Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 30. 05. 2015 15:17 — Editoval check_drummer (30. 05. 2015 15:17)

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

"Sporná" teorie aritmetiky

Ahoj,
z druhé Godelovy věty o neúplnosti plyne, že v teorii T aritmetiky existuje formule F s významem "teorie T je sporná" - a v T není možné dokázat ani F ani negaci F. (Resp. dle mého F nelze dokázat, pokud budeme předpokládat, že T není sporná, ale to předpokládejme, protože v opačném případě by celá aritmetika byla sporná, což by byla "katastrofa".) To ovšem znamená, že teorie T2, která vznikne přidáním k axiomům T formule F, není sporná. To je ovšem zajímavé - T2 (díky F) evidentně říká "T (a tedy i T2) je sporná" a přesto T2 sporná není.
Jak je to možné? Skoro to vypadá, že jediné východisko je, že T je sporná..


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#2 31. 05. 2015 01:38

Brano
Příspěvky: 2493
Reputace:   215 
 

Re: "Sporná" teorie aritmetiky

↑ check_drummer:
no mne sa nezda ze by nieco take vyplyvalo z druhej vety o neuplnosti - nechces to trochu rozviest?

Offline

 

#3 31. 05. 2015 23:11 — Editoval check_drummer (31. 05. 2015 23:12)

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: "Sporná" teorie aritmetiky

↑ Brano:
Základem by mohlo být tvrzení, že mám-li teorii T a pokud v T nelze dokázat negaci formule F, pak si myslím, že teorie $T \cup \{F\}$ není sporná.
A já zvolím jako T teorii aritmetiky a jako F formalizaci věty "T je sporná". Podle Godelovy druhé věty o neúplnosti nelze dokázat negaci F a tedy podle bodu výše není $T \cup \{F\}$ sporná.
A další úvahy viz můj první příspěvek.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#4 02. 10. 2015 22:38 — Editoval Wotton (02. 10. 2015 22:39)

Wotton
Logik
Místo: Plzeň
Příspěvky: 792
Reputace:   24 
 

Re: "Sporná" teorie aritmetiky

↑ check_drummer:

Ahoj,

celý problém je v tom, že směšuješ 2 druhy neúplnosti.

Jeden je ten který používáš, to znamená, že existuje model ve kterém formule je platná, a model ve kterém platná není. Pak si mohu vybrat kterou verzi přidám, a získám konzistentní teorii.

Druhý je ten o kterém mluví Goedelovo věta: formule Con(PA) (v tvém případě negace F) je sémanticky platná (pravdivá v každém modelu), ale není syntanticky dokazatelná v (Peanově) aritmetice.
Proto když přidáš F k aritmetice musíš zákonitě získat nekonzistentní teorii.

Jen poznámku. Pokud přidáš negaci F, pak sice dostaneš konzistentní teorii ve které dokážeš bezespornost aritmetiky, ale nedokážeš že tato rozšířená teorie je sama konzistentní.

Druhá poznámka: (Peanova) aritmetika je komzistentní, protože má model. Tím modelem je množina přirozených čísel.


Dva jsou tisíckrát jeden.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson