Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 18. 03. 2016 19:59

vanok
Příspěvky: 12118
Reputace:   694 
 

Vlasnost grupy

Pozdravujem.
Nech x, y su dva prvky jednej grupy G ( konecna alebo nie). Dokazte ze rad xy je rovny radu yx.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#2 18. 03. 2016 23:43

holyduke
Příspěvky: 535
Škola: VUT FSI
Reputace:   51 
 

Re: Vlasnost grupy

↑ vanok:
Ahoj,


Offline

 

#3 19. 03. 2016 02:09

vanok
Příspěvky: 12118
Reputace:   694 
 

Re: Vlasnost grupy

Ahoj ↑ holyduke:,
Dobre myslienky, ale chybaju upresnenia tykajuce sa k, p.
Presnejsie:
Tvoja relacia $(xy)^{p}=e$ neznamena este, ze $p$ je rad prvku xy.
Ako treba upresnit tvoj pokus dokazu, aby sa stal skutocny dokaz?

Poznamka: tvoje oznacenie grupy multiplikativnym sposobom je dobre vybrane ( podla zvyku oznacenia nekomutativnych grup, a  vtedy sa moze pisat 1, miesto e).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#4 19. 03. 2016 09:00

holyduke
Příspěvky: 535
Škola: VUT FSI
Reputace:   51 
 

Re: Vlasnost grupy

↑ vanok:
Že p i k jsou nejmenší možná přirozená čisla tak, aby platily uvedené rovnosti.
Nechtéla se mi opisovat definice řádu, ale máš pravdu, že bez toho to není jednoznačný :)

Offline

 

#5 19. 03. 2016 10:16 — Editoval vanok (19. 03. 2016 10:38)

vanok
Příspěvky: 12118
Reputace:   694 
 

Re: Vlasnost grupy

↑ holyduke:,
Ano,
A tak napr. Nech p, k su respektivne rady prvkov xy a yx
Tvoja prva skupina implikacii rovnosti z komentarmy
$\underbrace{(xy)\cdot \ldots \cdot (xy)}_{\text{p krát}}=e$ ( kompozicia na lavo prvkom $x^{-1} $ a na pravo prvkom $y^{-1}$, da po pouziti associativityp)
$\underbrace{(yx)\cdot \ldots \cdot (yx)}_{\text{p-1 krát}}=x^{-1}y^{-1}$ (...)
$\underbrace{(yx)\cdot \ldots \cdot (yx)}_{\text{p krát}}=x^{-1}y^{-1}(yx)=e$

Posledna rovnosti, z nich  da, ze rad k prvku yx deli rad p prvku xy.

A podobne opacna implikacia....

Na koniec je lahko vidiet, tento dokaz plati aj pre nekonecne grupy.
(


Cize klucova myslienka je, ze napr. $(xy)^{m}=1$, m kladne, znamena ze rad p  prvku xy deli m.
Tak oprav a dopln tvoj pokus dokazu, aby to dalo dokonaly dokaz.

Poznamka: pridam, tu na fore, dalsie cvicenia z teorie grup, pre ktore sa casto vidia nedostatocne riesenia ...


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#6 25. 03. 2016 12:59

holyduke
Příspěvky: 535
Škola: VUT FSI
Reputace:   51 
 

Re: Vlasnost grupy

↑ vanok:
Tak teda dokonaleji:
Mějme grupu $(G,\cdot )$ s neutrálním prvkem $e$.
Dokazujeme, že $(x\cdot y)^{p}=e; (y\cdot x)^{k}=e \Rightarrow p=k$ kde $p$ (resp. $k$) je řád prvku $xy$ (resp. $y\cdot x$)

Podle prvního vztahu platí:
$\underbrace{(x\cdot y)\cdot (x\cdot y)\cdot \ldots \cdot (x\cdot y)}_{\text{p krát}}=e$
Jelikož se pohybujeme v grupě, můžeme využít asociativitu a libovolně přezávorkovat:
$x\cdot \underbrace{ (y\cdot x)\cdot \ldots \cdot (y\cdot x)}_{\text{p-1 krát}}\cdot  y=e$
Jelikož ke každému prvku určitě existují inverzní prvky, můžeme vynásobit rovnici $x^{-1}$ zleva a $y^{-1}$ zprava, na pravé straně využijeme vlastnosti neutrálního prvku:
$x^{-1}\cdot x \cdot \underbrace{(y\cdot x)\cdot \ldots \cdot (y\cdot x)}_{\text{p-1 krát}}\cdot  y\cdot y^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}$
Využijeme vlastnosti inverzních prvků:
$\underbrace{(y\cdot x)\cdot \ldots \cdot (y\cdot x)}_{\text{p-1 krát}}=x^{-1}\cdot y^{-1}$
Vynásobíme prvkem $(y\cdot x)$ zprava a opět s využitím inverzních prvků a asociativity máme:
$\underbrace{(y\cdot x)\cdot \ldots \cdot (y\cdot x)}_{\text{p krát}}=x^{-1}\cdot y^{-1}\cdot (y\cdot x)=x^{-1}\cdot (y^{-1}\cdot y)\cdot x=x^{-1}\cdot e \cdot x=e$
Takže: $(y\cdot x)^{p}=e$
Tím p musí být nutně násobkem k, neboli $k|p$.

Analogicky bychom ukázali, že také $p|k$.
Dostáváme tedy $k|p\wedge p|k \Leftrightarrow k=p$.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson