Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 06. 12. 2016 01:21

Bati
Příspěvky: 2063
Reputace:   161 
 

Základní lemma variačního počtu

Ahoj,
o důležitosti základního lemmatu v.p. asi nemusím psát, takže přestože následující modifikace bude úplně elementární, rád bych se o ní podělil.

Každý bude znát jednoduchou verzi, totiž že když $f$ je spojitá v $(a,b)$ a $\int_a^bf\varphi=0$ pro všechny hladké $\varphi$ s kompaktním nosičem (ozn. $C^{\infty}_c$), potom $f=0$ v $(a,b)$. K důkazu sporem stačí najít jednu vhodnou testovací funkci.

Už ne každý zná obecnější verzi, kdy předpokládáme pouze $f\in L^1(\Omega)$, $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ a získáme $f=0$ skoro všude v $\Omega$. Pominu-li tvrzení o hustotě $C^{\infty}_{c}$ funkcí v $L^1$ (např.), tato verze je jednoduchým důsledkem věty o lebesgueovských bodech.

Otázka zní, co lze říct o $f\in L^1$, pokud víme jen, že $\int_{\Omega}f\varphi=0$ pro všechny $\varphi\in C^{\infty}_c$ splňující $\int_{\Omega}\varphi=0$.

Uvítám, když někdo přijde s dalšími modifikacemi.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson