Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 29. 11. 2016 21:38

Anonymystik
Příspěvky: 529
Reputace:   45 
 

Zajímavost o čtyřúhelnících

Zdravím. Rád bych se podělil o jednu zajímavost, týkajících se čtyřúhelníků. Představme si, že vám někdo zadá čtyři délky a, b, c, d a požádá vás, abyste sestrojili čtyřúhelník, jehož strany jsou zadané těmito délkami a požaduje, aby zkonstruovaný čtyřúhelník měl maximální možný obsah. Lze ukázat, že maximální obsah bude tehdy, když čtyřúhelník bude tětivový. Důkaz není těžký, ale spíš mi to přišlo jako velice zajímavé tvrzení...


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#2 30. 11. 2016 12:01 — Editoval vanok (17. 12. 2016 01:29)

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

Ahoj
Ano to je mozne pokial kazda zo 4roch  rozlicnych dlzok  je taka, ze je mensia  ako sucet troch ostatnych , vtedy existuju tri tetivove (vpisatelne do kruznice) stvoruholniky  z takymito dlzkamy a ich plocha $P$ je dana vzorcom $P^2=(o-a)(o-b)(o-c)(o-d)$, kde $2o=a +b +c +d$ ( to je teorema od Brahmagupta)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 30. 11. 2016 12:03 Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Duplicita

#4 12. 12. 2016 10:20

byk7
InQuisitor
Místo: Břeclav, Brno
Příspěvky: 4455
Škola: PřF MUNI, konzervatoř Brno
Pozice: student
Reputace:   216 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

↑ Anonymystik:

Ahoj, to, že ten obsah maximalizuje právě tětivovost, je jasné z Bretschneiderovy formule. Jde to ale vidět nějak jednodušeji?


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#5 12. 12. 2016 10:35 — Editoval Anonymystik (12. 12. 2016 10:35)

Anonymystik
Příspěvky: 529
Reputace:   45 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

↑ byk7:  Důkaz popíšu vágně, ale myšlenka snad bude jasná. Vezmeme si papír a nakreslíme tětivový čtyřúhelník se zadnými stranami a jemu opsanou kružnici. Kruhové úseče (plošky mezi stranami čtyřúhelníku a kružnicí) vystřihneme. Poté si vezmeme čtyři tyčky stejně dlouhé jako jsou čtyři strany čtyřúhelníku a nalepíme úseče tak, aby přiléhaly k těmto tyčkám. No a pak vezmeme ty 4 tyčky, konce spojíme nějakými klouby dohromady tak, aby tvořily čtyřúhelník (který se ale pořád může deformovat, má stupeň volnosti). No a ptáme se: kdy je plocha čtyřúhelníku + plocha úsečí maximální? Nejprve si všimněme, že takto vzniklý útvar má konstantní obvod při libovolné deformaci. Dále je známé, že mezi všemi rovinnými obrazci je kruh takový, že při zadaném obvodu má maximální plochu. Takže maximální plochu útvaru dostaneme právě pro případ, kdy čtyřúhelník zdeformujeme do tvaru, kdy vrcholy leží na kružnici. No a útvar se skládá ze čtyřúhelníku + kruhových úsečí (ty jsou konstantní). Proto maximalizace plochy útvaru je ekvivalentní maximalizaci plochy čtyřúhelníku.


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#6 12. 12. 2016 12:23

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

Poznamka, ako ist este dalej.

Porozmyslat o stredoskolskej teoreme od Ptolémée moze byt uzitocne.(uci sa este stale na ss v cz, sk?)

Tu pridam nejake  vlasnosti vpisanych mnohouhokov.
Fantaticka teorema je japonska teorema :
Nech mame jeden konvexny  mnohouholnik vpisany do kruznice, potom pre kazdu triangularizaciu sucet polomerov vpisanych kruznic je konstatntny.

A este jedno zaujimave citanie https://arxiv.org/pdf/math/0407300v1.pdf


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 13. 12. 2016 19:59 Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Prenesene do ineho vlakna

#8 13. 12. 2016 23:09

Anonymystik
Příspěvky: 529
Reputace:   45 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

Zkusím na to juknout, vypadá to zajímavě.
Jinak takhle: syntetická geometrie je sice zajímavá věc, ale pokročilé partie nejsou zase tolik užitečné v praxi. Takže pokud někdo s matematikou moc nekamarádí, tak trápit ho s věcmi tohoto typu mi nepřipadá jako nejlepší možná náplň.

Na pokročilé syntetické geometrii obdivuji tři věci:
1) je to jedno z prvních míst, kde si žák může osahat, že matematika nemusí být nutně jen o tom něco spočítat, ale taky i něco dokázat. Navíc důkazy jsou často velmi elegantní myšlenky. Mnohdy se do obrázku musí něco chytře dokreslit, nebo přijít s nějakou netradiční strategií, jak úlohu řešit.
2) je docela názorná - například kombinatorika je taky krásná věc, ale někdo na to nemá buňky a nedokáže si to abstraktně představit. Názornost navíc taky souvisí do určité míry s "estetikou". Například Japanese theorem (úloha ze Sangaku) nebo Napoleonův trojúhelník jsou nádherné příklady toho, co tím myslím.
3) je provázaná a velice hluboká. V geometrii mám pocit, že každé tvrzení se dá dokazovat mnoha způsoby. Všechno má obvykle spoustu netriviálních a vizuálně zajímavých důsledků.

Bohužel, matematicky nenadaný člověk se ve složitějších důkazech ztratí a vysoká komplexnost spolu s provázaností mohou takového člověka spíš vyděsit/odradit. Navíc mnohdy k řešení je potřeba vysloveně nějaký chytrý trik, který člověka nemusí napadnout. Na hodinách tak dotyčný může mít pocit, že tomu rozumí, ale pak při písemce zjistí, že není sám schopen na něco takového přijít. Vymyslet trik je totiž mnohem těžší, než ho jen pasivně pochopit.

Celkově bych řekl, že syntetická geometrie rozhodně do středoškolské matematiky patří, protože podporuje systematické myšlení, kreativitu, vizuální představivost a dává nahlédnout studentům, o čem matematika je doopravdy. Nicméně praktický význam těch pokročilejších částí není tak velký a nemělo by se to asi úplně přehánět (třeba základy diferenciálního a integrálního počtu jsou věci, na které často na SŠ nezbude čas, ale IMHO je to taky dost důležité téma).


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#9 14. 12. 2016 11:32 — Editoval vanok (14. 12. 2016 12:24)

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

Ahoj ↑ Anonymystik:,
Ked pises slovo ziak, kludne ho mozes nahradit slovom matematik!
Vidim, ze si rozmyslal trochu o geometrii...
Co sa tyka uzitocnosti, to moze byt subjectivne a tiez otazka co si myslis o klasikej geometrii je tvoj nazor ako aj nazor trochu nostalgickych ludi. Je skutocne pravda, ze dnes mame dobre vypracovane nastroje a prave teraz sa cim dalej tym menej uci geometria na strednych a aj vysokych skolach... A toto sa vidi na celej planete.

No na stastie nic nie je stratene, ostali a ostanu knihy.... nie je to ako kniznica v Alexandrii ktora bola uplne znicena.

Si spomenul vyssie synteticku geometriu,
No nezabudni, ze su aj ine metody v elementarnej geometrii, ako analyticka, projektivna, metoda transformacii ako aj vektorova metoda....

No tak ci tak, zabudnime na dnesnu situaciu a robme si tu geometriu pre radost.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 14. 12. 2016 13:39 — Editoval Anonymystik (14. 12. 2016 13:40)

Anonymystik
Příspěvky: 529
Reputace:   45 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

↑ vanok: No v dobách, kdy ještě nebyly počítače, rozhodně deskriptivní a projektivní geometrie měly své nezastupitelné místo. Dnes, spolu s mnoha chytrými softwary, se sice význam zmenšil, ale přesto mi připadá důležité, aby lidé měli nějakou základní představu o tom, jak věrně zobrazit věci v prostoru (perspektiva, apod.). Přinejmenším umělecky zaměření lidé, co rádi kreslí, by to mohli ocenit.
--
Analytická geometrie je fajn, nicméně od určité chvíle je to víceméně jen počítání bez nějakých náčrtků, apod. Přiznám se, že jsem procházel naši knihovnu na MFF UK a snažil jsem se najít nějakou pěknou knihu o diferenciální geometrii. Nicméně téměř všude se to jen hemžilo abstraktními vztahy (ideálně v n dimenzích), diferenciálními rovnicemi, atd. Málokde jsem narazil i nějaké hezké obrázky, aby si to člověk mohl nějak trochu představit. Což mě trochu odrazovalo od toho takové knížky číst. Nicméně jsou věci (jako třeba Theorema egregium), které si chci časem nějak nastudovat, protože mi připadá, že tak nějak patří ke všeobecnému přehledu.
--
Velmi doporučuji například knihu https://www.bookshop.cz/produkt/geometr … AsCV8P8HAQ
Je zde velmi dobře vyvážený poměr analytické a syntetické geometrie. Zahrnuje to euklidovskou, afinní, projektnivní, inverzivní, Lobačovského a sférickou geometrii. Je to moc hezky napsaná kniha.


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#11 14. 12. 2016 14:10 — Editoval Anonymystik (14. 12. 2016 14:13)

Anonymystik
Příspěvky: 529
Reputace:   45 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

Jinak k té úloze:


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#12 14. 12. 2016 14:53 — Editoval vanok (17. 12. 2016 14:23)

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

↑ Anonymystik:,

Co sa tyka zaujimavych knih, vyuzi ich vzdy dat do vlakna na zaciatku  rubriky ostatne.
Pochopitelne mas aj ine geometricke casti matematiky.
Ako napr. differentialnu, algebricku, kombinatoticku, sympleticku a tiez geometricku algebru.... a ine.   A casto je suvis aj medzi inymi vetvami matematiky. Na niektorych univerzitach v ce , sk su mozno nejaky spécialisty na nejaky taky smer.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#13 15. 12. 2016 20:13

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

↑ Anonymystik:
Ahoj, z toho důkazu to vypadá, že věta platí pro obecný tětivový n-úhelník, že?


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#14 15. 12. 2016 21:57 — Editoval Anonymystik (15. 12. 2016 22:10)

Anonymystik
Příspěvky: 529
Reputace:   45 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

↑ check_drummer: V n-úhelníku, kde n je víc než 4, je příliš mnoho stupňů volnosti (konkrétně 2n-3), tutíž tětivovost ani spolu s délkami všech stran není určující podmínka pro jednoznačnou konstrukci. Jednoznačně určené je to právě jen pro n=4. Platí implikace, že n-úhelník s maximálním obsahem (při zadaných stranách) je určitě tětivový. To asi opravdu z mého důkazu plyne. Nicméně si nejsem jist, že každý tětivový n-úhelník se zadanými stranami má nutně maximální obsah. Spíš bych řekl, že ne.


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#15 16. 12. 2016 00:25 — Editoval vanok (16. 12. 2016 12:53)

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

↑ check_drummer:
Vsak tu mas odpoved v pripade strvoruholnika ↑ vanok:, ako aj  podmienku kedy je to mozne ( reeditoval som ju : dal som ju hrubo napisanu)
A ty chces vlastne generalizovat https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ptolemy%27s_inequality
Ci nie?
↑ Anonymystik:,
Co sa tyka jednoznacnosti, aj pre stvoruholniky to nie je pravda, vo vseobecnem pripade (ak dlzky stran su rozne a jeho konstrukcia je mozna) mame tri rozne riesenia, ked symetricke stvoruholniky povazujeme za rovnake.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#16 16. 12. 2016 17:43 — Editoval check_drummer (16. 12. 2016 17:44)

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

↑ Anonymystik:
Ahoj,
a jsi si jistý, že neplatí tvrzení, že pro dané délky stran a,b,c,d,... existuje právě jeden n-úhelník (má-li po řadě délky těchto stran), který je vepsaný do kružnice (tj. je tětivový)? To, že je "tětivovost" jedno slovo ještě neznamená, že je to stejný druh informace jako např. že je dána délka jedné strany. Např. "pravidelnost" je také jedno slovo - ale spolu s délkou jedné strany již n-úhelník jednoznačně určuje (tedy vlastně nám k určení takového n-úhelník ustačí dvě "informace": délka strany a "pravidelnost").
Každopádně - máš nějaký protipříklad ke svému tvrzení? Já se pro změnu pokusím o jeho důkaz, budu-li mít čas.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#17 16. 12. 2016 18:45

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

Ahoj, zatial nikto nepovedal po rade. 
No ale to ne meni podstatu problemu. 
Théorème de Brahmagunta najdes aj na webe ( hladas napr. po fr., po angl.)
Podobne ako v trojuholniku, tak aj v strvoruholniku dlzka stran nemoze byt uplne lubovolna. Napr. pre strany 1,2,3 ,10 ziadny stvoruholnik neexistuje.   
Pozri odkazy a specialne ↑ vanok: tu.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#18 16. 12. 2016 20:15 — Editoval Anonymystik (16. 12. 2016 20:18)

Anonymystik
Příspěvky: 529
Reputace:   45 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

↑ check_drummer: No jistý si nejsem. Zrovna dneska jsem nad tím přemýšlel. Kdybych třeba řekl, že mám tětivový n-úhelník s kružnicí opsanou o poloměru $R$ (zadaným) a stranami $a_1, a_2, ..., a_{n-1}$, vypadá to sice jen jako $n$ informací, ale lze si snadno rozmyslet, že až na polohu je konstrukce je jednoznačná. Ono totiž v té tětivovosti je schováno víc informací... Nicméně tady je to maličko jiný případ - my víme o existenci kružnice opsané, ale její konkrétní poloměr neznáme. Ještě si to promyslím. ;-)


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#19 16. 12. 2016 20:44 — Editoval Anonymystik (16. 12. 2016 21:00)

Anonymystik
Příspěvky: 529
Reputace:   45 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

Tak jednoduchá úvaha:
$\frac{a_i}{2R} = \sin \frac{\alpha_i}{2}$ ... podmínka, že příslušná strana n-úhelníku je tětivou na kružnici. $\alpha_i$ je příslušný středový úhel. Takových podmínek mám $n$.

$\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n = 2 \pi$ ... strany se musí "zacyklit do sebe" - tj. příslušné středové úhlu musí dávat $2 \pi$.

V této soustavě rovnic mám $n+1$ neznámých: konkrétně $\alpha_1, ..., \alpha_n$ a poloměr $R$. Na druhou stranu zde mám $n+1$ rovnic. Otázka zní, zda tyto rovnice jsou nezávislé. Myslím, že pro $n \geq 3$ ano. Ale jistý si nejsem...


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#20 16. 12. 2016 21:35

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

↑ Anonymystik:
Podle mého stačí tato úvaha: Čím větší poloměr opsané kružnice, tím menší "středový" úhel odpovídá dané tětivě. To samo už stačí k tomu, že nelze tětivy předepsaných délek (strany toho n-úhelníka) vepsat do dvou kružnic rozdílných poloměrů - protože je-li pro jednu kružnici součet středových úhlů $2.\pi$, pak pro druhou tomu tak dle výše uvedené úvahy nebude - a tedy tak nedostaneme tětivový n-úhelník.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#21 17. 12. 2016 00:57

Anonymystik
Příspěvky: 529
Reputace:   45 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

↑ vanok: No takhle: pokud to chápu správně, tak z našich dosavadních úvah plyne, že pokud mám zadané délky $a_1, ..., a_n$, z nichž lze zkonstruovat nějaký n-úhelník, pak ho lze určitě zkonstruovat tak, aby byl tětivový. Pro spor předpokládejme, že ne. Pak by neexistoval příslušný n-úhelník s maximálním obsahem. Ale to zřejmě existovat musí (z analýznického hlediska to zřejmé není - tam bych mohl mít něco jako supremum, které není maximem; nicméně z geometrického názoru to snad zřejmé je).


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#22 17. 12. 2016 02:07

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

Ahoj,
Zda sa mi ze predosle uvahy ukazuju, ze ak mame vpisarelny n-uholnik v kruznici polomeru R, tak do nej mozme vpisat aj vsetki take, ktorych strany su permutacia povodneho n-uholnika.

Poznamka.  Vybral som slovo " rovny" z↑ vanok:, lebo napr. degerovany 4-uholnik stran 1,2,3,6 nema ziadnu volnost ( co je pouzite v jej dokaze) a tak nemoze byt vpisatelny ( i ked plati vzorec teoremy). 

Intuicia ( ale to nestaci) by potvrdila hladana vysledok.
Geometricky dokaz zatial nevidim.
Ale kombinacia inducie a analyzy da pozitivnu odpoved, ze vpisatelny n-uholnik existuje.
( ale mame nieco podobne ako isoperimetricku nerovnost?....)
Myslienka.
Napr.  Ak mame 5  vhodnych dlzok, tak 4 z nich mozme vpisat do vhodnych kruznic rastucich polomerov....  vzdialenost obrazov  bodu 1 à bodu 4 je rastuca spojita funcia ( v euklidovskom priestore) ... atd


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#23 17. 12. 2016 02:16 — Editoval vanok (17. 12. 2016 02:28)

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

Mozny dokaz o max.
  indukciou : by sa to dalo dokazat, pokial jeden vpisany n- uholnik mozme rozrezat na dve casti aspon stvoruholniky.
Ale treba naviac  dokazat ze to plati aj pre 5- uholniky.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#24 17. 12. 2016 09:50

mák
Místo: Vesmír, Galaxie MD
Příspěvky: 675
Reputace:   55 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

↑ Anonymystik:

Výpočet uvedený v příspěvku #11 platí pouze pro tětivový čtyřúhelník jehož úhlopříčky jsou na sebe kolmé. Pokud zaujímají jiný úhel, pak toto neplatí.

Offline

 

#25 17. 12. 2016 11:11

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Zajímavost o čtyřúhelnících

↑ mák:,
Ano, ale to je len o cvicenie (uroven... v minulom storoci.... zaciatok strednej skoly) a ta kolmost zjednodusi pouzite uvahy.
Pochopitelne ine uvahy su o inej problematike.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson