Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 01. 2015 09:06 — Editoval vanok (03. 01. 2015 09:12)

vanok
Příspěvky: 12944
Reputace:   715 
 

Maticova rovnica

Pozdravujem,
Dalsia maticova rovnica.
Nech n je nenulove prirodzene cislo ( co sa vo svetovej literature pise $ n \in N^*$) a $A \in GL_2(C)$
( to znamena, ze ide o maticu $A$ v linearnej grupe na C, ktora je typu (2,2) = inverzibilnu maticu v...)

Prva otazka) rovnica $X^n=A$ ma riesenie v $GL_2(C)$ ?

Druha otazka) ako je to v pripade, ked nahradime $C$  telesom $ R$ ? za predpokladu, ze $ A$ je naviac triangovatelna (=trojuholnikovatelna).
( navod : rieste podla parnosti n)

Na koniec rieste tento pripad v situacii ked $A $ nie je triangovatelna a $n$ je neparne.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

  • (téma jako nevyřešené označil(a) vanok)

#2 04. 01. 2015 13:14 — Editoval vanok (05. 01. 2015 16:58)

vanok
Příspěvky: 12944
Reputace:   715 
 

Re: Maticova rovnica

Zacnime prvou otazkou.
Najprv predpokladajme, ze $A$ diagonalizabilna, co znamena
$\exists P \in GL_2(C) $ take ze $P^{-1}AP=\left( \begin{array}{cc}
a & 0\\
0 & b\
end{array} \right)$
Na pokracovanie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 05. 01. 2015 17:56 — Editoval vanok (05. 01. 2015 18:01)

vanok
Příspěvky: 12944
Reputace:   715 
 

Re: Maticova rovnica

Nech $\lambda, \mu $ su take, ze $\lambda^n=a, \mu^n=b$, potom
$X=P\left( \begin{array}{cc}
\lambda & 0\\
0 & \mu \
end{array} \right)P^{-1}$
je riesenie problemu.


Teraz predpokladajme, ze $A$ nie je diagonalizabilna a
$\exists P \in GL_2(C) $ take ze $P^{-1}AP=\left( \begin{array}{cc}
a & 0\\
c & a\
end{array} \right)$.
Tu je prirodzene hladat $X$ vo forme
$P^{-1}XP= \left( \begin{array}{cc}
\lambda & 0\\
d & \lambda \
end{array} \right)$
kde $\lambda^n=a$.
Akoze $P^{-1}AP=\left( \begin{array}{cc} 
\lambda & 0\\
d & \lambda \
end{array} \right)^n=\left( \begin{array}{cc}
 a & 0\\
f & a \
end{array} \right)$ , kde $ f=n\lambda^ {n-1}d$.
Tu ostava este vyjadrit $d$
Na pokracovanie


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 12. 01. 2015 11:11

vanok
Příspěvky: 12944
Reputace:   715 
 

Re: Maticova rovnica

Z poslednej matici mame $d=\frac c {n\vambda ^{n-1}}$$\Leftrightarrow X^n=A$ ).
d existuje, lebo $A \in GL_2(C) \Rightarrow \lambda \ne 0$.
Cize matica$\left( \begin{array}{cc}
\lambda & 0\\
d & \lambda \
end{array} \right)$
kde $\lambda^n=a$ a $d=\frac c {n\vambda ^{n-1}}$ je riesenie problemu v tomto pripade.

Skuste sami porozmyslat o svysku cvicenia...


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 14. 01. 2015 19:17 — Editoval vanok (14. 01. 2015 19:21)

vanok
Příspěvky: 12944
Reputace:   715 
 

Re: Maticova rovnica

Riesenie druhej otazky:
Pripad $GL_2(R)$ je trochu komplikovanejsi ako komplexny pripad, pretoze n-ta odmocnina realneho cisl a nie je vzdy realne cislo.
Skutocne, ak n je parne, odmocnina n= 2m negativneho realneho cisla nexistuje v R: lebo ako tu pre
$ X^{2m}= \left( \begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1\
end{array} \right)$ by sme museli mat
$0<(detX)^{2m}=-1$

Ak n je neparne, rovnica ma riesenia, ( ten isty dokaz, ako v komplexnom pripade, lebo text predpoklada ze A je triagotelna).
Na pokracovanie
Ostava este posledny pripad: ukazat ze si A nie je triagonalizable v realnom pripade, ak n je neparne, tak rovnica ma riesenie (ale dokaz nie je taky lahky ako predoslich castiach)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 26. 01. 2015 17:14 — Editoval vanok (26. 01. 2015 17:20)

vanok
Příspěvky: 12944
Reputace:   715 
 

Re: Maticova rovnica

Na riesenie mozeme pouzit, ze
$A$ nie je triangovatelna len a len ak charakteristicky polynom :$\varkappa _A$ matici $  A$  je irreduktibilny v $\mathbb{R}[X]$.
Nech $\varkappa _A=X^2+bX+c$.
Preto $b^2-4c<0$.
Myslienka je pouzit,  ze $\exists B \in M_2( \mathbb{R})$ take, ze $A=\exp B$
Vtedy, ak plati posledna rovnica, akoze vieme, ze $MN=NM \Rightarrow \exp (M+N)= \exp M \exp N$,
tak $( \exp \frac B n)^n= \exp B=A$

Co da riesenie pre $X=\exp \frac B n$.

Ostava dokazat, ze  $\exists B \in M_2( \mathbb{R})$ take, ze $A=\exp B$
Dokaz tejto  poslednej  etapy, za niekolko dni...    (Ak nikto iny to neskusi. )


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 27. 02. 2015 22:05 — Editoval vanok (11. 03. 2015 17:02)

vanok
Příspěvky: 12944
Reputace:   715 
 

Re: Maticova rovnica

Ako slubene, indikacie k poslednej casti:
Da sa ukazat, ze obraz z $\exp:M_n(\mathbb{R})\to GL_n(\mathbb{R})$ je mnozina matic $GL_n(\mathbb{R})$ ktore su stvorce v $GL_n(\mathbb{R})$ .
Akoze $A$ je nutne regularna (lebo ak jej charakteristicky polynom je irreduktibilny a vtedy nema realne vlastne hodnoty), Preto staci ukazat ( pre tento problem), ze $A$ je stvorec, $\exists B \in GL_2(\mathbb{R}), A=B^2$

Podla teoremy Caley-Hamilton, $B \in <B^2,Id>=<A,Id>$.
Tak hladajme $B$ vo forme $ B=\alpha A+ \beta Id$.
Potom $ B^2=A \iff \alpha^2 A^2+ 2\alpha \beta A+\beta^2Id=A \iff 
(2\alpha\beta -\alpha^2\beta -1)A+(\beta^2-\alpha^2c)Id=0$ lebo
$A^2=- A-cId$
Na koniec vidime, ze podmienka $b^2-4c<0$ da ze system
$2\alpha \beta-\alpha^2b-1=0\\  \beta ^2-\alpha^2c=0$ je riesitelny.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 23. 05. 2017 00:05 Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Chyba

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson