Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 01. 11. 2016 14:33 — Editoval vanok (01. 11. 2016 14:36)

vanok
Příspěvky: 12336
Reputace:   699 
 

Prvocisla

Davat ulohy na ktorych riesenie by bolo treba cakat storocia, to nie je asi vitane na fore.
Ale toto cvicenie, vhodne pre studenta tak tretieho rocnika VS, (alebo aj kandidata na IMO) urcite niekoho zaujme.

Nech je n prirodzene neparne cislo take, ze $n\ge 3$
Dokazte, ze dva nasledujuce tvrdenia su ekvivalentne
     (i)   $n$ a $ n + 2$ su prvocisla.
     (ii)$(n-1)!$  nie je delitelne ani cislom $ n$ , ani cislom $ n + 2$ .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 01. 11. 2016 23:56 — Editoval byk7 (02. 11. 2016 00:12)

byk7
InQuisitor
Místo: Břeclav, Brno
Příspěvky: 4455
Škola: PřF MUNI, konzervatoř Brno
Pozice: student
Reputace:   216 
 

Re: Prvocisla

Podle Wilsonovy věty platí $(n-1)!\equiv-1\pmod n$ právě, když n je prvočíslo. Dále se lehce zdůvodní, že pro složené $n>4$ je $(n-1)!\equiv0\pmod n$.

Tím pádem je vyřešená implikace (i) => (ii), a z opačné implikace máme "n nedělí (n-1)!, pak n je prvočíslo". Druhou část dokážeme obměnou. Řekněme, že je n+2 složené, pak n+2=ab, kde $2\le a\le b<n+2$, ale můžeme říct víc, je-li $2\le a$, pak $b=(n+2)/a\le(n+2)/2=n/2+1<n-1$, tj. n+2 dělí (n-1)!.

A jsme hotovi.


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#3 02. 11. 2016 00:15

vanok
Příspěvky: 12336
Reputace:   699 
 

Re: Prvocisla

Ahoj ↑ byk7:,
Veta sme hotovi je trocha skratka.
Keby si mohol napisat detaily dokazov... tvoji kolegovia by boli ozaj radi.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson