Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 02. 04. 2016 15:55

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Zjištění pravdy v modelu dané teorie

Ahoj,
existuje nějaký postup, jak ověřit, zda je daná formule F pravidvá (splnitelná - jde o tzv. sémantickou splnitelnost) v daném modelu M teorie T? Např. je to snadné, pokud existuje (formální, syntaktický) důkaz F v teorii T - pak je F pravidvá v každém modelu teorie T, ale o takové případy mi nejde.

Např. mě zajímají formule F, kde ani F ani negace F není dokazatelná v teorii T (viz Godelova věta o neúplnosti). Sice neumíme dokázat T ani negaci T, ale často zkoumáme nějaký konkrétní model M teorie T, u kterého by nás zajímalo, zda je v něm F pravidvá (splnitelná).

Např. mějme "běžná" reálná čísla (jejich množina je M), které jsou modelem obecné teorie T reálných čísel. Je známo, že není možné dokázat hypotézu kontinua (to je formule F) ani její negaci, ale přesto v M (což je konkrétní model teorie T) musí nastat právě jedna ze dvou možností - a sice, že buď F v M platí (je splnitelná) a nebo ne. Pokud by se např. ukázalo, že v M platí F, tak pak to znamená, že F je jednou s podstatnou vlastností M - a neváhal bych ji zařadit mezi axiomy T (a v opačném případě bych tam zařadil její negaci).

Protože postup je v tomto případě takový, že vycházíme od M, formalizujeme jej pomocí T - kde T má ovšem více modelů, ale nás zajímá jen M: a tedy i když T a formální (synaktické) důkazy jsou silným prostředkem pro zkoumání M, některé vlastností M je možné zkumat jen přímo v M... (Tj. T je zbytečně obecná a tím i slabší - pokud jde o zkoumání M.)

Děkuji za vaše názory k tomuto tématu


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#2 18. 10. 2017 14:24

Wotton
Logik
Místo: Plzeň
Příspěvky: 792
Reputace:   24 
 

Re: Zjištění pravdy v modelu dané teorie

↑ check_drummer:
Ahoj,

obecný postup neexistuje. Pokud by existoval, bylo by jej možné formalizovat a pak přidat do teorie a tim by se teorie dala zúplnit, čímž bychom se dostali ke sporu s Gödellovými větami.

Jinak samozřejmě pro konkrétní model a konkrétní formuli je možné zjistit splnitelnost.

A "problém" teorie T není v tom, že je příliš obecná, ale že je rekurzivně popsatelná. Nic ti nebrání vytovřit takovou teori, jež bude mít za axiomy všechny platné formule sdandardního modelu přirozených/reálných čísel. Taková teorie bude dokonce úplná. Ve sporu s Gödellem ale nebude, protože není rekurzivně popsatelná.


Dva jsou tisíckrát jeden.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson