Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 12. 05. 2015 23:24

check_drummer
Příspěvky: 2395
Reputace:   65 
 

Dvojice trojúhelníků s celočíselnými stranami

Ahoj,
najděte všechny dvojice trojúhelníků T1 T2, které mají celočíselné délky stran a přiložením T1 a T2 "k sobě" některou jejich stranou (tj. tyto strany v T1 a v T2 musí mít stejnou délku) získáte rovněž trojúhelník. Např. tento požadavek splňují trojúhelníky o stranách 15,13,7 a 13,13,1 - a po "přiložení" T1 a T2 k sobě (stranami o délce 13) získáme trojúhelník o stranách 15,8,13. (Uvedené požadavky rovněž splňují libovolné dva shodné pravoúhlé trojúhelníky s celočíselnými stranami.) Hledané dvojice T1,T2 může být vhodné nějak jednoduše popsat - např. parametricky (např. podobně jako je tomu u tzv. pythagorejských trojúhelníků - pravoúhlých trojúhelníků s celočíselnými délkami stran).


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#2 13. 05. 2015 13:55

Honzc
Příspěvky: 3693
Reputace:   208 
 

Re: Dvojice trojúhelníků s celočíselnými stranami

↑ check_drummer:
Zajímavá úloha, ale najít všechny dvojice, jak požaduješ asi nepůjde, když jich je nekonečně mnoho. (a to vynechávám dvojice shodných  P.t., které "postavíš shodnou odvěsnou k sobě)
A to dokonce i v tom případě, že zpřísníme požadavek na T1 a T2 tak, že oba musí mít alespoň jednu výšku také celočíselnou.
Takové trojúhelníky lze "konstruovat" ze dvou P.t., které mají b1=a2.
To by už možná šlo nějak "parametricky" popsat.

Offline

 

#3 13. 05. 2015 19:48

check_drummer
Příspěvky: 2395
Reputace:   65 
 

Re: Dvojice trojúhelníků s celočíselnými stranami

↑ Honzc:
Ahoj,
1) Jak víš, že jich je nekonečně mnoho? (odhlédněme od "triviálních" případů dvou shodných pravoúhlých trojúhelníků.)
2) Proč by nebylo možné je nalézt, i když by jich bylo nekonečně mnoho? Např. jak píšeš, bylo by možné je popsat parametricky (podobně jako zmiňované pythagorejské trojúhelníky).


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#4 13. 05. 2015 20:33

byk7
InQuisitor
Místo: Břeclav, Brno
Příspěvky: 4455
Škola: PřF MUNI, konzervatoř Brno
Pozice: student
Reputace:   216 
 

Re: Dvojice trojúhelníků s celočíselnými stranami

Další triviální kombinací je dvojice $(a,c/2,c/2),(b,c/2,c/2)$, kde $a=t\left|u^2-v^2\right|,b=2tuv,c=t\(u^2+v^2\)$ a $2\mid(u-v)$ nebo $2\mid t$ (slepením vznikne pravoúhlý trojúhelník).

Jinak obecněji, mějme trojúhelník $ABC$ s celočíselnými délkami stran. Na polopřímce opačné k BC uvažme bod D, $|CD|=d\in\mathbb N$.
http://forum.matematika.cz/upload3/img/2015-05/41885_forum.png
Zbývá zajistit, aby i $|AD|\in\mathbb N$, proto je jednou možnou cestou vyřešit rovnici
$x^2=b^2+d^2+d\cdot\frac{a^2+b^2-c^2}{a}$
Jestli je to nějaké zjednodušení, to nevím. :-)


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#5 14. 05. 2015 06:25 — Editoval Honzc (14. 05. 2015 10:06)

Honzc
Příspěvky: 3693
Reputace:   208 
 

Re: Dvojice trojúhelníků s celočíselnými stranami

↑ byk7:
Zdravím,
tvůj vztah $x^2=b^2+d^2+d\cdot\frac{a^2+b^2-c^2}{a}$ je vlastně zobecnění toho co jsem psal výše já, neboť já jsem požadoval, aby $a^{2}+b^{2}-c^{2}=0\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{2}$ a tedy "první trojúhelník" byl také pythagorejský.

↑ check_drummer:
Takhle nějak

Offline

 

#6 14. 05. 2015 20:23

check_drummer
Příspěvky: 2395
Reputace:   65 
 

Re: Dvojice trojúhelníků s celočíselnými stranami

↑ Honzc:
Ahoj,
a jak víš, že existuje nekonečně mnoho dvojic prvního tvaru?
Jak víš, že z nich je vždy možné sestrojit další dvojici? Není těch 10 jednotek (úsečka dělící velký obdélník) jen náhoda?


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#7 15. 05. 2015 09:51 — Editoval Honzc (16. 05. 2015 11:03)

Honzc
Příspěvky: 3693
Reputace:   208 
 

Re: Dvojice trojúhelníků s celočíselnými stranami

↑ check_drummer:
Zdravím,
k tvé otázce.
"Není těch 10 jednotek (úsečka dělící velký obdélník) jen náhoda?"
Náhoda to není. To je jenom odzrcadlená "levá" přepona P.t. 6,8,10 podle "osy délky 8" (ten tvar je udělán jenom proto, že takto dostaneme 2 trojúhelníky z nichž žádný není pravoúhlý)
A teď proč si myslím, že takových řešení je nekonečně mnoho.
Tvrzení, které se asi nemusí dokazovat: Máme-li nějaký P.t., pak i jeho "násobek" libovolným přirozeným číslem je P.t. (např. 3,4,5/6,8,10)
1.Vezmu tedy nejznámější (nejmenší) P.t. 3,4,5
2.Hledám takový P.t. aby 3xk=b1 (např. hned druhý 5,12,13 - 4x3=12)
   Mám dvojici 5,12,13/12,16,20    (4x(3,4,5))
             nebo 7,24,25/24,32,40
             nebo 8,15,17/15,20,25
             nebo 10,24,26/24,32,40
             nebo 11,60,61/60,80,100
             nebo 13,84,85/84,112,140
             nebo 14,48,50/48,64,80
             nebo 16,30,34/30,40,50
             nebo 16,63,65/63,84,105
   atd.,atd.
Vím, že to není důkaz o nekonečném počtu řešení, ale nejspíš to tak bude
A to jsem za "základ" vzal pouze první P.t.

Offline

 

#8 15. 05. 2015 17:44

check_drummer
Příspěvky: 2395
Reputace:   65 
 

Re: Dvojice trojúhelníků s celočíselnými stranami

Ahoj,
k:

Honzc napsal(a):

2.Hledám takový P.t. aby 3xk=a2 (např. hned druhý 5,12,13 - 4x3=12)

Co znamená "3xk=a2"?
Co znamená "hned druhý"? Existuje nějaké pořadí, ve kterém jsou P.t. seřazeny?

Díky


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#9 16. 05. 2015 11:02

Honzc
Příspěvky: 3693
Reputace:   208 
 

Re: Dvojice trojúhelníků s celočíselnými stranami

↑ check_drummer:
Zdar,
1. 3xk=a2 - správně mělo být 3xk=b1 - opraveno
    První P.t. má strany a1,b1,c1, druhý a2,b2,c2
    Protože jsem vzal za "základ" první (s nejmenší možnou odvěsnou) P.t tj. P.t. 3,4,5 tak abychom je mohli dát k sobě stranami (odvěsnami) b1 = a2 =3k
2. Pořadí P.t. můžeme určit např. tak, že bereme postupně P.t. s s postupně narůstající menší z odvěsen. Tedy
    3,4,5
    5,12,13
    6,8,10 (2x(3,4,5))
    7,24,25
    8,15,17
    9,12,15 (3x(3,4,5))
    10,24,26
atd.
Vidíš, že u všech řešení co jsem ti napsal v příspěvku č.7 je odvěsna b1 stejná jako odvěsna a2
Např. u dvojice 5,12,13/12,16,20  jsou to délky 12.

Offline

 

#10 18. 05. 2015 09:51 — Editoval Honzc (19. 05. 2015 06:39)

Honzc
Příspěvky: 3693
Reputace:   208 
 

Re: Dvojice trojúhelníků s celočíselnými stranami

↑ check_drummer:
Ještě ti podám důkaz, že takových dvojic trojúhelníků je nekonečně mnoho.
Jako generátor P.t lze použít např.
$a=p^{2}-q^{2},b=2pq,c=p^{2}+q^{2}, p,q\in \mathbb{N},p>q$
opravdu platí:
$a^{2}+b^{2}=(p^{2}-q^{2})^{2}+4p^{2}q^{2}=p^{4}+2p^{2}q^{2}+q^{4}=(p^{2}+q^{2})^{2}=c^{2}$
Pak abychom mohli konstruovat dvojice trojúhelníků jak požadujeme a podle toho co jsem ti napsal stačí volit
$b=2pq$ takové, aby $2pq \, \,\text{mod} \, \,3\equiv 0$.
K vyloučení řešení takových, že jsou pouze násobkem přirozeným číslem nějakého již existujícího řešení, stačí volit p prvočíslo p>3, a q=3. A protože prvočísel je nekonečně mnoho je i řešení nekonečně mnoho.
"Parametrizace" by pak mohla vypadat třeba takto:
$p>q\wedge p\vee q \, \,\text{mod} \, \,3\equiv 0\wedge p \, \,\text{mod} \, \,q\not\equiv 0$

Offline

 

#11 18. 05. 2015 10:32

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7330
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: pracující
Reputace:   362 
 

Re: Dvojice trojúhelníků s celočíselnými stranami

↑ Honzc:
Zdarec,
$c=p^2+q^2$ oprav si to


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#12 18. 05. 2015 21:43 — Editoval Brano (18. 05. 2015 22:16)

Brano
Příspěvky: 2493
Reputace:   215 
 

Re: Dvojice trojúhelníků s celočíselnými stranami

k tejto rovnici
$x^2=b^2+y^2+y\cdot\frac{a^2+b^2-c^2}{a}$
(premenoval som $d$ na $y$)

v prvom rade si treba uvedomit, ze ju mozme riesit v obore racionalnych cisel, lebo ak mame racionalnu paticu
$a,b,c,x,y$ tak ju prenasobime najmensim spolocnym menovatelom a mame celociselne riesenie - a dalsie riesenia su celociselne nasobky nasobky.

teraz pre lubovolne fixne $a,b,c$ racionalne (take, ze tvoria trojuholnik) chceme najst vsetky dvojice $x,y$ racionalnych cisel, ktora splnaju rovnicu (a to uz budeme mat uplne vsetky riesenia povodneho problemu)

rovnica sa da upravit na
$x^2-(y+p)^2=q$ kde
$p=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}$ a $q=b^2-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2}=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{4a^2}$
kedze mame skalovaciu symetriu co sme spominali hned na zaciatku,tak si mozme bez ujmy na vseovcnosti fixovat trebars $a=1$ apotom mame
$p=\frac{1+b^2-c^2}{2}$ a $q=\frac{4b^2-(1+b^2-c^2)^2}{4}$
cize
$(x-y-p)(x+y+p)=q$
takze pre lubovolny racionalny parameter $r$ mame riesnie
$x-y-p=2r$ a $x+y+p=q/(2r)$ t.j.
$x=\frac{q}{4r}+r$ a $y=\frac{q}{4r}-r-p$
takze uloha ma tri nezavisle racionalne parametre $b,c,q$ a potom po najdeni "minimalneho" riesenia este jeden celociselny skalovaci.
(este je tam symetria co vymeni tie dva trojuholniky, ale to sa da osterit tym, ze budeme ziadat $\varphi<\pi/2$) t.j. $1+b^2>c^2$ - pre $\varphi=\pi/2$ sa tomu jednoducho nevyhneme a kazde riesenie nam vyjde dvojmo. (snad len ziadat take $r$ aby $y\ge 1$).

Offline

 

#13 19. 05. 2015 09:53 — Editoval Honzc (19. 05. 2015 09:58)

Honzc
Příspěvky: 3693
Reputace:   208 
 

Re: Dvojice trojúhelníků s celočíselnými stranami

↑ check_drummer:
Tato úloha je myslím už vyřešena dokonale, tak přidám ještě její modifikaci.
Najděte dvojice rovnoramenných trojúhelníků podle obrázku takových, aby a,b,c,v byly přirozená čísla.
http://forum.matematika.cz/upload3/img/2015-05/21729_tr-tr.png
Mně se podařilo najít pouze jednu dvojici a to:
http://forum.matematika.cz/upload3/img/2015-05/21885_tr-tr1.png
Existují i nějaká další řešení?
(násobky stran již podaného řešení lib.přirozeným číslem se nepovažuje za jiné řešení)

Offline

 

#14 22. 05. 2015 18:31

check_drummer
Příspěvky: 2395
Reputace:   65 
 

Re: Dvojice trojúhelníků s celočíselnými stranami

↑ Brano:
Ahoj, pěkné - jen q závisí na b,c, takže úloha je dána nezávislými parametry b,c (a nikoli i q).
Dále je nutné volit takové r, aby bylo y>=1, ale taková y lze vždy nalézt.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson