Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#26 22. 12. 2014 12:08

vanok
Příspěvky: 12946
Reputace:   715 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

Pozdravujem ↑↑ Rumburak:,
Tu http://forum.matematika.cz/viewtopic.php?id=78989 vlasnost 3) da maly doplnok.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#27 22. 12. 2014 13:46

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8453
Reputace:   494 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ vanok:

Ahoj.  Díky za doplnění.

Přeji Ti šťastný nový rok.

Offline

 

#28 22. 12. 2014 16:25

vanok
Příspěvky: 12946
Reputace:   715 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ Rumburak:,
Aj tebe Vianoce, Novy rok    ... darceky, uspechy, zdravie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#29 22. 12. 2014 23:25

check_drummer
Příspěvky: 2590
Reputace:   71 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑↑ Rumburak:
Ahoj, díky za příspěvek. Ta dimenze je podstatná. Vlastně to psal už OiBobik výše. Jen si nejsem jist, zda tento požadavek není zbytečný - pokud budeme např. požadovat po sčítání a násobení, aby to byly polynomy.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#30 22. 12. 2014 23:31

vanok
Příspěvky: 12946
Reputace:   715 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

Ahoj ↑ check_drummer:, ta dim je 2, lebo ta zaujimaju dvojice.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#31 23. 12. 2014 01:33

check_drummer
Příspěvky: 2590
Reputace:   71 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ vanok:
Ahoj, je ale otázka, zda i nad dvojicemi není možné zkonstruovat vektorový prostor větší dimenze (viz opět poznámky od OiBobika) - přece obecně R a R2 mají stejnou mohutnost, takže to, že dim=2 je dle mého předpoklad a nikoli důsledek.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#32 23. 12. 2014 02:26

vanok
Příspěvky: 12946
Reputace:   715 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

Ahoj ↑ check_drummer:,
To myslis na nieco taketo
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Hypercomplex_number
( ale tu nebudes mat komutativitu).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#33 24. 12. 2014 10:40

check_drummer
Příspěvky: 2590
Reputace:   71 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ vanok:
Ahoj, mohl bych postupovat tak, že budu uvažovat bijekci z R^k do R^2 a v R^2 definuji vhodné operace a ty mi budou indukovat operace v R^k - a tak mohu i R^k chápat jako R^2 (tj. jako prostor komplexních čísel). Sampozřejmě, pokud budu požadovat, aby operace v R^k měly další vlastnosti (spojitost, apod.), tak už tato konstrukce nejspíš nebude možná.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#34 24. 12. 2014 11:18 — Editoval vanok (25. 12. 2014 00:32)

vanok
Příspěvky: 12946
Reputace:   715 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

Ahoj
Takyto postup rozsirovania algebri, da postupne z R
C
H quaternions
http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Octonion
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Sedenion

Cf. Dikson

Na kazdej etape sa dvojnasobi dim, a vzdy sa strati jedna z vlasnosti z predoslej  etapy ( normalne heuresticky... Menej vlasnosti, vädcia struktura)
Presnejsie v C sa strati totalne usporiadanie, potom komutativita, asociativita, alternativita...
Cize tvoja idea chciet zachovat vela ( vsetki, alebo urcite ) vlasnosti je asi nemozna pre taketo struktury.

Edit.  Jedno citanie o neasoaciativnych algebrach
http://math.uga.edu/~pete/nonassociativealgebra.pdf


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#35 29. 12. 2014 12:17 — Editoval Rumburak (29. 12. 2014 16:57)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8453
Reputace:   494 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ check_drummer:

Ahoj.

Vždy musíme něco požadovat.  Ale vyjít přesně a pouze z Tvých představ neumím.

Za jednoho dlouhého zimního večera mne však napadlo,  jak dojít ke klíčovému vztahu  $(0, 1)\cdot (a, b) = (-b , a)$
jemnější cestou než v ↑↑ Rumburak: .  Možná by Tě to mohlo zajímat .

Uvažujme situaci popsanou v  ↑↑ Rumburak: a položme 

(A)                                   $f(x,y) := (0, 1)\cdot (x, y) $.

Z odkazovaného příspěvku víme, že

(B)                                              $f(1, 0) = (0, 1)$.

Chceme-li dostat těleso, musí uvažované zobrazení  $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$  být lineární.  Mějme tedy $p, q, r, s \in \mathbb{R}$
taková, aby

               $f(x,y) = (px+qy,  rx+sy) $   pro libovolné  $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ .

Odtud pro  $(x, y) = (1, 0)$  obdržíme   $f(1,0) = (p, r)$ , což porovnáním s (B) dává $p = 0,  r = 1$ , tedy

                                         $f(x,y) \equiv (qy,  x+sy)$ .

Připojíme-li  požadavek, aby zobrazení  $f$ zachovávalo normu vektoru,  pak z rovnosti  $||f(x, y)||^2 = ||(x, y)||^2$
postupně dostáváme
                                       $(qy)^2 +(x+sy)^2 = x^2 + y^2$ ,
                                       $q^2y^2 + x^2 + 2sxy + s^2y^2 = x^2 + y^2$ ,
                                       $q^2y^2 + 2sxy + s^2y^2 = y^2$.

Poslední rovnost je triviálně splněna vždy, když $y = 0$ . V případech $y \ne 0$ ji můžeme upravit na tvar

(C)                                      $q^2 +  2s \cdot \frac{x}{y}  + s^2  =  1$ .

Je zřejmé, že levá strana v rovnosti (C) při pevném $y \ne 0$ nesmí záviset na $x$.  Odtud  nutně $s = 0 ,  q^2 = 1$ .

Případ  $q = -1$ dává   $f(x,y) \equiv (-y,  x)$ ,  tedy teorii komplexních čísel  tak, jak ji známe.

Případ  $q = +1$ vede ke sporu s požadavkem, aby uvedenou konstrukcí vzniklo těleso:

Bude-li   $f(x,y) \equiv (y, x)$ ,  potom $(0, 1)^2 = f(0, 1) = (1, 0)$. Zároveň ovšem také chceme, aby
$(1, 0)^2 = (1 , 0)$ (což má odpovídat vztahu  $1^2 = 1$ v $\mathbb{R}$). Z rovnosti $ (0, 1)^2 = (1, 0)^2 $ dále dostáváme 

           $(0, 0) = (0, 1)^2 - (1, 0)^2 = \[(0, 1) - (1, 0)\]\cdot \[(0, 1) + (1, 0)\] = (-1, 1) \cdot (1, 1)$ .

Avšak situace, aby nulový prvek byl součinem dvou nenulových prvků, v tělese nastat nemůže.

Offline

 

#36 29. 12. 2014 23:52

check_drummer
Příspěvky: 2590
Reputace:   71 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ Rumburak:
Ahoj, pěkné. Tedy nemusíme předpokládat nic o řešitelnostni jistých rovnic.
Ještě zbývá vyřešit, proč musí být R2 "klasický" vektorový prostor nad R, tedy proč tam nemůže být definováno sčítání jinak a tedy proč musí být f lineární.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#37 30. 12. 2014 15:50 — Editoval Rumburak (30. 12. 2014 15:55)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8453
Reputace:   494 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ check_drummer:

Ahoj.  To, na co ptáš, je již vyřešeno :-) a jistě by se k tomu našla literatura (nějaká učebnice základů VŠ algebry,
i když konkretně neporadím).

1. Snadno se dá dokázat, že dva vektorové prostory téže dimense nad týmž tělesem jsou spolu isomorfní.

Návod:

Nechť  $B$ je báze prostoru $X$ a $C$ báze prostoru $Y$ (předpokládáme, že jde o prostory nad týmž tělesem $T$)
Mají-li prostory $X, Y$ tutéž dimensi,  potom existuje bijekce $g$ množiny $B$ na množinu $C$

Obecný vektor $\vec{u} \in B$ má vzhledem k bázi $B$  jednoznačné vyjádření tvaru   $\vec{u} = \sum_{k=1}^n t_k \vec{b_k}$ ,  kde $n$ je
vhodné přirozené číslo (včetně 0) ne větší než dimese prostoru $X$$\vec{b_k} \in B$ navzájem různé vektory,   $t_k \in T$ .

Položíme-li zde  $h(\vec{u}) := \sum_{k=1}^n t_k g(\vec{b_k})$ ,  pak $h$ bude isomorfismus prostoru  $X$ na prostor $Y$.

Speciálně:  vektorový prostor dimense 2 nad tělesem $\mathbb{R}$ je isomorfní s "klasickým" $\mathbb{R}^2$.

2.  Důkaz, že naše zobrazení $f(x, y) := (0,1)\cdot (x,y)$ je lineární, je rovněž jednoduchý a dostaneme ho ihned
z vlastností algebraických operací v komut. tělese:

$f((x, y)+(u, v)) = (0,1) \cdot ((x, y)+(u, v)) =  (0,1) \cdot (x, y)  +  (0,1) \cdot (u, v)  = f(x,y) + f(u,v)$

(použit distributivní zákon);

je-li $\lambda \in \mathbb{R}$ ,  potom podle naší licence je zároveň $\lambda \equiv (\lambda, 0) \in S$ a

$f((\lambda, 0)\cdot (x, y)) =  (0,1) \cdot ((\lambda,0)\cdot (x, u)) = (\lambda,0)\cdot ((0,1)\cdot (x,y)) = (\lambda,0)\cdot f(x,y)$ ,

(použit asociativní a komutativní zákon pro násobení) , tedy $f(\lambda \cdot (x, y)) = \lambda f(x, y)$ .

3. Další věta ze základů vektorové algebry říká, že každé lineátní zobrazení $f:\mathbb{R}^m \to \matbb{R}^n$ se dá vyjdřit jako
součin vhodné matice s vektorem.  Odtud tvar $f(x,y) = (px + qy, rx + sy)$ .

Offline

 

#38 01. 01. 2015 16:53

check_drummer
Příspěvky: 2590
Reputace:   71 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ Rumburak:
Ahoj, mlčky však předpokládáš, že tebou zkonstruované těleso má dimenzi 2. To by měl být další předpoklad (řekl bych že vcelku obecný a akceptovatelný) na námi konstruované těleso - není to totiž zřejmé a ani to dle mého z ničeho neplyne. Ale potom již bychom měli dostat komplexní čísla.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#39 05. 01. 2015 09:49 — Editoval Rumburak (05. 01. 2015 09:50)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8453
Reputace:   494 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ check_drummer:

Ahoj. 
Kdybychom předpokládali dimensi $d$ vektorového prostoru S nad $\mathbb{R}$ menší než 2, tedy 1,  pak by bylo $S = \mathbb{R}$
a nedostali bychom nic nového.  Máme-li získat něco nového, musíme hledat mezi případy, kdy $d \ge 2$ . Jak se ukazuje,
již případ $d = 2$ vede k cíli.  Dále je známo, že případ $d = 3$ nemá řešení.  Případ $d = 4$ dává těleso kvaternionů,
která ale již není komutativní.

Offline

 

#40 05. 01. 2015 18:32

check_drummer
Příspěvky: 2590
Reputace:   71 
 

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

↑ Rumburak:
To je pravda, takže bych tímto asi toto vlákno uzavřel - řekl bych, že předpoklady, které jsi použil jsou dostatečně rozumné.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson