Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 10. 12. 2016 17:28

Tse
Příspěvky: 33
Reputace:   
 

Porovnání dvou logaritmů

Zdravím,

zajímalo by mě, jak vyřešit následující úlohu. Je převzatá ze skript Elementární matematika II (Hejný, Stehlíková) určených pro Pedagogickou fakultu UK. (Raději rovnou dodávám, že to není domácí úkol - naopak jsme vyzýváni k tomu, abychom spolu příklady diskutovali a připravovali se tak na zkoušku.) Úloha zní:

Zjistěte bez použití kalkulačky, které z čísel $\log_{20}80$ a $\log_{80}640$ je větší.

Já jsem to řešila jako nerovnici $\log_{20}80 > \log_{80}640$ , a pak i $\log_{a}4a > \log_{4a}32a$ s tím, že se buď prokáže nerovnost či opak. Napadlo mě několik způsobů řešení, nicméně pokaždé jsem skončila ve fázi, že ta čísla jsou kousek od sebe, ale to je vše, co o nich můžu říct. V zásadě jsem vždycky dospěla k výrazu  typu $(\log_{a}4a)^{2} > \log_{a}32a$ . Následně jsem zkoušela jednotlivé strany odhadnout pomocí intervalů, ale ty jsou vždycky "přes sebe" - např. (1;4) vs. (2;3) -, ať to upravuji, jak chci. Kvadratická rovnice, kdy za x volím $\log_{a}4a$ mi taky moc nepomohla. Napadají vás nějaké další způsoby řešení?

Pro úplnost dodávám, že první výraz je menší než druhý.

Offline

 

#2 10. 12. 2016 17:49

misaH
Příspěvky: 8135
 

Re: Porovnání dvou logaritmů

↑ Tse:


Previesť na logaritmy s rovnakým základom?

Offline

 

#3 10. 12. 2016 18:32

Tse
Příspěvky: 33
Reputace:   
 

Re: Porovnání dvou logaritmů

↑ misaH: To jsem udělala, viz ta poslední nerovnice. Ale nedokázala jsem ji dále upravit tak, aby mi k něčemu byla.

Offline

 

#4 10. 12. 2016 18:41 — Editoval misaH (10. 12. 2016 19:12)

misaH
Příspěvky: 8135
 

Re: Porovnání dvou logaritmů

↑ Tse:

Myslím na konkrétne čísla...

Vyjde to.

Offline

 

#5 10. 12. 2016 19:35

Tse
Příspěvky: 33
Reputace:   
 

Re: Porovnání dvou logaritmů

To jsem taky zkoušela, ale k výsledku jsem se nedobrala. Pořád je to $\log_{20}80$, což je někde v intervalu (1;2) vs. $\frac{\log_{20}640}{\log_{20}80}$ z (1;3). Zkoušela jsem to různě upravovat, ale nic použitelného mi z toho nevzniklo. Možná neznám nějaké pravidlo nebo mi prostě jen něco uniká...

Offline

 

#6 10. 12. 2016 20:03 — Editoval misaH (10. 12. 2016 21:53)

misaH
Příspěvky: 8135
 

Re: Porovnání dvou logaritmů

Viem to urobiť, ale je to dlhé...

Upravujem, ako keby platila niektorá nerovnosť až prídem k evidentnej pravde.

Potom postupujem nazad.

(Ako: 2 <3, takže po pripočítaní jednotky 3 <4, potom po vynásobení dvoma 6 <8 atď. Akurát ja to robím s logaritmami a prídem k predpokladanému vzťahu zo začiatku.)

Používam iba známe vzťahy pre logaritmy, žiadne intervaly.

Offline

 

#7 10. 12. 2016 20:24

Tse
Příspěvky: 33
Reputace:   
 

Re: Porovnání dvou logaritmů

Aha, tak já si s tím zkusím ještě nějak pohrát a třeba se k tomu taky časem dostanu :-)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson