Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 13. 10. 2015 21:38 — Editoval dash (13. 10. 2015 21:40)

dash
Zelenáč
Příspěvky: 14
Reputace:   
 

Determinant (n-1)x(n-1) matice

Potreboval by som odvodiť obecný vzťah pre výpočet determinantu takejto matice $M^{(n-1) \times (n-1)}$:

$\begin{bmatrix}
    n-1 & -1 & \dots & -1 \\
    -1& n-1 & \dots & -1 \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    -1 & -1 & \dots & n-1 \\
    \end{bmatrix}$

Dočítal som sa, že výsledok sa dá vyjadriť ako súčin vlastných čísel $1$ s multiplicitou $1$ a $n$ s multiplicitou $(n-2)$, teda niečo ako  $det(M)=\prod_{i=1}^{n-1} \lambda_i= n^{n-2}$. (Cayley's formula)

Vie mi niekto poradiť, ako sme získali hodnoty a multiplicity tých vlastných čísel?

Ďakujem.

Offline

 

#2 13. 10. 2015 22:02

Xellos
Příspěvky: 519
Škola: MFF CUNI, Bc. (13-16)
Reputace:   34 
 

Re: Determinant (n-1)x(n-1) matice

Ja by som to riesil takto:

Odpocitajme nejaky riadok od nejakeho ineho ($i$-ty od $j$-teho); vieme ze to nemeni determinant. Ich rozdiel je riadok, ktory ma v $i$-tom stlpci $n$, v $j$-tom $-n$ a vsade inde nuly.

Odratame teda posledny riadok od zvysnych a dostaneme maticu ktora ma v kazdom riadku okrem posledneho na diagonale $n$ a v poslednom stlpci $-n$. Vydelme kazdy z tychto riadkov $n$, cim determinant vydelime $n^{n-2}$. Teraz v kazdom riadku okrem posledneho je na diagonale 1 a v poslednom stlpci -1.

Priratajme vsetky riadky k poslednemu. Tym sa -1tky v nom vynuluju a k $n-1$ sa prirata $-(n-2)$, dostaneme maticu ktora ma v poslednom riadku len jedine nenulove cislo (1tku v poslednom stlpci). Tento riadok priratame k zvysnym a mame jednotkovu maticu, ktorej determinant je 1 = determinant povodnej matice vydeleny $n^{n-2}$. Determinant povodnej matice je teda $n^{n-2}$.

Offline

 

#3 13. 10. 2015 22:25

dash
Zelenáč
Příspěvky: 14
Reputace:   
 

Re: Determinant (n-1)x(n-1) matice

Super, to je presne ono. Dakujem.

Offline

 

#4 13. 10. 2015 22:42 — Editoval vanok (14. 10. 2015 02:05)

vanok
Příspěvky: 12337
Reputace:   699 
 

Re: Determinant (n-1)x(n-1) matice

Ahoj,
Poznamka 1
Najprv trochu podobna  situacia, kde ide o matice typu (n,n) :  vtedy lahko konstatujes, ze sucet stlpcov matice je nulovy  vektor.
Tak aj determinant je 0.
Inac vtedy, sa da vidiet, napr. pre n=4, mas trojite vlastne cislo 4, a jednoduche vlastne cislo 0.
Podobna vlasnost plait pre ine n.
Dokaz si to,  ak ta to zaujima.
Poznamka 2:
Co sa tyka tvojej matice, su aj ine metody.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 15. 10. 2015 22:00 — Editoval vanok (15. 10. 2015 22:01)

vanok
Příspěvky: 12337
Reputace:   699 
 

Re: Determinant (n-1)x(n-1) matice

Taka jedna z method co sa da pouzit na najdenie daneho determinantu, je vysetrenie determinantu
$\begin{bmatrix}
    a_1+x& x & \dots & x \\
    x&a_2+ x & \dots & x \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    x & x & \dots & a_{n-1}+x \\
    \end{bmatrix}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson