Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 16. 12. 2015 21:17

check_drummer
Příspěvky: 2401
Reputace:   65 
 

Operátor "podobný" derivaci

Ahoj.
(Předem upozorňuji, že některé pojmy níže jsou formulovány vágně, přesto věřím, že je zřejmé, co jsem jimi chtěl říci.) Zkoumal jsem, zda existuje nějaký operátor E, který by měl podobně "pěkné" vlastnosti jako operátor derivace D. Omezme se např. jen na polynomy s (řekněme) reálnými koeficienty (označme množinu těchto polynomů jako P), tj. D (a E) chápeme jako "funkci" z P do P. Operátor D má vhodné vlastnosti - lze pro f,g z P, c reálné, vyjádřit D(cf), D(f+g) a D(f.g) pomocí f,g,D(f),D(g) (konkrétně D(cf)=c.D(f), D(f+g)=D(f)+D(g) a D(f.g)=D(f).g+f.D(g)).

Hledejme operátor E s "podobnými" vlastnostmi jako D, tj. že E(cf), E(f+g) a E(f.g) lze vyjádřit pomocí f,g,E(f),E(g) (případně pomocí nějakých dalších jednoduchých funkcí závisejících na f,g). Operátor E by měl být "netriviální" a ani by se nemělo jednat o triviální modificaci D (např. E(f):=c.D(f) pro pevné číslo c je triviální modifikace D, rovněž nepovolíme volit E(f)=D(D(f)), ani nepovolíme E=D^{-1} (tj. E je operátor "integrace") apod.) Rovněž by se vztahu pro E(f+g) a E(f.g) neměla explicitně vyskytovat neurčitá x - tím eliminujeme "jednoduchá" E např. tvaru E(f):=x.f (a potom je E(f.g)=E(f).E(g)/x, čemuž se chceme vyhnout) - nebo alespoň povolme taková E, kde se x nevyskytuje ani v E(f) ani v E(f.g) (E(f+g), apod.) ve jmenovateli (tj. např. aby výaz vyjadřující E(f) byl polynomem v f,x a rovněž aby i výrazy vyjadřující E(f+g),E(f.g), apod. byly polynomy v E(f),E(g),x) - ale raději se těmto případům s výskytem x zcela vyhněme.

Pokoušel jsem se tedy hledat E "výrazně odlišný" od D, ale bez úspěchu. Např. hledejme E tak (ale není to nutné), aby se stupeň polynomu E(f) lišil (nejvýše) o 1 od stupně polynomu f. Máte nějaký nápad jak E sestrojit? (Znovu upozorňuji, že požadavky jsou formulovány poněkud vágně, ale snad je jasné, co jsem chtěl říci.) (Např. jsem zkoušel volit E tak, že bude $E(x^n)=n.x^{n-1}+n.x^{n-2}$ - ten je ovšem rovněž příliš "podobný" D.)


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#2 16. 12. 2015 22:41

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1760
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Operátor "podobný" derivaci

↑ check_drummer:

Nabízí se použít místo derivace operátor diference, tj. $E(f(x))=f(x+1)-f(x)$. I když i zde je podobnost s klasickou derivací.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#3 17. 12. 2015 00:10

check_drummer
Příspěvky: 2401
Reputace:   65 
 

Re: Operátor "podobný" derivaci

↑ Pavel:
A podaří se potom vyjádřit E(f.g) bez odkazu na x? (Tj. jen pomocí f,g,E(f),E(g) bez použití např. E(f(x+1)), apod.)


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#4 17. 12. 2015 00:20

Brano
Příspěvky: 2493
Reputace:   215 
 

Re: Operátor "podobný" derivaci

obvykle ked sa hovori o nejakej zovseobecnenej derivacii, tak sa ziadaju tieto vlastnosti

1) $D(f+g)=D(f)+D(g)$
2) $D(f g)=fD(g)+D(f)g$
3) $D(c)=0$ pre konstantu $c$
a mozno este $D(x)=1$ kde tym x-om myslim identicku funkciu
preblem je ze na polynomoch to je uz dostatok vlastnosti na jednoznacne opisanie znmej derivacie
ale nejakym prirodzenym zovseobecnenim by mohla byt prave diferencia co Pavel spomina
s vlastnostami 1) a 3) by som moc nebabral - tak nam ostava 2)
skus preskumat co vsetko by ti dalo keby si mal
$D(fg)=K(f)D(g)+D(f)K(g)$ pricom by si ziadal $K(c)=c$ pre konstanty a teda aj klasicke $D(x)=1$

Jedna moznost je teda ta diferencia $D(f)=f(x+1)-f(x)$ a $K(f)=[f(x+1)+f(x)]/2$ dalsia je trivialne derivacia; kde $K(f)=f$.

Offline

 

#5 17. 12. 2015 00:30

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1760
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Operátor "podobný" derivaci

↑ check_drummer:

Ano, podaří:

$
E(f\cdot g)=E(f)\cdot g+f\cdot E(g)+E(f)\cdot E(g)
$


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#6 17. 12. 2015 00:32 — Editoval check_drummer (18. 12. 2015 16:56)

check_drummer
Příspěvky: 2401
Reputace:   65 
 

Re: Operátor "podobný" derivaci

↑ Brano:
Ahoj, já však netrvám na tom, aby šlo o derivaci (ať už zobecněnou, modifikovanou, apod.) - já hledám pouze operátor E (bez dalšího významu), pro který lze snadno vyjádřit E(f+g),E(f.g), jak o tom píšu výše. Tedy jde o zcela abstraktní objekt, ale i přesto, že nemám konkrétní požadavky na výraz vyjadřující E(f+g),E(f.g) (jen to, aby bylo možné je vyjádřit pomocí f,g,E(f),E(g) - nejlépe jako polynom v těchto veličinách), tak se mi takový E nedaří nalézt.

Teď mě napadlo, jesli by nebylo možné volit E tak, že obrátím pořadí koeficientů, tj. ai v f bude a(n-i) v E(f), zkusím to promyslet. (I když pak je E až zas moc symetrický :-)) A naví by se to dalo použít jen na polynomy do stupně nejvýše n, takže se vlastně nejedná přsně vzato o obrácení koeficientů, ale může jít i o zvýšení stupně...
Edit: je to špatně, součin nebude splňovat podmínky kladené na E.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#7 17. 12. 2015 00:38

check_drummer
Příspěvky: 2401
Reputace:   65 
 

Re: Operátor "podobný" derivaci

↑ Pavel:
E(f).E(g) asi odpovídá členu druhého řádu, který u běžné derivace vymizí, že?...
No ale i tak ten operátor příliš připomíná derivaci, i když zas ne úplně...
Akorát potom asi nebude vztah pro $E(f^n)$ tak hezký jako u derivace, že? - u té je to $D(f^n)=n.f^{n-1}.D(f)$ (Dokázat lze i formálně, nikoli odkazem na derivaci složené funkce.)


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#8 10. 02. 2016 22:21

vanok
Příspěvky: 12337
Reputace:   699 
 

Re: Operátor "podobný" derivaci


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson