Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 18. 04. 2015 16:14

vanok
Příspěvky: 12944
Reputace:   715 
 

Delitelnost polynomov

Pozravujem,
Nech $z_1, z_2$ su dve komplexne cisla, a $P$ polynom z komplexnimi koeficientami taky, ze $P(X)=(X-z_1)(X-z_2)$.
Urcite $z_1, z_2$ tak aby $P(X)|P(X^3)$.
Upresnite vsetki take polynomy.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 19. 04. 2015 02:14

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4478
Škola: PřF MUNI
Pozice: student
Reputace:   216 
 

Re: Delitelnost polynomov

Platí $P(x)\mid Q(x)\ \Leftrightarrow\ (\forall c,P(c)=0):Q(c)=0$. Má tedy platit (pro jednoduchost označme $a=z_1, b=z_2$) $P\(a^3\)=P\(b^3\)=0$.

Dostáváme tak soustavu
$$$
\parstyle
\begin{align*}
\(a^3-a\)\(a^3-b\)&=0 \\
\(b^3-a\)\(b^3-b\)&=0
\end{align*}$$$
jež je symetrická a proto dvojice $(a,b)$ povede ke stejnému polynomu jako $(b,a)$, a kterou upravíme do tvaru
$$$\parstyle
\begin{align*}
a(a-1)(a+1)\(a^3-b\)&=0 \\
b(b-1)(b+1)\(b^3-a\)&=0
\end{align*}$$$

Při pohledu na první tři činitele obou rovnic je jasné, že každá uspořádaná dvojice $(a,b)\in\{-1,0,1\}\times\{-1,0,1\}$ vyhoví. S ohledem na symetrii stačí uvažovat pouze dvojice $(a,b)\in\{(0,0),(0,\pm1),(1,1),(-1,-1)\}$.

U další "podsoustavy"
$$$\parstyle
\begin{align*}
a(a-1)(a+1)&=0 \\
b^3-a&=0
\end{align*}$$$
dostáváme krom známých dvojic ještě $(a,b)\in\{\(1,-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\),\(-1,\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\)\}$.

Nakonec se zbývá podívat na podsoustavu
$a^3=b,b^3=a$, která po úpravě vede na binomickou rovnici $a^8=1$ s kořeny tvaru $a=\text{Cis}\(\frac{1}{4}k\pi\),k\in\{0,1,\ldots,7\}\Rightarrow b=\text{Cis}\(\frac{3}{4}k\pi\)=\text{Cis}\(-\frac{1}{4}k\pi\)$ a s ohledem na známé dvojice a symetrii stačí uvažovat pouze $k\in\{1,2,3\}$.

Všechny vyhovující polynomy jsou tedy tvaru $P(x)=(x-a)(x-b)$, kde
$(a,b)\in\{(0,0),(0,\pm1),(1,-1),(\pm1,\pm1),(\text{i},-\text{i}),\(1,-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\),\(-1,\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\),\(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\text{i},\pm\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{i}\)\}$
(bereme znaménka pouze na stejné úrovni, tj. např. $(\pm1,\pm1)$ odpovídá pouze dvojicím $(1,1),(-1,-1)$.)

Úloze vyhoví právě 13 různých polynomů.


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#3 19. 04. 2015 10:12

vanok
Příspěvky: 12944
Reputace:   715 
 

Re: Delitelnost polynomov

Ahoj ↑ byk7:,
Rychlo a dobre si to zvladol.
Co sa tyka poslednej otazky, ( ktora je sucast cvicenia) doporucujem pisat polynomy ( ktore su algebricke objekty) z $\mathbb{C}[X] $ vo forme ako napr. tu $P(X)=X(X-1)$. Pisat X a nie x  nam umoznuje tiez okamzite rozlisovat polynom P, a polynomialnu asociovanu funkciu $P: \mathbb{C}[X] \rightarrow \mathbb{C}[X]:x\mapsto P(x)$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson