Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 28. 04. 2015 12:40 — Editoval Lukexr (28. 04. 2015 12:41)

Lukexr
Příspěvky: 25
Reputace:   
 

Vlastní čísla diferenciálního operátoru

Ahoj, chtěl bych poprosit o radu s řešením zadaného úkolu, asi k tomu nepřistupuji správně. Děkuji.
Zadání:
Dokažte, že operátor $A = -\frac{d^2}{dx^2}$ nemá na $V = \{f: \langle -1, 1 \rangle \to \mathbb{R}: f \text{ je spojitá na } \langle -1, 1 \rangle, \text{ dvakrát diferencovatelná na } (0,1), f(-1) = f(0) = 0\}$ nekladná vlastní čísla.
"Řešení":
Musí tedy platit $A(f) = \lambda f$, kde $f$ je funkce z $V$a $\lambda$ vlastní čísla. Dostanu tedy ODR $-f'' - \lambda f = 0, f(-1) = f(0) = 0$. Obecné řešení rovnice je $c_1cos(\sqrt{\lambda} x) + c_2sin(\sqrt{\lambda} x)$ z té vyplývá že $\lambda$ musí být větší než 0 (ale co 0?). Samostatné řešení ODE je pak $f(x) = 0$, což mi asi moc nepomůže.

Offline

 

#2 28. 04. 2015 15:45

Formol
Místo: Praha
Příspěvky: 769
Pozice: krotitel mikroskopů (UHIEM 1. LF UK)
Reputace:   42 
 

Re: Vlastní čísla diferenciálního operátoru

↑ Lukexr:
Ahoj,
první nápad: V prostoru V může být funkce f(x)=0  nulový vektor. Pro volbu nulové hodnoty lambda dostaneš jako vlastní vektor nulový vektor; ten ale, pokud se nemýlím, nemůže být vlastní vektor. (K funkcionální analýze jsem se ještě neprokousal, třeba je ta úvaha zcestná...)


Доктор сказал «в морг» — значит в морг!

Offline

 

#3 28. 04. 2015 17:58

Lukexr
Příspěvky: 25
Reputace:   
 

Re: Vlastní čísla diferenciálního operátoru

↑ Formol:
To bude asi ono, díky :)

Offline

 

#4 19. 07. 2015 12:21

Sergejevicz
Příspěvky: 581
Škola: Mgr. mat. a fyz. modelování na MFF UK v r. 2014
Pozice: výpočtář
Reputace:   21 
Web
 

Re: Vlastní čísla diferenciálního operátoru

Jo. Vlastní vektor je totiž vektor nenulový.


Kopáček: Mat. anal. nejen pro fyziky, Veselý: Zákl. mat. anal., Bečvář: Lin. alg., Matfyzpress
Bican: Lin. alg. a geom., Academia

Offline

 

#5 30. 05. 2017 14:11

lenibebi
Příspěvky: 31
Škola: UHK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Vlastní čísla diferenciálního operátoru

Ahoj, řeším ten samý příklad. Jen tam máme ještě ověřit jestli je operátor hermitovský. To mi vyšlo, že ano, ale nějak nechápu jak se příjde na tu ODR. Pravděpodobně mi uniká něco strašně jednoduchýho :D

Offline

 

#6 12. 06. 2017 13:29

Formol
Místo: Praha
Příspěvky: 769
Pozice: krotitel mikroskopů (UHIEM 1. LF UK)
Reputace:   42 
 

Re: Vlastní čísla diferenciálního operátoru

↑ lenibebi:
Ahoj,
je to význam toho operátoru A. Protože A je záporně vzatá druhá derivace, je Af záporně vzatá druhá derivace f. Tedy rovnice pro určení vlastního vektoru:
$$$
Af = \lambda f
$$$

je po rozepsání operátoru:
$$$
-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\, f(x) = \lambda f(x)
$$$

A tedy máš ODE:
$$$
\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\, f(x) + \lambda f(x) = 0
$$$


Доктор сказал «в морг» — значит в морг!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson