Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 11. 2016 18:10 — Editoval vanok (24. 11. 2016 18:11)

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

2^n

Skuste napisat postupnost $a_n=2^n, n=0,1,2,3,...$ az do $n =100$.
Co konstatujete z cifrou na lavo?
Co mozeme dokazat ked n ide do nekonecna? Dokazte.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 24. 11. 2016 18:35

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: 2^n

↑ vanok:

Lze dokázat, že ať volíme jakékoliv přirozené číslo $k$, tak vždy existuje taková mocnina čísla 2, jejiž ciferný zápis začíná právě číslem $k$.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#3 24. 11. 2016 18:47

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: 2^n

↑ Pavel:
Ano, aj to je zaujimave, ale preco 1 sa objavi castejsie (ako je to presnejsie)?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 24. 11. 2016 22:28

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: 2^n

↑ vanok:

Nabízím zjednodušenou odpověď - to, jakou číslicí začíná mocnina čísla 2, úzce souvisí s tím, že číslo $\log_{10}2$ je iracionální. To, že 1 je "nejčastější cifra", kterou mocnina dvojky začíná, vyplývá z následujícího tvrzení:

Definujme následujících devět otevřených intervalů:

$
I_n=\left(\log_{10}(n),\log_{10}(n+1)\right),\qquad n\in\{1,2,\dots,9\}.
$

Symbolem $\{x\}$ označme zlomkovou (desetinnou) část reálného čísla $x$.

Je-li $\{m\cdot\log_{10}(2)\in I_n\}$, kde $m\in\mathbb N$, pak mocnina $2^m$ začíná číslicí $n$. A protože interval $I_1$ má ze všech devíti intervalů největší míru, vyplývá z toho, že mocniny $2^m$ začínají nejčastějí číslicí 1. Ještě jinak - ca. třetina všech mocnin dvojky začíná jedničkou.

Obdobné závěry by bylo možné odvodit i pro dvojciferná, resp. víceciferná čísla, jímiž "začíná" číslicový zápis mocnin čísla 2, popř. i pro mocniny jiných přirozených čísel.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#5 24. 11. 2016 22:35 — Editoval Pavel (24. 11. 2016 22:35)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: 2^n

↑ vanok:

Zapojí-li se do hry navíc řetězové zlomky a z nich odvozené příslušné konvergenty, lze získat "hezké" mocniny čísla 2. např.

$
2^{70777}&=1000007\dots\\
2^{44699994}&=99999996\dots
$

apod.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#6 24. 11. 2016 23:21

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: 2^n

↑ Pavel:,
Ano to je dobra cesta k rieseniu problemu, i ked potvrdenie tejto intuicii pouzije, ze postupnost n.log(2) − [n.log(2)] je "équirépartie " v [0; 1].

A co je pozitivne, ze uz aj takto sme mohli prekvapit a poucit viacero foristov.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 26. 11. 2016 18:35 — Editoval check_drummer (26. 11. 2016 18:42)

check_drummer
Příspěvky: 2364
Reputace:   64 
 

Re: 2^n

Pavel napsal(a):

A protože interval $I_1$ má ze všech devíti intervalů největší míru, vyplývá z toho, že mocniny $2^m$ začínají nejčastějí číslicí 1.

Ahoj, podle mě tato implikace nemusí nutně platit, resp. asi by bylo potřeba k ní něco dodat. Hodnoty m.log(n) nemusí být rovnoměrně roloženy - a co kdyby padly častěji do jiného intervalu než $I_1$ (přestože tento jiný interval má menší délku)?

Edit: A ještě jedna věc - pro dostatečně velká m přece nepadne výraz $m\cdot\log_{10}(2)$ do žádného intervalu $I_n$. Jak je potom v tomto případě číslo n definováno?...

To ovšem neznamená, že to tvrzení neplatí. Např. speciálně k té 1čce by stačila tato úvaha: mezi všemi m-cifernými čísly existuje (právě) jedno, která začíná 1kou a je to mocnina 2.
Rovněž mezi všemi m-cifernými čísly existuje nejvýše jedno, které začíná číslicí k a je to mocnina 2.
A z toho již to tvrzení plyne.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#8 26. 11. 2016 19:17 — Editoval vanok (26. 11. 2016 19:20)

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: 2^n

↑ check_drummer:,
Ahoj v mojom prispevku mas odpoved na tvoju otazku.
Co volam "équiréparti" asi to volas rovnomerne rozlozenie....( co da, ze primerne mame tak 30 pct. takych situacii a tiez je to tak aj asympoticky) ale vsak mas iste slovnik, ja tiez citam v cz. so slovnikom.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 26. 11. 2016 22:41 — Editoval Pavel (26. 11. 2016 22:45)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: 2^n

↑ check_drummer:

Chybně jsem ohraničil výraz ve zlomkové části, správně by mělo být

$\{m\cdot\log_{10}(2)\}\in I_n$

Opomněl jsem dodat, že nejčastější výskyt 1 na začátku ciferného zápisu mocnin čísla 2 plyne z toho, že posloupnost zlomkových částí $\{\{m\cdot\log_{10}(2)\}\}_{m=1}^{\infty}$ je tzv. rovnoměrně rozložená posloupnost (uniformly distributed sequence) v intervalu $\langle 0,1\rangle$. Je to důsledek tvrzení, že posloupnost $l\{\{m\cdot\alpha\}\}_{m=1}^{\infty}$ je rovnoměrně rozložená v intervalu $\langle 0,1\rangle$ pro libovolné kladné iracionální $\alpha$. Viz též postřeh od ↑ vanok:.

Pro "víceciferné začátky" mocnin dvojky je zapotřebí vzít jiné intervaly, postup by však byl obdobný.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#10 27. 11. 2016 11:13

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: 2^n


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson