Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#26 09. 03. 2016 22:51 — Editoval Freedy (09. 03. 2016 22:54)

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Limitny maraton

↑↑ Marian:
Abych pravdu řekl, ať jsem dáte jakoukoliv limitu (až na nějaké pikantnosti), tak se určitě na nějakém fóru někdy řešila. Proto mi přijde trapné (nedůstojné), že radši hledáte, zda-li se nějaká podobná limita řešila někde jinde, namísto toho, abyste se ji sami pokusili vyřešit. Já řeším limity tak, že ji zkusím sám spočítat, né tak, že bych je vermo mocí hledal na internetu.
Toť můj názor, doufám že tím nikoho neurazím.


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#27 10. 03. 2016 07:13 — Editoval Marian (11. 03. 2016 19:07)

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2387
Škola: OU (99-03,04,05-07)
Pozice: OA
Reputace:   55 
 

Re: Limitny maraton

↑ Freedy:

Offline

 

#28 10. 03. 2016 12:52

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem ↑ Marian:,
Dakujem o tvoj zaujem o toto vlakno.
Zda sa mi, ze Tvoj odkaz je zaujimavy a moze poucit citatelov vlakna. A co je iste ze ak niekto  da ine riesenie, to nebude kopia tvojho zaujimaveho vlakna.
Tak sa mi zda, ze skryt Tvoj odkaz by bola skoda.   
Iste Freedy nam prida aj jeho riesenie, ako "autor" cvicenia.

Je trochu skoda, ze na takomto vlakne nevidime dost studentov, vsak to by mohlo idealne byt ich vlakno, kde by mohli dat ich skusenosti z ich skusok...

Dobre pokracovanie vo tvojej praci.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#29 11. 03. 2016 10:57

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Limitny maraton

Cvicenie 8
Mala pomoc.
Mozte zacat pracovat na $(\sqrt{x^4+2x^3}-\sqrt{x^4+x^3})+(x^2-\sqrt{x^4+x^3})$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#30 11. 03. 2016 12:35

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Limitny maraton

Cvičení 8
Malá pomoc II

Limitu lze vyřešit na jednom řádku. Lze ukázat, že se nejedná o nic jiného než o definiční vztah druhé derivace funkce $\sqrt{1+x}$ v bodě $x=0$.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#31 11. 03. 2016 20:53

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ Pavel:, mas pravdu, ze viac moznosti na vysetrenie danej limity.
Napr. Pouzitie rozvojov v okoly nekonecna je dalsia metoda.

Ak nikdo neda riesenia v dohladnej dobe, tak navrhujem aby sme ty a ja  dali po tyzdny nase riesenia. ( studentom to moze byt uzitocne)

Pevny week-end.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#32 21. 03. 2016 18:10 — Editoval vanok (21. 03. 2016 18:11)

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Limitny maraton

Cvicenie 8
Ako som slubil, davam tu jedno elementarne riesenie tomto cvicenia.
Poznamka, predpokladam ze x>0 pre vsetky upravy.

Tu sa mozu pouzit konjugovane vyrazy kazdej zatvorky:v
$F(x)=(\sqrt{x^4+2x^3}-\sqrt{x^4+x^3})+(x^2-\sqrt{x^4+x^3})$
A dostaneme
$\sqrt{x^4+2x^3}-\sqrt{x^4+x^3}=\frac {x^3}{\sqrt {x^4+2x^3}+\sqrt{x^4+x^3}}$
$x^2-\sqrt{x^4+x^3}=-\frac{x^3}{x^2+\sqrt {x^4+x^3}}$

Cize
$F(x)= \frac x{\sqrt {1+\frac 2x}+\sqrt {1+\frac 1x}}-\frac x {1+\sqrt{1+\frac 1x}}$
Po vyjadreni na spolocneho menovatela  $M= (\sqrt{1+\frac 2x}+\sqrt {1+\frac 1x})(1+\sqrt{1+\frac 1x})$
Dostaneme citatel $C= x(1-\sqrt {1+\frac 2x})$ ktoreho konjugovany vyraz je $C=-\frac 2{1+\sqrt {1+\frac 2x}}$
A na koniec konstatujeme, ze hladana limita je $-\frac 14$


Dufam, ze ini ucastnici odpovedia, na neukoncene riesenia cviceni, v duchu tohto vlakna, za co im vopred dakujem ( ako aj students, ktorim  cakane riesenia mozu posluzit).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#33 21. 03. 2016 21:15 — Editoval Pavel (21. 03. 2016 21:18)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Limitny maraton

$
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^4+2x^3}+x^2-2\sqrt{x^4+x^3}\right)
&=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+\frac 2x}-2\sqrt{1+\frac 1x}+1}{\frac 1{x^2}}
=\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{1+2h}-2\sqrt{1+h}+1}{h^2}\\[.5\baselineskip]
&=\left.\left(\sqrt{1+x}\right)''_+\right|_{x=0}
=\left.-\frac 1{4\sqrt{(1+x)^3}}\right|_{x=0}=-\frac 14\,.
$


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#34 22. 03. 2016 23:48 — Editoval vanok (23. 03. 2016 03:55)

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Limitny maraton

Pridam hned dalsie cvicenie, ake mozme casto vidiet na skuskach. 
( dufam ze aj kolega ↑ Pavel: prida jeho. Tiez podla duchu tohto vlakna, kolega Freedy by mal dat jeho riesenie problemu, ktory navrhol a dat dalsie cvicenie zo skusok. )
cvicenie 9
Najdite limitu  postupnosti $a_n=\frac 1n \sqrt [n]{\prod_{k=1}^n{(n+k)}}$ v $+\infty$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#35 24. 03. 2016 22:29 — Editoval Freedy (25. 03. 2016 13:17)

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj,

řešení cvičení 9



Cvičení 10
Nechť $p_i$ značí i-té prvočíslo a $\varphi \in \mathbb{N} $ pevné.
Označme
$\pi (n)=\prod_{i=1}^{n}p_i$
$\psi (n)=\sum_{i=1}^{n}p_i$
Určete následující limitu:
$\lim_{n\to\infty }\frac{\pi (n)}{p_{n+1}^{\varphi }} \cdot \frac{\psi (n)}{p_{n+\varphi}^{\varphi}}$


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#36 25. 03. 2016 19:33 — Editoval vanok (25. 03. 2016 23:39)

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ Freedy:,
cvicenie 9,
Sa da riesit aj takto.


Vyhodaje, ze netreba ani poznat Stirling-ov vzorec.

Pripominam ti, ze cakane na tvoje riesenie cvicenia 7.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#37 26. 03. 2016 17:30 — Editoval Freedy (26. 03. 2016 17:32)

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
nepřidám, kolega ↑ Marian: předvedl elegantní způsob výpočtu dané limity...
Tuto limitu jsem si částečně upravil, proto výpočet odkazem neočekávám...


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#38 27. 03. 2016 10:17

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Limitny maraton

↑ Freedy:,
Ahoj,
Ked si uz davas cvicenia zo skusok, tak nie je zbytocne dat aj tvoje studenstke riesenie. To by sa iste pacilo tvojim kolegom.
Vsak casto je viac moznosti na ich riesenie...
Tiez, pripominam, ze ak ma byt toto vlakno dynamicke je dobre aby ich autor, ak ich nikto neriesil,dal "maly navod" k ich rieseniu a po takom tyzdni ( bez reakcii) dal jeho autorske riesenie.
Na viac, moze byt uzitocne, po rieseni foristami, ze autor prida este doplnujuce riesenie, ktore moze byt uzitocne kolegom.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#39 28. 03. 2016 13:41

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Limitny maraton

Cvičení 10  HINT
Určete $\lim_{n\to\infty }\frac{\pi (n)}{p_{n+\varphi }^{2\varphi }}$
$\psi (n)$ toho na výsledné limitě moc nezmění


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#40 31. 03. 2016 07:41 — Editoval Freedy (31. 03. 2016 09:38)

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Limitny maraton

Cvičení 10 HINT
V intervalu $I=(n,2n)$ se nachází alespoň 1 prvočíslo, $\forall n\in \mathbb{N}$, $n > 1$


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#41 03. 04. 2016 23:03

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Limitny maraton

Cvičení 10 ŘEŠENÍ



Cvičení 11
Nechť
$H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ a $\varphi \in \mathbb{R}$, $\varphi >1$
Určete
$\lim_{n\to\infty }\frac{H_n}{\log_{\varphi }(n)}$


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#42 05. 04. 2016 13:20 — Editoval vanok (05. 04. 2016 13:22)

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ Freedy:,
Zaujimave krake cvicenie, ktore sa najde asi v kazdej prednaske z analyzy.( v prvom rocniku ?)
Osobne by som pridal okamzite po jeho vyrieseni (a.$H_n$ équivalentna z $\ln n$ v + nenonecne) dve otazky.
b. Ukazte, ze $\lim_{n\to +\infty} (H_n-\ln n)$ existuje ( Euler-ova konstatanta), oznacme ju $\gamma$
c.Ukazte, ze v okoli $+\infty$ mame $H_n=\ln n +\gamma  +\frac 1{2n}-\frac 1{12n^2}+o(\frac1{n^2})$

Cize ist, vdaka dalsim otazkam na  skuske tak daleko, ako je schopny dobry student...


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#43 08. 04. 2016 19:28

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Limitny maraton

Cvicenie 11 a doplnky.
Navod.
Co sa tyka otazky a. je mozne pouzit, ze
funkcia $t \mapsto \frac 1t$ pre t>0 je  klesajuca a:
$\forall k \ge 1\forall t \in [k;k+1],\frac 1{k+1} \le \frac 1t \le \frac 1 k$
integraciou nerovnosti  na $ [k;k+1]$ nerovnosti ktorych sumacia da riesenie cvicenia a. ( ako aj podstatnu cast povodneho cvicenia a.)
Co sa tyka otazky b., moze sa pouzit  najdena nerovnost    v casti a.
Riesenie otazky c. sa moze zacat vysetrenim postupnosti $u_n=H_n-\ln n- \gamma$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#44 11. 04. 2016 18:56 — Editoval vanok (21. 04. 2016 22:36)

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Limitny maraton

cvicenie 11, pokracovanie (otazka a.)
$\forall k \ge 1\forall t \in [k;k+1],\frac 1{k+1} \le \frac 1t \le \frac 1 k$
nam po integracii da
$\forall k \ge 1\forall t \in [k;k+1],\frac 1{k+1} \le \int_{k}^{k+1}\frac 1tdt=\ln (k+1)-\ln (k) \le \frac 1 k$
co po sumacii od 1 do n-1 da
$H_n-1 \le \ln n\le H_{n-1}$
a z toho
$\frac 1 n+ \ln n \le H_n \le 1+ \ln n$
A tak $\lim_{n\to+\infty }\frac{H_n}{\ln(n)}=1$
co znamena tiez $H_n \sim \ln n$
(odpoved na povodnu otazku cvicenia 11, od kolegu Freedy dostaneme okamzite vdaka vzorcu zmeny bazy logaritmu )

Na ostatne 2 otazky necham este trochu casu kolegom co maju chut napisat ich riesenie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#45 18. 04. 2016 02:17

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Limitny maraton

škoda, že se nikdo tohoto tématu neúčastní.
Cvičení 11 ŘEŠENÍ



Cvičení 12 viz. ↑ vanok:


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#46 21. 04. 2016 22:36 — Editoval vanok (22. 04. 2016 02:32)

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Limitny maraton

Cvicenie 11,
Ano pekne si doplnil to riesenie.
Mozno by bolo zaujimave vediet ake otazky ti mohol polozit skusajuci po (pri) jeho rieseni.
Neviem na ktorych VS v cz, sk sa uci Stolz-ova veta alebo aspon verziu povodnej Cesàrov-over vety.
Mozte ma poucit.

Cvicenie 12
a. = aj cvicenie 11.
b.
Tu je mozne vyuzit riesenie otazky a.
Presnejsie mame pre $ k \ge 1 $, ze $\frac 1 k - \int_k^ {k+1} \frac {dt}t \ge 0$
Ale ohranicenie z a. da aj $\int_k^ {k+1} \frac {dt}t \ge \frac 1{k+1}$
a preto $0\le \frac 1k -\int_k^ {k+1} \frac {dt}t \le \frac 1k -\frac 1{k+1} $
Tak rada vseobecneho clenu $\frac 1k-\int_k^ {k+1} \frac {dt}t$ konverguje (Lebo jej cleny su kladne  a mensie ako vseobecny clen jednej konvergentnej rady.)
Co znamena, ze sucet postupnosti vseobecneho clenu $H_n-\ln n$  konverguje k $\gamma$, co ukoncuje dokaz otazky b.

c. Iste to chce niekto skusit...


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#47 15. 05. 2016 17:50

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Limitny maraton

c. Navod
Clen z $ \frac 1n$
Preto moze byt zaujimave vysetrit postupnost vseovecneho clenu $ u_n=H_n-\ln n-\gamma$
( mozte nast ekvivalent postupnosti $( u_n)$ )

Podobne mozte vysetrit aj clen z $\frac 1{n^2}$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#48 24. 05. 2016 00:00

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Limitny maraton

Cvicenie 13
Nech $(u_n)$ je jedna postupnost taka, ze $ u_0 \in ]0;\frac{\pi}2]$ a $u_{n+1}=\sin (u_n)$ pre kazde prirodzene n.
a)Dokazte ze $\lim_{n \to +\infty } u_n=0$ a najdite ekvivalent $u_n$ v $+\infty$
b)Najdite dvojclenny asymptoticky rozvoj $u_n$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#49 12. 06. 2016 15:31

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Limitny maraton

Cvicenie 13,
Myslienky na zaciatok riesenia.
Akoze tu ide o postupnost typu $u_{n+1}=f (u_n)$, tak vieme, ze ak taka postupnost konverguje tak jej limita je pevny bod funkcie $\sin$
Tak je uzitocne dokazat, ze $(u_n)$ je monotonna a ohranicena


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#50 27. 01. 2017 22:43

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Limitny maraton

Cvicenie 13, cake na riesenie.
Cvicenie 14
Ako by ste ( co najucinnejie ) nasli  $\lim_{n\to +\infty}n^{\frac 1n}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson