Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 04. 2015 15:12

byk7
InQuisitor
Místo: Břeclav, Brno
Příspěvky: 4455
Škola: PřF MUNI, konzervatoř Brno
Pozice: student
Reputace:   216 
 

Racionální a iracionální čísla

Zdravím,

již dlouhou dobu jsem se pokoušel dokázat větu, že mezi libovolnými dvěma reálnými čísly $a<b$ existuje nekonečně mnoho racionálních i iracionálních čísel. Myslím, že se mi to konečně podařilo (i když stoprocentně jistý si nejsem). Chtěl bych poprosit o komentář, kde se v důkazu nachází slabiny (ať už faktické, nebo pouze formální). Další dotaz, jde to udělat nějak (úplně(?)) jinak?

Děkuji za reakce.

http://goo.gl/Hed7CY


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) byk7)

#2 24. 04. 2015 18:09

vanok
Příspěvky: 12335
Reputace:   699 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

Ahoj ↑ byk7:,
Tvoj dokaz ked budem mat cas podrobnejsie pozriet.
Ina technika:
Staci dokazat ze lubovolny otvoreny interval I=]a,b[, a<b je bijectivny z R.
Inac v tvojom dokaze ukazujes ze pocet iraciolnych cisiel v nejakom intervale je nekonecny spocitatelny, ale tych je v tvojom intervale o mnoho viac.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 24. 04. 2015 20:23

byk7
InQuisitor
Místo: Břeclav, Brno
Příspěvky: 4455
Škola: PřF MUNI, konzervatoř Brno
Pozice: student
Reputace:   216 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

Té poznámky o spočetnosti jsem si vědom, to mi ale nevadí, mně stačí ta "pouhá" nekonečnost.


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#4 24. 04. 2015 22:38

vanok
Příspěvky: 12335
Reputace:   699 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

Ahoj,
Veta co dokazujes, sa da vyjadrit aj takto:
$\mathbb{Q}$ je huste v $\mathbb{R}$
$\mathbb{R\setminus Q }$ je huste v $\mathbb{R}$.
Ak chces pridam moj dokaz, aby si mohol porovnat.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 24. 04. 2015 22:44

byk7
InQuisitor
Místo: Břeclav, Brno
Příspěvky: 4455
Škola: PřF MUNI, konzervatoř Brno
Pozice: student
Reputace:   216 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

↑ vanok:

Pojmu "hustá množina" jsem se chtěl vyhnout, protože používá topologické termín termíny, čemuž já zatím nerozumím.

Rád si Váš důkaz prohlédnu. :)


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#6 25. 04. 2015 12:40 — Editoval check_drummer (25. 04. 2015 12:41)

check_drummer
Příspěvky: 2398
Reputace:   65 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

↑ byk7:
Ahoj, pdole mého stačí dk, že v každém intevalu I:=(a,b) se nachází alespoň jedno racionální a alespoň jedno iracionální číslo. Potom tedy např. je-li toto číslo x, tak stejný postup aplikujeme např. na interval (a,x) a tak získáme nekonečně mnoho požadovaných čísel.

Důkaz výše uvedeného tvrzení pro racionální x by mohl být např. takový, že lze nalézt u z Q dostatečně blízké k 0 (např. u=1/n pr odostatečně velké n) a je-li jeho velikost menší než délka I, tak vhodným celočíselným násobkem u získáme číslo z I.

Pro x iracionální lze použít tentýž postup ($u:=\sqrt{2}/n$).


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#7 25. 04. 2015 12:59

vanok
Příspěvky: 12335
Reputace:   699 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

Ahoj,
Pred tym ako tu dam dokazy, co som slubil, dam do popredia tuto poznamku.
Casto ked sa robia dokazy, kde $\mathbb{R}$ je dolezite vediet, ze sa v nich objavia ( nemo) prvky topologie, ( vsak $\mathbb{R}$ je model, co sa tyka zaciatkov topologie).
Inac, tiez iste vies, ze struktura $\mathbb{R}$ sa da vybudovat viacerymi sposobmi. Pochopitelne treba vzdy dokazat ze kazda konstrukcia je ekvivalentna z kazdou inou  konstrukciou. Preto je sa $\mathbb{R}$ casto uvadza axiomaticky. (Aj na to je viacej presentacii )
A na koniec este jedna poznamka.
Jedna dolezita axioma v $\mathbb{R}$ je Archimedova vlasnost.
Povieme, ze $\mathbb{R}$ je archimedovske:
$\forall x \in \mathbb{R}, \exists n \in \mathbb{N}, n>x$
Pre kazde realne x, existuje prirodzene n ostro vädcie ako x.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 25. 04. 2015 21:42 — Editoval vanok (26. 04. 2015 11:51)

vanok
Příspěvky: 12335
Reputace:   699 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

Pre istotu male upresnenia
$\mathbb{Q}$ je huste v $\mathbb{R}$
Znamena:lubovolny otvoreny ( neprazdny) interval z $\mathbb{R}$ obsahuje nekonecne vela racionalnich cisiel.

$\mathbb{R\setminus Q }$ je huste v $\mathbb{R}$.
Znamena:lubovolny otvoreny ( neprazdny) interval z $\mathbb{R}$ obsahuje nekonecne vela irracionalnich cisiel

Teraz dokazem v 3ch castiach co som vyssie slubil.

Predpokladajme ze $a<b$
1. Kazdy internal ]a,b[obsahuje aspon jedno racionalne cislo.
Co sa formalne pise
$\exists a,b \in \mathbb{R} (a<b \Rightarrow \exists r \in \mathbb{Q}|a<r<b) $
Myslienka dokazu je najst racionalne cislo  $r =\frac p q$, kde $p \in \mathbb{Z}$ a $ q \in\mathbb{N}^*$, cize teba najst take $ p , q |qa <
 p < qb$
Cize treba nast $q \in \mathbb{N}^*$ ze interval $]qa, qb[$ obsahuje cele $p$.
Na to staci, ze dlzka $qb - qa =q(b - a) > 1$, co je ekvivalentne z $ q > \frac 1{ b-a}$
Toto nas doviedlo, vdaka Archimedovej vlasnosti k tomutu dokazu.
Existuje cele $q$ take, ze $ q> \frac 1{b-a}$ . Akoze $b-a>0$, mame $ q\in \mathbb{N}^*$. Polozme $p=[aq]+1$.
Preto $p-1 \le aq< p$.
To nam da $a < \frac pq$, ako aj $ \frac pq - \frac 1q \le a$
Cize $\frac pq \le \frac 1q + a < a + b -a = b$.
To nam konecne da $\frac pq \in ]a, b[$ co ukoncuje dokaz casti 1.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 26. 04. 2015 11:38 — Editoval vanok (26. 04. 2015 18:56)

vanok
Příspěvky: 12335
Reputace:   699 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

2. Kazdy otvoreny( neprazdny) interval obsahuje aspon jedno iracionalne cislo.
Pouzijem, cast 1. V intervaly $ ]a-\sqrt 2, b-\sqrt 2[$ existuje rationalne cislo $r$.
$r+\sqrt 2$ je iracionalne a je v $]a,b[$ ( vdaka posunutiu )

Posledna cast
3.  Kazdy otvoreny( neprazdny) interval obsahuje nekonecne vela rationalnich a iracionalnich cisiel.
Staci konstatovat, ze $I=]a,b[$ obsahuje $n$ kde $n\ge1$ disjoinktnich otvorenich intervalov a na kazdy pouzit vlasnoti 1. a 2.
Cize $ I$ obsahuje aspon   $n$ , $ (n\ge 1)$ racionalnich a iracionalnich cisiel. Toto plati pre kazde $n\ge1$
To konci dokaz 3.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 29. 04. 2015 21:35

byk7
InQuisitor
Místo: Břeclav, Brno
Příspěvky: 4455
Škola: PřF MUNI, konzervatoř Brno
Pozice: student
Reputace:   216 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

Pěkné, díky.


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#11 30. 05. 2015 02:03

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

↑ vanok:

Ako z faktu, že v intervale $[a,b]$ je $n$ racionálnych a $n$ iracionálnych čísel plynie, že je tam nekonečne veľa racionálnych a zároveň nekonečne veľa iracionálnych čísel ?


1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

#12 30. 05. 2015 02:11

vanok
Příspěvky: 12335
Reputace:   699 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

Ahoj ↑ BakyX:,
Klucove slovo je indukcia.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#13 30. 05. 2015 02:44

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

↑ vanok:

Mohol by si to prosím rozpísať ?

Existuje ľubovoľne dlhá postupnosť po sebe idúdich zložených čísel, ale nie nekonečne dlhá.

Prečo by to nemohol byť tento prípad ?


1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

#14 30. 05. 2015 07:26

vanok
Příspěvky: 12335
Reputace:   699 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

↑ BakyX:
Neformalne
Indukcny krok.
Tu mozes pouzit, zéro ak mas k intervalov, mozes  z nich vybrat lubovolny z nich, akoze tento obsahuje aspon jedno rationalne cislo, dostaneme dva ( mensie) disjoinktne intervaly. Na kazdy z nich mozes applikovat bod 1 a 2. To da, k +1 disjointnich intervalov ... z ktorych kazdy obsahuje aspon jedno rationalne ako aj irationalne cislo.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#15 30. 05. 2015 14:47

check_drummer
Příspěvky: 2398
Reputace:   65 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

↑ BakyX:
Ahoj, stačí dokonce jedno, viz můj příspěvek.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#16 30. 05. 2015 19:28

vanok
Příspěvky: 12335
Reputace:   699 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

Ahoj  ↑ check_drummer:,
Vsak v principe pises to iste ako ja. Az nato ze som dal viac detailov.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#17 01. 06. 2015 09:57

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8175
Reputace:   478 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

↑ byk7:

Ahoj. 

Jen drobnost:

Lemma 3. Součet, rozdíl, součin a podíl racionálního a iracionálního čísla je iracionální.

U součinu je nutno připojit předpoklad, že racionální činitel je různý od nuly.

Offline

 

#18 01. 06. 2015 12:33

vanok
Příspěvky: 12335
Reputace:   699 
 

Re: Racionální a iracionální čísla

Poznamka:
Ak chcete ine dokazy ( skor redakcie dokazu) dajte si na Google : density of Q.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson