Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#51 31. 01. 2017 11:35 — Editoval vanok (01. 02. 2017 06:36)

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Cvicenie 14.
Riesenie, prva cast.
Polozme $n^{\frac 1n}=1+u_n$, kde $u_n>0$ ( pochopitelne )
Newton-ov binom sa pise
$n=(1+u_n)^n=1+n.u_n+\frac 12 n(n-1)u_n^2+...$
Vsetko cleny su kladne
Tak $n>\frac 12 n(n-1)u_n^2$
Co da $u_n^2<\frac 2{n-1}$ kde prava cast vyrazu ide k nule ked n rastie.
Dokoncenie....


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#52 08. 02. 2017 05:23 — Editoval vanok (08. 02. 2017 12:53)

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Cvicenie 14
Druha cast riesenia a ukoncenie.
Tak pre kazde $s>0$, mame $u_n^2<s^2$ pre dost velke n, cize $0< u_n<s$
Nic nam nebrani vybrat $s<1$, a preto  $u_n$ konverguje k 0.
Teraz mozte ukoncit cvicenie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#53 04. 03. 2018 19:07

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Navrat k cviceniu 13.
Zda sa, ze toto klasicke cvicenie je oblubene vela skusajucimi a malo studentov sa nad nim zamyslelo
Skoda, lebo je uzitocne ho vediet vyriesit. 

Tak teraz, dam odpoved na obe otazky cvicenia, co dufam motivuje niekolko foristov. 

Odpoved na prvu otazku je$u_n \sim_0 \sqrt {\frac 3n}$

a na druhu $u_n \sim_0 \sqrt {\frac 3n}-\frac{3\sqrt 3}{10}\frac {\ln n}{n\sqrt n} +o\( \frac {\ln n}{n\sqrt n} \)$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#54 06. 03. 2018 08:52

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Cvicenie 13.  Prva cast.  (Podrobne riesenie)
Interval $]0; \frac {\pi}2 ]$ je stabiny pre funkciu $\sin$ a preto $u_n \in ]0; \frac {\pi}2 ]; \forall     n$ .
A tiez $\sin x < x$ na tomto intervale.
A tak postunnost $( u_n) $ je ostro klesajuca.
Na viac je minorovana   cislom 0, a tak konverguje. 
Pre jej limitu $l$  plati $\sin l=l$ co da $l=0$
Co sa tyka envivalentu $ (u_n) $, poznamenajme, ze
$\frac 1{u_{n+1}^2}- \frac 1{u_n^2}=\frac 1{\sin ^2 u_n}-\frac 1{u_n^2}=...=\frac 13 + O(u_n) \sim \frac 13 $



Tento ekvivalant na ukazuje, ze rad $ \sum_{k=0}^{n-1}   \frac 1{u_{k+1}^2}- \frac 1{u_k^2}$ diverguje.
A tak $   \frac 1{u_{n}^2}- \frac 1{u_{0}^2}= \sum_{k=0}^{n-1}   \frac 1{u_{k+1}^2}- \frac 1{u_k^2} \sim
 \sum_{k=0}^{n-1} \frac 13  =\frac n3$
Inac povedane $   \frac 1{u_{n}^2} \sim \frac n3$,
a konecne $u_n \sim_0 \sqrt {\frac 3n}$ .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#55 06. 03. 2018 09:21

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1808
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:

Odkud se vzal tento vztah?

$\frac 1{\sin ^2 u_n}-\frac 1{u_n^2}=...=\frac 13 + O(u_n)$


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#56 06. 03. 2018 09:59

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem ↑ Pavel:, pozri si PM.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#57 10. 03. 2018 23:50 — Editoval vanok (10. 03. 2018 23:57)

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Cvicenie 13. 
Druha cast.  [riesenie na doplnenie]
Aj tu hladajme najprv asymptoticky rozvoj $\frac 1{u_{n+1}^2}- \frac 1{u_n^2}$    ( podobne ako v prvej casti).
Tu vsak podme o jeden clen dalej ako v predoslej casti:
Cize $u_{n+1}=\sin u_n=u_n- \frac{u_n^3}6+ \frac{u_n^5}{120}+o(u_n^5)=u_n(1- \frac{u_n^2}6+ \frac{u_n^4}{120}+o(u_n^4))$
Co da $\frac 1 {u_{n+1}^2}=....$  ( doplnte ...)
Potom $\frac 1{u_{n+1}^2}- \frac 1{u_n^2}-\frac 13=....\sim \frac 1{5n}$ ( aj tu doplnte vypocty ......).
[  Tu tiez ako v prvej casti, posledny vyraz je clen divergentnej rady a preto mozeme scitat ekvivalenty ]

Z toho $u_n^2=\(\frac n3+\frac {\ln n}5+o(\ln n) \)^{-1}$

A nakoniec ukoncite vypocet a tak dostanete hladany rozvoj.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#58 11. 03. 2018 02:55 — Editoval vanok (11. 03. 2018 02:57)

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Cvicenie 13.
Addendum.
Vysetrenie $\frac 1{u_{n+1}^2}- \frac 1{u_n^2}$ v prvej casti cvicenia sa moze zdat niektorym foristom priliz trikove.   
Tak tu pridam malu uvahu, ktora ich presveci, ze ide o nieco velmi prirodzene. 
Polozme si takuto otazku:

Urcite realne cislo$r $ take, ze postupnost $u_{n+1}^r- u_n^r$ ma konecnu nenulovu realnu limitu.

Dam tu hned cele riesenie,  co moze byt aj kontrola pre tych, ktori doplnili casti z ....  prvej casti cvicenia 13. 

$u_{n+1}^r- u_n^r=(\sin u_n)^r- u_n^r=_{n \to +\infty}
\(u_n-\frac {u_n^3}6 +o(u_n^3) \)^r-u_n^r=$
$u_n^r \( \(1-\frac {u_n^2}6 +o(u_n^2) \)^r-1 \)=
u_n^r \( -r \frac {u_n^2} 6+o(u_n^2)  \)=
\( -r \frac {u_n^{r+2}} 6+o(u_n^{r+2})  \)$
A pre $r=-2$ dostaneme $\frac 1{u_{n+1}^2}- \frac 1{u_n^2} \sim   \frac 13$
Pochopitelne som mohol toto dat do textu cvicenia, ale ak niekto rozmyslal o tomto cviceni, iste na to prisiel aj sam. 😁


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#59 12. 03. 2018 22:29 — Editoval vanok (12. 03. 2018 22:29)

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Akoze, limitovane rozvoje su uzitocne na hladanie niektorych limit, tak vam tu pridavam
Cvicenie 15. (Aproximacia $\cos(x)$ ).
Najdite $ a;b\in \Bbb R $ take aby $\cos(x)- \frac {1+ax^2}{1+bx^2} =o(x^n)$ pre co najvädcie $n$ .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#60 13. 03. 2018 00:44

Bati
Příspěvky: 2126
Reputace:   166 
 

Re: Limitny maraton

Cviceni 15.

Pouzijeme Taylorovu radu pro kosinus:
$\cos x=1-\tfrac12x^2+\tfrac1{24}x^4-\tfrac1{720}x^6+o(x^7),\quad x\to0$.

Nyni se pokusime tuto radu napodobit:
$\frac{1+ax^2}{1+bx^2}=\frac{1+bx^2-bx^2+ax^2}{1+bx^2}=1+(a-b)x^2\frac{1}{1+bx^2}$.

Vidime, ze musi platit $a-b=-\tfrac12$. Dale
$\frac{1+ax^2}{1+bx^2}=1-\tfrac12x^2\left(1-\frac{bx^2}{1+bx^2}\right)=1-\tfrac12x^2+\tfrac b{2}x^4\frac{1}{1+bx^2}$,

a tedy $b=\tfrac1{12}$. Muzeme pokracovat analogicky a ziskat nakonec napr.
$\frac{1+ax^2}{1+bx^2}=\frac{12-5x^2}{12+x^2}=1-\tfrac12x^2+\tfrac1{24}x^4-\tfrac1{288}x^6+\tfrac1{3456}x^8\frac1{1+\frac1{12}x^2}$.

(Vidime, ze jsme mohli rovnou pouzit soucet geometricke rady.) Celkem tedy

$\cos{x}-\frac{12-5x^2}{12+x^2}=\tfrac1{480}x^6+o(x^7)=o(x^5)$.

Offline

 

#61 13. 03. 2018 02:31 — Editoval vanok (13. 03. 2018 02:35)

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem ↑ Bati:,
Ano to je cakana odpoved. 
( poznamka: ide o aproximaciu funkcie cos pre 0,1 priblizne $2*10^{-9}$)
Mozes, prosim, dat vlastne cvicenie 16, ktore by mohlo byt polozene na skuskach.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#62 13. 03. 2018 11:06

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1808
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:

Otázku řeší tzv. Padého aproximace.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#63 13. 03. 2018 19:28

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem ↑ Pavel:,
Ano mas pravdu, cvicenie 15 moze byt povazovane ako jeden uvodny priklad z Padé approximation.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#64 13. 03. 2018 21:00 — Editoval Bati (13. 03. 2018 21:01)

Bati
Příspěvky: 2126
Reputace:   166 
 

Re: Limitny maraton

↑ Pavel:↑ vanok:
Zajimave je take srovnani s "globalni" aproximaci.

Cviceni 16.
$\lim_{x\to0}\cos\left(\frac{e^{|\sin{x}|}-1}{x}\right)$

Offline

 

#65 15. 03. 2018 08:20

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem ↑ Bati:,
Aby ostalo toto vlakno zive, tak si dovolim reagovat. 

Moje riesenie tejto limity spociva na limitovanom rozvoji $\left(\frac{e^{|\sin{x}|}-1}{x}\right)$ pre $x>0$ a pre $x<0$ v okoli $0$.   ( rad 2 staci).  A potom sa ukonci vdaka spojitosti funkcie $\cos$

Ake je tvoje riesenie?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#66 15. 03. 2018 14:18

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1808
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Limitny maraton

Cvičení 17.

Určete limitu posloupnosti

$
\lim_{n\to+\infty}\sin\left(\varphi^n\pi\right),
$

kde $\varphi$ je zlatý řez.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#67 15. 03. 2018 14:31

Bati
Příspěvky: 2126
Reputace:   166 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ vanok:,
rozvinuti v radu je urcite mozne. Jde postupovat i jen pomoci znamych limit a zakladnich vlastnosti gon. funkci takto:
$\cos\left(\frac{e^{|\sin{x}|}-1}{x}\right)=\cos\left(\frac{e^{|\sin{x}|}-1}{|\sin x|}\left|\frac{\sin x}{x}\right|\,\text{sgn}\,{x}\right)=\cos\left(\frac{e^{|\sin{x}|}-1}{|\sin x|}\frac{\sin x}{x}\right)\to\cos 1,\quad x\to0$.
Strucne receno, limita existuje, protoze jednostranne limity jsou $\cos(\pm 1)=\cos1$.

Offline

 

#68 16. 03. 2018 11:15

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem ↑ Pavel:,
Zaujimave cvicenie. 
Male otazky.
V tvojom cviceni vyuzijes, ze $\varphi^n$ je pre dostatocne velke $n$ « skoro cele »  cislo?  A tiez vyuzijes, ze ide o « Pisot-ove » cislo?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#69 16. 03. 2018 13:58

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1808
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:

Je to tak.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#70 23. 03. 2018 02:27 — Editoval vanok (24. 03. 2018 09:11)

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ Pavel:,
Este jedna mala pomoc. 
K cviceniu 17 som zabudol pridat, ze je vyhodne vediet, ze $\varphi ^n+\frac 1{\varphi ^n} \in \Bbb Z$ co sa lahko dokaze napr. indukciou.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#71 23. 03. 2018 21:44 — Editoval vanok (24. 03. 2018 08:23)

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem ↑ Pavel:,

Aby sme neprerusili dynamiku tohto vlakna ( i ked na cvicenie 17 ziadny student nereagoval), ( Ak mozes napis tvoje  riesenie tohto cvicenia, alebo aspon “hint” na tvojo riesenie, ak nejdes tou istou cestov ako som naznacil) a ja

hned pridavam cvicenie 18.

Urcite   ci rad vseobecneho clenu $u_n=\sin (\pi \sqrt {1+n^2})$ je alebo konvergentny, alebo divergentny.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#72 25. 03. 2018 01:18

laszky
Příspěvky: 1047
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   73 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj. Ok, tak se teda pripojim. Protoze je

$\left|\sin\left(\pi\sqrt{1+n^2}\right)\right| =\left|\sin\left(\pi\sqrt{1+n^2}\right)-\sin(\pi n)\right| = 2\left|\sin\left(\frac{\pi}{2}\left(\sqrt{1+n^2}-n\right)\right)\right|\cdot\left|\cos\left(\frac{\pi}{2}\left(\sqrt{1+n^2}+n\right)\right)\right| \leq$
$\leq 2\left|\sin\left(\frac{\pi}{2}\left(\sqrt{1+n^2}-n\right)\right)\right| = 2\left|\sin\left(\frac{\pi/2}{\sqrt{1+n^2}+n}\right)\right|$,

je i

$0\leq \lim_{n\to+\infty}\left|\sin\left(\pi\sqrt{1+n^2}\right)\right| \leq 2 \lim_{n\to+\infty}\left|\sin\left(\frac{\pi/2}{\sqrt{1+n^2}+n}\right)\right| = 2\sin 0 = 0$.

Proto je $\lim_{n\to+\infty}\sin\left(\pi\sqrt{1+n^2}\right)=0$.

Offline

 

#73 25. 03. 2018 06:20

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Coucou ↑ laszky:,
Zaujimave.
Hint na pokracovanie. 
Dobry zaciatok.  A tak ten rad konverguje? Ci nie?
Odpoved sa najde vdaka vysetreniu $u_n=\sin \( n \pi \sqrt {1+\frac 1{n^2}} \)=...$


$=(-1)^ n \sin \( n\pi (\sqrt {1+\frac 1{n^2}}-1)\)$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#74 26. 03. 2018 05:01

laszky
Příspěvky: 1047
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   73 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:

Pozdravujem. Mozna by to obcas chtelo pouzit symbol $\sum$... Napr.  $\lim_{k\to+\infty}\sum_{n=1}^ku_n$, nebo $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$, pak by mi mozna doslo, co se pozaduje  ;-)

Jinak, protoze

$2(-1)^n\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right)=2\cos(\pi n)\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right) = \sin\left(\pi\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)\right) + \sin\left(\pi\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)\right)=$

$=\sin\left(2\pi n + \frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}\right)=2\sin\left(\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}\right) > 0$,

jde $\left|\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right)\right|$ monotonne k nule a $\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right)$ strida znamenka. Podle Leibnitzova kriteria tedy $\sum_{n=1}^{+\infty}\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right)$ konverguje.

Offline

 

#75 26. 03. 2018 18:22

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Hallo ↑ laszky:,
Ide o cvicenia typu skuska.   Vtedy je dolezite si dobre precitat text cvicenia a neriesit nieco ine ako polozene otazky. 
Dakujem, ze si na to upozornil inych foristov. 

Co sa tyka pouzivania  $\lim_{k\to+\infty}\sum_{n=1}^ku_n$, $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$  tak je dobre vediet, ze takyto zapis ma byt pouzity len ak dana limita existuje.   Inac by to mohlo oznacit limitu, ktora neexistuje. ... a tomu sa normalne treba vyhybat.

Dalsie cvicenia pridu co nevidiet.  Ak nie inym, tak tebe urobia radost.  🙂


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson