Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 01. 2016 22:18

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Provaz

:) Něco pro lidi ze základní školy.

Máme pomeranč. Ten kolem průměru omotáme provázkem.
Provázkem také omotáme celou zeměkouli (v tomto případě koule) kolem průměru.
Nyní oba provázky prodloužíme o 1 metr a tím pádem vznikne mezera mezi pomerančem a provázkem (provázek bude stále kružnice se středem ve středu pomeranče/zeměkoule)

Otázka je, jaký bude rozdíl mezi mezerou mezi pomerančem a provázkem a zeměkoulí a provázkem.


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#2 14. 01. 2016 22:33

lucash
Příspěvky: 38
Škola: KDF-MFF
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Provaz

↑ Freedy:
Pro zakladni skolu bych otazku formuloval trochu jinak.
Napriklad bych se zeptal, jestli pod provazkem proleze mys.
Je to daleko nazornejsi na predstavu..
(Existuje jeste podobna, ale ta uz je obtiznosti pro vejsku; kdyz se provaz zvedne pouze na jednom miste, proleze zirafa? )

Offline

 

#3 15. 01. 2016 12:28

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Provaz

↑ lucash:

Kdyby jenom žirafa, i Petřínská rozhledna se pod provaz bez problému vejde.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#4 16. 01. 2016 18:50

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Provaz

Pavel napsal(a):

↑ lucash:

Kdyby jenom žirafa, i Petřínská rozhledna se pod provaz bez problému vejde.

Ahoj, jak to? Resp. pochopil jsem zadání úlohy, že prodloužíme provaz o 1m a zvedneme jej na jednom místě?


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#5 16. 01. 2016 18:55

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Provaz

↑ check_drummer:

Ano, taky jsem se divil, ale vychází mi to opravdu tak. Chystám ukázat své řešení.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#6 16. 01. 2016 22:01

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Provaz

↑ Pavel:
Aha, asi budeme musel zvolit tečnu k povrchu Země.. ale i tak je to překvapivé. na druhou stranu, ona je země křivá "dovnitř" (vzhledem k té tečně) a ta křivost se tedy musí kompenzovat dostatečnou vzdáleností od Země.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#7 16. 01. 2016 23:58 — Editoval Pavel (17. 01. 2016 00:05)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Provaz

Modelujme Zemi jako kružnici $k$ se středem $S$ ve středu Země a poloměrem $r=6378\ \text{km}$. Zvedneme-li provaz pouze na jednom místě, pak po jeho napnutí vznikne lomená čára, jejíž obě části jsou tečnami ke kružnici, viz obrázek níže.

http://forum.matematika.cz/upload3/img/2016-01/83402_provaz.png

Úkolem je zjistit délku úsečky $VZ$.

Trojúhelníky $\triangle SAV$ a $\triangle SBV$ jsou shodné a navíc pravoúhlé. Proto platí

$
|AV|=|BV|&=r\tan\left(\frac{\alpha}2\right)\\[.5\baselineskip]
|SV|&=\frac{r}{\cos\left(\frac{\alpha}2\right)}
$

Proto $\color{blue}{|VZ|=\frac{r}{\cos\left(\frac{\alpha}2\right)}-r}$.

Délka $d$ prodlouženého lana o 1m je dána vztahem $d=2\pi r+\frac 1{1000}$. Na druhé straně lze tuto délku určit jako součet délky konvexního oblouku $AB$ (tj. toho delšího), délky úsečky $AV$ a délky úsečky $BV$, tj.

$
d=2\pi r-\alpha r+2r\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right).
$

Dostáváme rovnici s neznámou $\alpha$:

$
2\pi r-\alpha r+2r\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)&=2\pi r+\frac 1{1000}\\
2r\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\alpha r&=\frac 1{1000}
$

Bohužel rovnice je analyticky neřešitelná. Prostřednictvím programu Mathematica v 10.3.1.0 jsem určil její přibližné řešení:

$
\alpha\approx 0{,}012345159462941015133
$

Dosazením do modrého vztahu tak získáme přiblížnou výšku napnutého provazu v bodě uchopení nad zemským povrchem, tj.

$
\boldsymbol{\color{blue}{|VZ|\approx 0{,}1215051905\ \text{km}=121{,}5051905\ \text{m}.}}
$

PS. Místa, kde se provaz začne od země zvedat, tj. vzdálenost bodů A a B, jsou od sebe vzdálena ca o 78,737 km


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#8 17. 01. 2016 08:56 — Editoval Honzc (19. 01. 2016 06:08)

Honzc
Příspěvky: 3666
Reputace:   208 
 

Re: Provaz

↑ Freedy:
Kdysi jsem řešil podobnou úlohu jako ↑ Pavel: pouze trochu modifikovanou.
Na zeměkouli položme trubku o průměru 3m. (bylo to voleno tak,aby jí prošel slon)
Otázka: o kolik musíme prodloužit obvod zeměkoule, aby provaz obepínal zeměkouli a položenou trubku?
Mám někde řešení, ale teď ho nemohu najít (snad ho zítra najdu-dnes se mi řešit znovu nechce), ale pokud mne paměť neklame pak řešením bylo něco kolem 3-4mm.

Jinak původní úloha je zcela triviální:
původní obvod:$o=2\pi r$
nový obvod (s prodloužením): $o_{1}=2\pi (r+\triangle r)$ a také $o_{1}=2\pi r+L$ kde $L$ je prodloužení
Pak $\triangle r=\frac{L}{2\pi }$
Protože (jak vidno) $\triangle r$ nezávisí na poloměru kružnice, je mezera u všech kružnic stejná, závislá pouze na prodloužení $L$

Pzn.: Na tuto úlohu jsem kdysi na vojně (cca před 35-ti lety) vyhrál litr vína (podotýkám, že na pokoji byli všichni spolubydlící vysokoškoláci a nikdo z nich mi nevěřil, že to tak je. Dokonce jsme dělali pokus s provázkem, kdy r=0 a pak s uhlákem)

Po editaci: Řešení slon.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson