usp. dvojice $[r, 0] \in \mathbb{R}^2$.  Tím je zárovreň určeno, že

(1)                 $(a, b) + (c, d) = (a + c,  b + d) $   pro   $(a, b) , (c, d)  \in S$ ,
(2)                 $(r, 0) \cdot (a, b) = r \cdot (a, b)  = (ra, rb) $   pro   $(a, b) \in S ,  r \in \mathbb{R}$.

Díky algebraickým zákonům platným v tělese zbýva k obecné představě o součinu v $S$ již jen prozkoumat,
čemu by se  mělo rovnat $(0, 1) \cdot (a, b)$.  Z (2)  plyne $(1, 0) \cdot (0, 1)  = (0, 1)$ ,  což můžeme pomocí
komut. zákona pro součin zapsat ve tvaru

(3)                                          $(0, 1) \cdot (1, 0)  = (0, 1) $ ,

v němž první činitel $(0, 1)$   bude vnímán jako operátor.  Operace (3) provedená s vektorem $(1, 0)$ v rovině
opatřené běžnou kartéskou soustavou souřadnic tedy provedla to, že ho otočila okolo počátku o pravý úhel
v kladním směru. Tuto vlastnost využijeme pro definici uvedené operace s obecným vektorem $(a, b)$.
Položíme tedy

(4)                                          $(0, 1) \cdot (a, b)  := (-b, a) $ .

Nutno samozřejmě ověřit, že trojice $S, +,  \cdot $ při definici (4) skutečně bude tělesem.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson