Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 10. 2015 21:27

xstudentíkx
Příspěvky: 935
Škola: SŠ, 2013-2017
Pozice: student
Reputace:   26 
 

je množina těleso?

Pěkný večer,

nejsem si jistá jedné věci týkající se těles.

Mějme množinu $\{a+b\sqrt[3]{2}:a,b\in \mathbb{Q}\}$ a mám rozhodnout zda se jedná o těleso.

jako první jsem řešila uzavřenost na násobení a z toho mám: $(a+b\sqrt[3]{2})(c+d\sqrt[3]{2})=(ac+bd\sqrt[3]{4})+(ad+bc)\sqrt[3]{2}$ lze tedy říci, že pokud $a,b,c,d\in \mathbb{Q}$, potom $(ac+bd\sqrt[3]{4}) $ není racionální a $(ad+bc)$ je racionální? Z čehož plyne, že $(a+b\sqrt[3]{2})(c+d\sqrt[3]{2})$ není racionální a tedy se nejedná o těleso?

Pokud bych však měla $\{a+b\sqrt[]{2}:a,b\in \mathbb{Q}\}$ potom by uzavřenost na násobení platila.

Mám trochu problém s pochopením role toho iracionálního čísla, už jsem to tu na fóru hledala, ale nic z toho mi to neupřesnilo.

Offline

 

#2 15. 10. 2015 00:20 — Editoval Brano (26. 10. 2015 21:57)

Brano
Příspěvky: 2493
Reputace:   215 
 

Re: je množina těleso?

spravne sa ti zda, ze to nie je teleso, len to treba poriadnejsie dokazat

najprv, ze preco je tvoj argument "nedostatocny"  napr. taka $\sqrt[3]{2}+1\cdot\sqrt[3]{2}$ - v druhom clene je ta $1$ racionalna a prvy clen nie je racionalny - a predsa to ma spravnu formu, lebo sa to da zapisat ako $0+2\cdot\sqrt[3]{2}$

teraz ako dokazat, ze nasobenie nie je uzavrete - tu je lepsie to nerobit vseobecne ale vybrat si napr.

$\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{4}$ a chceme ukazat, ze sa neda napisat ako $a+b\sqrt[3]{2}$
predpokladaj, ze sa da; potom
$\sqrt[3]{4}=a+b\sqrt[3]{2}$ a teda
$4=a\sqrt[3]{2}+b\sqrt[3]{4}=a\sqrt[3]{2}+b(a+b\sqrt[3]{2})=ab+(a+b^2)\sqrt[3]{2}$
kedze $\sqrt[3]{2}$ je iracionalne, tak potom nutne $a=-b^2$ a $ab=4$, cize $-b^3=4$ a teda $b=-\sqrt[3]{4}$ co nie je racionalne a to je spor.

EDIT: mam tu chybu - malo to byt $2=a\sqrt[3]{2}+b\sqrt[3]{4}=...$ co nakoniec da $b=-\sqrt[3]{2}$ - cize pointa argumentu ostane ta ista

Offline

 

#3 15. 10. 2015 10:55 — Editoval vanok (15. 10. 2015 10:56)

vanok
Příspěvky: 12337
Reputace:   699 
 

Re: je množina těleso?

poznamka
Najmensie teleso, ktore obsahuje rationalne cisla a $\sqrt[3]2$ je vytvorene prvkami $a + b\sqrt [3]2 + c \sqrt[3]4$ kde a,b,c su rationalne.
Tu https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Corps_de_rupture najdes po fr zaujimave informacie, ktore ste iste videli v skole.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 15. 10. 2015 15:21 — Editoval xstudentíkx (15. 10. 2015 15:25)

xstudentíkx
Příspěvky: 935
Škola: SŠ, 2013-2017
Pozice: student
Reputace:   26 
 

Re: je množina těleso?

↑ Brano:

Děkuji, tomuto už rozumím a tento důkaz už je skutečně důkazem, na rozdíl od mého.

Ještě takové doplnění, pokud bych chtěla dokazovat inverzní prvek, mám tedy místo dokázání pomocí přímého výpočtu ($\frac{1}{a+b\sqrt[3]2{}}=\frac{a}{a^{2}-b^{2}\sqrt[3]{4}}-\frac{b}{a^{2}-b^{2}\sqrt[3]{4}}\frac{\sqrt[3]2{}}{1}$) použít tuto možnost: $\frac{1}{a+b\sqrt[3]{2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ nebo-li slovně budu se snažit dokázat, že inverzní prvek se nerovná inverznímu prvku iracionálního čísla, jestliže a nebo b není iracionální.

Ještě jak uvádíš, že lepší vybrat si nějaké číslo konkrétně a zvolil jsi $\sqrt[3]{4}$, jaké další varianty by v tomto případě šly například zvolit?

↑ vanok:

Děkuji za doplnění, škoda, že neumím francouzsky...

Offline

 

#5 15. 10. 2015 17:05 — Editoval Brano (15. 10. 2015 17:06)

Brano
Příspěvky: 2493
Reputace:   215 
 

Re: je množina těleso?

uzavrete na inverzne prvky to znova nie je a znova je najlepsie v takom pripade skumat jeden - t.j. konkretne a,b a nie vsetky

napr. $\left(\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}\right)^{-1}=\sqrt[3]{4}$ a to uz vieme, ze tam nie je.

a k tvojej druhej otazke - aky prvok vyberat. No to musis odhadnut - najlepsie je vybrat taky aby si mala co najjednoduchsi postup. mohla by si skumat aj $\sqrt[3]{2}$ a bolo by to trosicku narocnejsie alebo $1+\sqrt[3]{2}$ a bolo by to este trochu narocnejsie, ale mohla by si skusit aj napr $2$ - a tam neuspejes, lebo "akoze nahodou" inverzny prvok k dvojke je v poli.

Offline

 

#6 15. 10. 2015 17:26 — Editoval vanok (15. 10. 2015 17:27)

vanok
Příspěvky: 12337
Reputace:   699 
 

Re: je množina těleso?

Ahoj ↑ Brano:,
Alebo este jednoduchsie,  vyuzi moju poznamku ↑ vanok:
Cize napr. mozes vypocitat $(a + b\sqrt [3]2 + c \sqrt[3]4)(a' + b'\sqrt [3]2 + c' \sqrt[3]4)$ a predpokladat ze druhy prvok je inverzny prveho a tak ten sucin je 1...atd


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 15. 10. 2015 18:44

xstudentíkx
Příspěvky: 935
Škola: SŠ, 2013-2017
Pozice: student
Reputace:   26 
 

Re: je množina těleso?

↑ Brano:

Dobře, tak teď už je mi to jasnější. Budu tedy volit konkrétní hodnoty. Trochu jsem se inspirovala tímto řešením:
http://www.imagehosting.cz/thumbs/tleso.png
(stačí rozkliknout)

Offline

 

#8 15. 10. 2015 20:35 — Editoval Sherlock (15. 10. 2015 22:26)

Sherlock
Příspěvky: 844
Škola: PřF MUNI
Pozice: student
Reputace:   32 
 

Re: je množina těleso?

↑ Brano:

Zdravím, mám dotaz ohledně uzavřenosti násobení: Kde je psáno, že naše množina musí být podmnožinou racionálních čísel?
Nemělo by se spíš dokázat, že $(a+b\sqrt[3]{2})(c+d\sqrt[3]{2})\not \in \{a+b\sqrt[3]{2}:a,b\in \mathbb{Q}\}$ ?

Offline

 

#9 16. 10. 2015 11:20 — Editoval Brano (16. 10. 2015 12:57)

Brano
Příspěvky: 2493
Reputace:   215 
 

Re: je množina těleso?

Sherlock napsal(a):

↑ Brano:

Zdravím, mám dotaz ohledně uzavřenosti násobení: Kde je psáno, že naše množina musí být podmnožinou racionálních čísel?

a kde to podla teba pozadujem?

Sherlock napsal(a):

↑ Brano:
Nemělo by se spíš dokázat, že $(a+b\sqrt[3]{2})(c+d\sqrt[3]{2})\not \in \{a+b\sqrt[3]{2}:a,b\in \mathbb{Q}\}$ ?

to som presne dokazoval - tak pripadne sa spytaj presnejsie comu nerozumies

Offline

 

#10 16. 10. 2015 11:23

Brano
Příspěvky: 2493
Reputace:   215 
 

Re: je množina těleso?

↑ xstudentíkx:
ved fajn, len tam to vyjde, ze to axiomy pola splna, takze ich dokazujes a teda to treba pre vsetky a,b
ked to vsak nesplna, tak staci najst jeden kontapriklad - nemusis hladat vsetky

Offline

 

#11 16. 10. 2015 18:42

xstudentíkx
Příspěvky: 935
Škola: SŠ, 2013-2017
Pozice: student
Reputace:   26 
 

Re: je množina těleso?

↑ Brano:

Jo, tak to skutečně je, už vím jak na to a příklady mi vychází, ještě jednou díky :)

Offline

 

#12 17. 10. 2015 10:34 — Editoval vanok (17. 10. 2015 23:07)

vanok
Příspěvky: 12337
Reputace:   699 
 

Re: je množina těleso?

Pozdravujem,
Pre informaciu $(a + b\sqrt [3]2 + c \sqrt[3]4)(a' + b'\sqrt [3]2 + c' \sqrt[3]4)=1$ da
$a'=\frac {a^2-2bc} D,b'=\frac{2c^2-ab}D, c'=\frac {b^2-ac}D$, kde $D=a ^3+2b^3+4c^3-6abc$ (Kde $D$ nie je nula ak aspon jedno z $a,b,c$nie je nula).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#13 17. 10. 2015 23:16

vanok
Příspěvky: 12337
Reputace:   699 
 

Re: je množina těleso?

Technicka poznamka.
Vdaka poznamke ↑ vanok:, ako aj ↑ vanok:, mozte dat odpovede, ktore mozu zovseobecnit  polozene otazky v cviceni.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#14 26. 10. 2015 21:59

Brano
Příspěvky: 2493
Reputace:   215 
 

Re: je množina těleso?

↑ Brano:
mal som v tomto prispevku numericku chybu, ale na priebehu dokazu to moc nezmeni

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson