Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 02. 2016 20:46

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Limitny maraton

Pozdravujem,
Casto vidime na tomto fore tazkosti s riesenim cviceni tykajucich sa klasickych limit.
Tak tu navrhujem  riesit limity, ktore ste mohli stretnut pri roznych skuskach.
Pozor cakam tu na dokonale riesenia takych cviceni. Tak aby citatel po ich citani uz nemal ziadne otazky.
Pripominam, ze na vela forach, princip maratonu je, ze posledny riesitel navrhne nove cvicenie.
Tak cvicenie 1
$\lim_{x\to 0^+}(\sqrt x . ln(tan x))=$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 17. 02. 2016 15:23

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Limitny maraton

Riesenie cvicenia 1.
Pre dostatocne male ostro kladne x mame
$\ln \tan x=\ln x+\ln (\frac {\sin x}{x})-\ln( \cos x)$.
Pretoze ( dobre vieme, ze ) $\lim_{x\to 0} \frac {\sin x}{x}=1$ ako aj $\lim_{x\to 0} \cos x=1$
Mame $\lim_{x\to 0} \ln (\frac {\sin x}{x})=0$ a tiez $\lim_{x\to 0} \ln (\cos x)=0$
Co da pochopitelne $\lim_{x\to 0} \sqrt x \ln (\frac {\sin x}{x})=0$ a tiez $\lim_{x\to 0}\sqrt x \ln (\cos x)=0$ .
Na koniec pre $x>0$ je $\sqrt x\ln x=2\sqrt x \ln \sqrt x$, a ( dobre vieme, ze) $\lim_{y \to 0^+}y \ln y=0$  a tu $ \sqrt x \to 0^+$ ked $x \to  0$, co nam da $\sqrt x \ln \sqrt x \to 0$.
Predosle vysledky nam daju $\lim_{x\to 0^+}(\sqrt x . \ln(\tan x))=0$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 18. 02. 2016 13:24 — Editoval vanok (18. 02. 2016 13:26)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Limitny maraton

Akoze som riesil predosle cvicenie, tak pridavam
Cvicenie 2
$\lim_{x\to+\infty}\frac {e^{\sqrt {x^2+x}}}{e^x+1}=$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 18. 02. 2016 15:26 — Editoval vytautas (18. 02. 2016 17:35)

vytautas
Příspěvky: 424
Škola: MFF UK - MOM
Pozice: študent
Reputace:   13 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:



chyba


Per aspera ad astra

Offline

 

#5 18. 02. 2016 15:40

Jj
Příspěvky: 6417
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   489 
 

Re: Limitny maraton

↑ vytautas:

Zdravím.

Nezdá se mi, že by mělo platit

$e^{\sqrt{x^2+x}}=e^x e^{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}$,

jak je použito v prvním řádku.


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#6 18. 02. 2016 15:50 — Editoval vanok (18. 02. 2016 15:53)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Limitny maraton

↑ vytautas:
Ahoj, skus opravit tvoje riesene.
V prvej rovnosti , ( prvy riadok, citalel ) mas chybu .
Edit. Vidim ze kolega, Jj ( pozdravujem) napisal tu chybu explicitne.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 20. 02. 2016 00:23

vytautas
Příspěvky: 424
Škola: MFF UK - MOM
Pozice: študent
Reputace:   13 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:

Už snáď správne riešenie.
$\lim_{x\to +\infty}\frac {e^{\sqrt {x^2 +x}}}{e^x+1 }=\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{e^x} \frac {e^{\sqrt {x^2+ x}-x}}{1 + \frac{1}{e^x}}=\lim_{x\to +\infty}\frac {e^{\sqrt {x^2 +x}-x}}{1 + \frac{1}{e^x}}$

Podľa rastovej škály $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x}=0$

Takže podľa aritmetiky limít $\lim_{x\to +\infty}\frac {e^{\sqrt {x^2 +x}-x}}{1 + \frac{1}{e^x}}=\lim_{x\to + \infty} e^{\sqrt {x^2+ x}-x} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1 +\frac{1}{e^x}} =\lim_{x\to + \infty} e^{\sqrt {x^2 + x}-x} \frac{1}{1 +0}=\lim_{x\to +\infty} e^{\sqrt {x^2 +x}-x} $

Ďalej $\lim_{x\to +\infty} e^{\sqrt {x^2 +x}-x}=\lim_{x\to +\infty} e^{\sqrt {x^2 +x}-\sqrt{x^2} \frac{\sqrt{x^2 +x} \sqrt{x^2}}{\sqrt{x^2 +x}+ \sqrt{x^2}}}=\lim_{ x \to +\infty} e^{\frac{x^2+ x-x^2}{\sqrt{x^2 +x}+ \sqrt{x^2}}}=\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{x}{x} \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{x}}+ 1}}$

Keďže $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 +\frac{1}{x}} +1}=\frac{1}{\sqrt{1+ 0} +1}=\frac{1}{2}$
Podľa vety o limite zloženej funkcie s podmienkou S ($e^y$ je spojitá na svojom def. obore, čiže aj v $\frac{1}{2}$)
Potom $\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{x}}+ 1}}=e^{\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 +\frac{1}{x}} +1}}=e^{\frac{1}{2}}$

Cvicenie 3

$\lim_{x \to 0} (\cos(x))^{-\frac{1}{x^2}}=$


Per aspera ad astra

Offline

 

#8 20. 02. 2016 12:12 — Editoval Brzls (20. 02. 2016 21:46)

Brzls
Moderátor
Příspěvky: 1033
Škola: MFF UK (15-..., Bc.)
Pozice: Student
Reputace:   66 
 

Re: Limitny maraton

↑ vytautas:



pokud správně, tak
Cvičení 4.
$\lim_{x\to0}\frac{\text{tg}x-x}{x\cdot \text{tg}x}$

Offline

 

#9 20. 02. 2016 15:12 — Editoval Bati (22. 02. 2016 08:46)

Bati
Příspěvky: 2066
Reputace:   161 
 

Re: Limitny maraton

Řešení cvičení 4:



Cvičení 5:
$\lim_{x\to0}\(\ln{\frac{{\rm e}}{1+x}}\)^{\(1+\frac1x\)^2}\(\ln{\frac{{\rm e}}{1-x}}\)^{\(1-\frac1x\)^2}=\;?$

Nápověda:

Offline

 

#10 21. 02. 2016 23:33 — Editoval Freedy (21. 02. 2016 23:52) Příspěvek uživatele Freedy byl skryt uživatelem Freedy. Důvod: -.- fail

#11 22. 02. 2016 02:15 — Editoval Brzls (22. 02. 2016 02:16)

Brzls
Moderátor
Příspěvky: 1033
Škola: MFF UK (15-..., Bc.)
Pozice: Student
Reputace:   66 
 

Re: Limitny maraton

↑ Freedy:
Neni uplně odpolední hodina a třeba jen něco přehlížím, ale neni hned v prvním řádku problém?
$(a^{x})^{2}=a^{x}\cdot a^{x}=a^{2x}\ne a^{x^{2}}$

Offline

 

#12 22. 02. 2016 09:05 Příspěvek uživatele Bati byl skryt uživatelem Bati. Důvod: Už zbytečné

#13 22. 02. 2016 10:17 — Editoval Freedy (22. 02. 2016 11:38)

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Limitny maraton

↑ Bati:
Mate pravdu, pardon, svuj postup opravim, vecer mi to asi nejak nemyslelo ;-)

Bati napsal(a):

protože $\lim_{x\to0}\frac{\ln\ln{\frac{e}{1+x}}}{x^2}$ neexistuje.

pro korekci, tuto limitu jsem tam nevyšetřoval. Ve jmenovateli bylo pouze x, nikoliv x^2.
Nicméně byla chyba již v úvodu ;) a celkem trapná, nicméně nápad již nějaký mám, ale momentálně nemám čas, večer to zkusím opravit.


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#14 23. 02. 2016 18:13

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem,
Vlakno sa rozbehlo.
Navrhujem este, aby ostalo dynamicke,  bolo by dobre, ze ak nejake cvicenie je bez dobreho riesenia, pocas 5, 6 dni, aby jeho autor dal jeho vlastne riesenie.( a ho dat aj vtedy, ak myslel na ine riesenie ako to, ktore je urobene na fore).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#15 26. 02. 2016 11:30 — Editoval Bati (26. 02. 2016 11:31)

Bati
Příspěvky: 2066
Reputace:   161 
 

Re: Limitny maraton

Protože cvičení 5 dosud nikdo nevyřešil, napíšu sem svoje řešení a počkám jestli někdo zareaguje. Nechtěl jsem to tu takhle zazdít, jen jsem chtěl vymyslet nějakou limitu, na kterou neplatí klasický finty :-)

Řešení cvičení 5:

Offline

 

#16 26. 02. 2016 12:34

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ Freedy:,
Iste vies, ze na chybach sa da vela naucit. To je skoda, ze si skryl tvoj pokus riesenia.  Kolegom mohlo byt uzitocne analyzovat tvoju chybu a potom nerobit podobne chyby pri skuskach.
Dobre pokracovanie a vela pokrokov.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#17 26. 02. 2016 21:45

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1760
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Limitny maraton

↑ Bati:

Řešení cvičení 5 s použitím klasických fint a bez použití derivací: :-)


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#18 26. 02. 2016 22:05

Bati
Příspěvky: 2066
Reputace:   161 
 

Re: Limitny maraton

↑ Pavel:
Pěkný, trochu jsem doufal, že se toho někdo chytí a dá sem elementárnější řešení :-)

Offline

 

#19 27. 02. 2016 18:24

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem, Bati, Pavel jeden z vas by mal dat cvicenie 6 ( pripadne aj cvicenie 7) aby pokracovala dynamika vlakna.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#20 01. 03. 2016 07:37

stuart clark
Příspěvky: 755
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left[\frac{\ln(x^2+3x+4)}{\ln(x^2+2x+3)}\right]^{x\ln x}$

Offline

 

#21 01. 03. 2016 18:13 — Editoval Freedy (01. 03. 2016 18:22)

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Limitny maraton

Řešení cvičení 6



Cvičení 7
$\lim_{x\to\infty }\bigg((x+a)^{1+\frac{1}{x}}-(x+1)^{1+\frac{1}{x+a}}\bigg)$, $a\in \mathbb{R}$


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#22 08. 03. 2016 10:45 — Editoval vanok (08. 03. 2016 11:40)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ Freedy:,
Akoze nikoho nezaujalo tvoje cvicenie, bolo by dobre aby si dal tvoje riesenie a tiez aj nove cvicenie take ake mohlo byt dane na nejakej skuske.
Tiez je skoda ze dvaja riesitelia po rieseni nedali ziadne cvicenie.
Dufam, ze sa toto vlakno ozivi a dynamizuje.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#23 09. 03. 2016 12:07 — Editoval Marian (09. 03. 2016 12:08)

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2402
Škola: OU (99-03,04,05-07)
Pozice: OA
Reputace:   55 
 

Re: Limitny maraton

↑ Freedy:

Nerad bych kazil radost z výpočtu úlohy, ale tato limita se již probírala na fóru a dokonce i v sekci zajímavých úloh z matematické analýzy, viz tento odkaz.

Je ovšem docela možné, že někdo přijde s jiným přístupem a rovněž vyřeší danou limitu.

Offline

 

#24 09. 03. 2016 12:31

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Limitny maraton

↑ Marian:,
Pozdravujem,
Dakujem, ze ta zaujalo toto vlakno, mozes tu dat jednu z tvojej  zasoby limit.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#25 09. 03. 2016 13:57

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem,
Pridavam jedno  cvicenie.
No len preto  aby tu ostala dynamika a aby citatelia studenty mohli sa poucit.
Ti co zatial nedali cvicenia, po rieseni predoslych cviceni, nech nevahaju.
O cviceni, co nasleduje, mozno mi poviete, ze je to trochu sadizmus, no ale na koniec je skor jednoduche.
cvicenie 8
Vysetrite limitu, ak existuje $\sqrt{x^4+2x^3}+x^2-2\sqrt{x^4+x^3}$ pre $x\to \infty$

( najdene na webe)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson