Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 26. 10. 2016 18:46

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Irationalne cislo

Casto sa stretneme z cvicenim ako:
Dokazte, ze $\sqrt 2+ \sqrt 7$ je irationalne cislo.
Iste poznate viacero dokazov.
Mozte nam ich tu pripomenut.
( jeden z nich sa mi celkom paci ... ak sa tu neobjavi tak vam ho tu pochopitelne dam)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 27. 10. 2016 18:06

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Irationalne cislo

Tak dobre.
Dam tu princip toho sympatickeho dokazu  ( vieme,ze $\sqrt 2$ ako aj $ \sqrt 7$ su irationalne)
Mame
$(\sqrt 7+ \sqrt 2)(\sqrt 7-\sqrt2)=7-2=5$
Sucin dvoch cisiel  v zatvorke je racionale cislo, tak cisla v zatvorkach su zaroven obe racionalne alebo obe iracionalne.
Predpokladajme ze obe zatvorky su racionalne, tak polovica ich suctu  ako aj polovica ich rozdielu su potom rationalne cisla.
Inac povedane $\sqrt 2$ a tiez $ \sqrt 7$ su racionalne. Ale to je spor. Cize nas predpokladu nie je pravdivy.
Co znamena ze $(\sqrt 7+ \sqrt 2$ a tiez $\sqrt 7-\sqrt2$ su oba iracionalne cisla.


Mne sa zda, ze i ked ho casto nevidime takyto dokaz ma vyhodu, ze sa da pouzit aj pre deti na strednej skole.

Paci sa vam?

Pozname vela dokazov na ukazanie tohto vysledku. Poznate aj iny taky sympaticky?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 28. 10. 2016 21:33

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1885
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   112 
 

Re: Irationalne cislo

↑ vanok:
Jo, pěkný je. Nenapadá mě jiný. Snad nějak z definice? Hledání minimálního polynomu?


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#4 28. 10. 2016 22:34

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1760
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Irationalne cislo

↑ Andrejka3:

Nechť $\sqrt 2+ \sqrt 7$ je racionální. Pak nutně $\frac{(\sqrt 2+ \sqrt 7)^2-9}2$ je racionální. Nicméně $\frac{(\sqrt 2+ \sqrt 7)^2-9}2=\sqrt{14}$.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#5 29. 10. 2016 09:44 — Editoval vanok (29. 10. 2016 09:57)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Irationalne cislo

Pozdravujem,
Varianta od kolegu ↑ Pavel: je asi ta co kazdeho napadne ako prva.
A tato je tiez dost zriedkava, lahko overime, ze $\sqrt 2+ \sqrt 7$ je koren $x^4- 18x+ 25$ potom vysetrime ( klasicky ) jeho racionalne korene a $\sqrt 2+ \sqrt 7$ nie je medzi nimi.

( otazka: viete nast take celociselne polynomy?)
Tento dokaz,  na viac ukaze, ze nase cislo je algebraicke.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 29. 10. 2016 21:59 — Editoval vanok (29. 10. 2016 22:01)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Irationalne cislo

Odpoved na otazku ↑ vanok:,
Oznacme nase cislo x,
Potom vyuzime co napisal ↑ Pavel:,
$\frac{x^2-9}2=\sqrt{14}$
A to da po umocneni a uprave hladany polynom.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 01. 11. 2016 17:39

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Irationalne cislo

↑ Pavel:
Ahoj, pěkné řešení, ale zvídavý student by se zeptal - proč volit právě výraz $\frac{(\sqrt 2+ \sqrt 7)^2-9}2$? Podobné řešení s méně otazníky by mohlo být sporem - nechť $\sqrt 2+ \sqrt 7=p/q$, tak umocněno na druhou a úpravou získáme $\sqrt{14}=\frac{p^2/q^2-9}{2}$ - a tedy jsme odvodili, že $\sqrt{14}$ je racionální, což je spor.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#8 01. 11. 2016 17:48

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Irationalne cislo

Ahoj ↑ check_drummer:,
Ano to je tiez velmi prirodzena moznost. 

Tiez je velmi zaujimave porovnat rozdielne riesenia.  A tiez vidiet na akej urovni su mozne?

Pri rieseniach ziak, student alebo aj vyucujuci moze dat rozne otazky.  Ako napr. Sucet dvoch iracionalnych moze byt racionalny.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson