Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 16. 08. 2015 12:48

vytautas
Příspěvky: 424
Škola: MFF UK - MOM
Pozice: študent
Reputace:   13 
 

delitele jednotky

zdravím

mám úlohu : "Ukážte, že prvok $c \in \mathbb{Z}_n$ , ktorý nie je deliteľom jednotky, je deliteľom nuly.

moje riešenie.
ak je prvok deliteľom jednotky v $\mathbb{Z}_n$ tak existuje riešenie rovnice $ax \equiv 1 \mod n$ , čiže $|gcd(a,n)|=1$
keď prvok nie je deliteľom jednotky, tak $|gcd(a,n)| > 2$ a to znamená, že je deliteľom nuly v $\mathbb{Z}_n$.

je to správne ?

ďakujem .


Per aspera ad astra

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) vytautas)

#2 16. 08. 2015 22:10

vytautas
Příspěvky: 424
Škola: MFF UK - MOM
Pozice: študent
Reputace:   13 
 

Re: delitele jednotky

v podstate by úloha mala byť ekvivalentná s tvrdením

ak $ \not \exists x ; ax \equiv 1 \mod n \Rightarrow \exists y; ay \equiv 0 \mod n$

ako v prvom príspevku, x neexistuje práve vtedy, keď $gcd(a,n) \nmid 1 $ a tak musí byť $gcd(a,n) > 1$ (ak beriem, že gcd je len kladné)

keď tak teraz rozmýšľam, ako presnejšie dokázať, že ak $gcd(a,n)=d$ a $d\not =1 $ tak potom je $a$ deliteľom nuly, že existuje $y$ také,čiže $ay \equiv 0 \mod n$

ďakujem .


Per aspera ad astra

Offline

 

#3 17. 08. 2015 14:05 — Editoval vanok (18. 08. 2015 09:11)

vanok
Příspěvky: 12337
Reputace:   699 
 

Re: delitele jednotky

[img][/img]Ahoj ↑ vytautas:,
Ide o pekne cvicenie, vlasnost ktoru pripomina, je zial akokeby zabudnuta vela studentamy.
Vidim ze si sa snazil preformulovat tvoje cvicenie. Mas  tam au dobre myslienky....

Ukazem ti, trochu  viac ako to co je formulovane v tvojom cviceni.

$\mathbb{Z}_n$ je disjonktna unia mnoziny jeho delitelov jednotky a mnoziny jeho delitelov nuly.
Naviac
$\bar{x} \in \mathbb{Z}_n$ je delitelom jednotky v $ \mathbb{Z}_n$ len a len ak  $(x,n)=1$
$\bar{x} \in \mathbb{Z}_n$ je delitel nuly v $ \mathbb{Z}_n$ len a len ak  $(x,n)>1$


Nech $ d=(x,n)$.
Ak $\bar{x}$ je delitelom jednotky a $\bar{y}=(\bar{x})^{-1}$, tak mame $ xy=1 \mod n$ , a preto existuje $k \in \mathbb{Z}$ take, ze $xy-1=kn$. Co da $d|xy-kn=1$ a preto $d=1$.
Reciprocne, nech d=1. Bachet-ova veta nam zarucuje, ze existuje $u,v \in \mathbb{Z}$ take, ze $xu+vn=1$. To nam da $xu=1 \mod n$ a preto $\bar{x}$ je delitelom jednotky v $\mathbb{Z}_n$.
Edit. Oprava podla beznej pouzivanej sk terminologie

Porozmyslaj o tejto casti dokazu, kde som vyuzil uzitocnu Bachet-ovu vetu.
Zvysok to bude  pokracovanie. ( ale nic ti nebrani trochu o tom porozmyslat)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 17. 08. 2015 21:17 — Editoval Brano (17. 08. 2015 21:30)

Brano
Příspěvky: 2493
Reputace:   215 
 

Re: delitele jednotky

↑ vytautas:

tu mas v podstate "chybu" v dokaze (chybu v zmysle, ze ti tam chyba argumentacia)
totizto vyzera to, ze tvrdis : "a je delitel jednotky" implikuje "(a,n)=1" a teda "a nie je delitel jednotky" implikuje "(a,n)>2"  ale takto implikacia nefunguje - v prvom tvrdeni by si potreboval presne opacnu implikaciu
(ktora v skutocnosti plati - pozri  Bezoutovu identitu)

Alternativny dokaz:
Nech $a\in Z_n$ uvazujme vsetky $a\cdot k$ pre $k=1,2,...,n-1$ - tento sucin ale moze nadobudat iba hodnoty $0,1,2,...,n-1$  - lebo sme v $Z_n$. Ak je medzi nimi $1$ tak je $a$ delitelom jednotky; ak nie je, tak bud je medzi nimi nula a sme hotovi, alebo sa tam jedna z moznych hodnot nachadza (aspon) dva krat a teda existuju take $k,l$, $k>l$, ze plati $a\cdot k=a\cdot l$ avsak potom $a\cdot(k-l)=0$ cize $a$ je delitelom nuly.

Offline

 

#5 17. 08. 2015 22:05

vytautas
Příspěvky: 424
Škola: MFF UK - MOM
Pozice: študent
Reputace:   13 
 

Re: delitele jednotky

↑ vanok:

ďakujem za nápad a riešenie. lenže ako na druhú časť ? podobný postup nebude fungovať resp. neviem ho použiť.

↑ Brano:

chápem to a ďakujem za riešenie .


Per aspera ad astra

Offline

 

#6 17. 08. 2015 23:30 — Editoval vanok (18. 08. 2015 09:13)

vanok
Příspěvky: 12337
Reputace:   699 
 

Re: delitele jednotky

Tak ta posledna cast dokazu.
Ak d>1, mame $x=dx';n=dn'$. Potom  $ n'x=n'dx'=dn'x'=nx'=0 \mod n$ , co znamena, ze $\bar{x}$ je delitel nuly v $\mathbb{Z}_n$.
Reciprocne delitel nuly nemoze byt delitelom  jednotky a tak $d>1$.

Poznamka. Delitel jednotky, je vlastne  inverzibiliny ( regularny) prvok (ktore generuju grupu inverzibilnych prvkov, o ktorej sa da dokazat, ze ma $\varphi (n) $ prvkov, $\varphi $ je Euler-ova funkcia).
Poznamenajme este, ze pojem unité = "jednotka" sa pouziva vo fr., en. namiesto pojmu delitel jednotky.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 18. 08. 2015 00:17

vytautas
Příspěvky: 424
Škola: MFF UK - MOM
Pozice: študent
Reputace:   13 
 

Re: delitele jednotky

↑ vanok:

otázka, prečo práve $n'x$ ? či len preto, že  si môžem zvoliť čísla $n'$a$x$ a vedie to k riešeniu ?

$x=dx';n=dn'$ toto mi napadlo, len som nevedel, čo s tým ďalej .

ďakujem .


Per aspera ad astra

Offline

 

#8 18. 08. 2015 01:33

vanok
Příspěvky: 12337
Reputace:   699 
 

Re: delitele jednotky

↑ vytautas:,
Vies ze $d>1$
A chces ukazat, ze $\bar{x}$ je delitelom nuly.
$n'x$ je dobry kandidat na dokaz prave preto ze $x=dx';n=dn'$...
Dobre pokracovanie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 18. 08. 2015 11:02

vytautas
Příspěvky: 424
Škola: MFF UK - MOM
Pozice: študent
Reputace:   13 
 

Re: delitele jednotky

↑ vanok:

jasné, chápem, ďakujem.


Per aspera ad astra

Offline

 

#10 18. 08. 2015 22:58 — Editoval vanok (19. 08. 2015 14:47)

vanok
Příspěvky: 12337
Reputace:   699 
 

Re: delitele jednotky

↑ vytautas:
Doplnok.
Upresnim  este  co som napisal  tu ↑ vanok: v poznamke.
Iste si teraz schopny dokazat toto
Nech $n \in \mathbb{N}^*, n \ge2$, $ s \in \mathbb{Z}$, nasledujuce vlasnosti su ekvivalentne
1) $(s,n)=1$
2) $\bar{s}$ je generator grupy $(\mathbb{Z}_n,+)$
3)$\bar{s}\in (\mathbb{Z}_n)^*$ co je grupa intervertibilnych prvkov okruhu $\mathbb{Z}_n$


Tento vysledok je dolezity co sa tyka studia automorfizmov groupy $\mathbb{Z}_n$ co umozni napr. vysetrenie urcitych semi-direktnych sucinov grup.

No vsak to iste prehlbis neskor, ak budes pokracovat vo studiu algebry.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson