Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 08. 2016 05:56 — Editoval Marian (09. 06. 2017 05:38)

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2488
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   64 
 

Nerovnost

Nechť a, b, c jsou libovolná kladná čísla. Dokažte nerovnost

$
\boldsymbol{a+2\sqrt{bc}\ge 3\sqrt[3]{abc}}.
$

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Marian)

#2 25. 08. 2016 10:31

vanok
Příspěvky: 13145
Reputace:   718 
 

Re: Nerovnost

Pozdravujem ↑ Marian:,
Pekne cvicenie.
Co sa predpoklada na tejto urovni ? Riesitel ma poznat  arimeticko geometricku nerovnost?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 25. 08. 2016 10:52 — Editoval Marian (28. 08. 2016 12:06)

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2488
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   64 
 

Re: Nerovnost

Nějak přímo nevidím, jak by se AG nerovnost měla použít. Osobně bych to řešil velmi jednoduše bez znalosti jakýchkoliv speciálních nerovností. Ale kreativitu řešících nechci omezovat, na druhou stranu mě potěší co nejjednodušší přístup, o který se mi samozřejmě jedná. Více prozatím nechci prozradit. Své řešení s ohledem na vývoj tohoto vlákna prozradím dříve či později.

Offline

 

#4 27. 08. 2016 10:44 — Editoval vanok (27. 08. 2016 11:18)

vanok
Příspěvky: 13145
Reputace:   718 
 

Re: Nerovnost

Ahoj ↑ Marian:,
Aj ked otazka ci AG nerovnost je prirodzena pre stredoskolaka je asi otazka na ktoru je tazko odpovedat.... Ale riesenie vdaka nej sa mi zda byt trivizmus. 
Inac pochopitelne riesit danu nerovnost inymi metodamy je vzdy zaujimave ( najmä pre riesitela).
Napr. Jedno take riesenie je
Polozme $A^6=a,B^6=b,C^6=c$, co da ekvivalentny problem danemu problemu pre kladne A,B,C
"Dokazte,ze $A^6+2B^3C^3-3A^2B^2C^2\ge0$ "
Tu "la cerise sur le gâteau " je nast faktorizaciu vyrazu na lavo .... No vsak mi sa to zda tazke pre stredoskolaka....

Tvoje riesenie je iste pekne a si ho s radostou precitam.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 27. 08. 2016 19:33

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   121 
 

Re: Nerovnost

ahoj ↑ Marian:,

$(x-y)^2\ge 0$
$x^2+y^2\ge 2xy$
$(x^2+y^2)(2x+y)\ge 2xy(2x+y)$

Roznásobením a úpravou

$2x^3+y^3\ge 3x^2y$

Substitucí $x^3=\sqrt{bc}$; $y^3=a$ dostáváme dokazované tvrzení (pokud jsem se někde v té rychlosti nesekl:-)


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#6 27. 08. 2016 21:57

vanok
Příspěvky: 13145
Reputace:   718 
 

Re: Nerovnost

↑ Eratosthenes:,
Len mala poznamka. Podla zelania kolegu ↑ Marian: je mozne nepouzit AG nerovnost (Co robis v druhom riadku tvojho riesenia) ak vyuzijes tuto faktorizaciu ( podobnu tej o ktorej pisem v ↑ vanok:) $2x^3+y^3-3x^2y=(x-y)^2(2x+y)$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 27. 08. 2016 22:17

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   121 
 

Re: Nerovnost

↑ vanok:

vůbec nevím, co je AG nerovnost. Využil jsem jen toho, že druhá mocnina je nezáporná a druhé mocniny rozdílu. Nedělal jsem žádnou faktorizaci, ale naopak jen roznásoboval...


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#8 27. 08. 2016 22:29

vanok
Příspěvky: 13145
Reputace:   718 
 

Re: Nerovnost

↑ Eratosthenes:,
AG nerovnost, hovori ze https://cs.m.wikipedia.org/wiki/Nerovno … ho_průměru
Co si robil som videl, len som ti napisal ako je mozne sa vyhnut AGnerovnosti. ... A ukoncit tvoj dokaz napr. tak ako si to urobil.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 28. 08. 2016 10:51 — Editoval Marian (29. 10. 2017 11:53)

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2488
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   64 
 

Re: Nerovnost

V podstatě se asi ubírám podobným směrem.

Osobně bych podělil prvkem a, který je kladný (smysl nerovnosti se tak nezmění) a dále převedl věc pouze na jedinou proměnnou pomocí vhodné substituce:

$
1+2\sqrt{\frac{bc}{a^2}}
 &\ge 3\sqrt[3]{\frac{bc}{a^2}}\\[2mm]
1+2t^3
 &\ge 3t^2,\\[2mm]
2t^3-3t^2+1\ge 0,
$

kde $\scriptstyle t:=\sqrt[6]{bc/a^2}$. Vzhledem k tomu, že má polynom na levé straně poslední nerovnosti zřejmý kořen $\scriptstyle t=1$, je možno provést faktorizaci jednoduše. Dostáváme

$
(t-1)^2\cdot (2t+1)\ge 0.
$

Protože podle definice parametru t je tento kladný, je poslední nerovnost platná a tudíž i původní, která je s ní ekvivalentní. Navíc rovnost platí pouze pro $\scriptstyle t=1$, tj. v případě, když $\scriptstyle a^2=bc$. Ve všech ostatních případech platí ostrá nerovnost.


Poznámka: Pro úplnost bych ještě přinejmenším já ocenil přidání řešení pomocí AG nerovnosti, kterou navrhuje kolega vanok.

Offline

 

#10 28. 08. 2016 11:30 — Editoval vanok (28. 08. 2016 11:34)

vanok
Příspěvky: 13145
Reputace:   718 
 

Re: Nerovnost

Pozdravujem ↑ Marian:,
Dobre pridam teraz vsetki podrobnosti, ktore som pochopitelne nedal skor aby to nezabrzdilo ine iniciativy.
Co sa tyka AG nerovnosti. V pripade A,B,C troch kladnych cisiel sa pise $\frac{A+B+C}3 \geq \sqrt[3] {ABC}$
Co da pre $A=a,B=C=\sqrt {bc}$
pytanu nerovnost.

Co sa tyka $A^6+2B^3C^3-3A^2B^2C^2\ge0$, tam islo o pouzitie
$A^6+2B^3C^3-3A^2B^2C^2= (A^2-BC)^2(A^2+2BC)$.

Pochopitelne ak najdem este inu metodu dam vam to vediet.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#11 28. 08. 2016 12:05

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2488
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   64 
 

Re: Nerovnost

↑ vanok:

Čekal jsem složitosti, ale AG pro tři prvky funguje vskutku triviálně.

Offline

 

#12 28. 08. 2016 12:19 — Editoval vanok (28. 08. 2016 15:30)

vanok
Příspěvky: 13145
Reputace:   718 
 

Re: Nerovnost

Dalsia mala poznamka. 
Na vysetrenie kladnosti $
2t^3-3t^2+1
$
Pre kladne t (tato funkcia sa najde v rieseni ↑ Marian: ) mozme vyuzit jej variacie pre kladne t, ktore sa mozu nast vdaka jej derivacii.  ( ide o metodu bez faktorizacie, a zda sa mi, ze je pouzitelna aj pre stredoskolakov)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson