Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 04. 01. 2017 20:57

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Tetivovy stvoruholnik

Pozdravujem,
Najdite vsetki convexne tetivove stvoruholniky, vpisane do kruznice polomeru 1, take, ze ich po sebe iduce dlzky stran a,b,c,d tvoria geometricku postupnost.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 05. 01. 2017 19:45

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

↑ vanok:


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#3 05. 01. 2017 20:07

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

Ahoj,
Hociaky velky koeficient nemoze byt.
Rozhodne musi byt mensi ako 2.
( vtedy uz sucet troch mensich,  stran je mensi ako najvädcia).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 05. 01. 2017 21:49

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

↑ vanok:
To je pravda, tak kvocient musí být menší než kladný kořen rovnice q^3-q^2-q-1=0. A podobně pro q<1, tam také nemůže být příliš blízký k 0.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#5 06. 01. 2017 00:50

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

↑ check_drummer:,
Ano, a sa da nast aj relacia medzi tym into dvomi extremama.

A mozeme skusit vyriesit ( na zaciatok) aj jeden konkretny pripad. Nast taky stvoruholnik, ze jeho jedna strana je priemer kruznice.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 06. 01. 2017 11:16 — Editoval Honzc (06. 01. 2017 14:24)

Honzc
Příspěvky: 3664
Reputace:   207 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

↑ vanok:

Offline

 

#7 06. 01. 2017 15:41

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

Zdravím

↑ vanok: ↑ check_drummer: ↑ Honzc:

já mám okamžitě a střelhbitě jeden, který je zároveň tečnový a je pro školu přímo základní - totiž čtverec :-) Ale ty ostatní bych neviděl ani jako středoškolské :-(


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#8 06. 01. 2017 17:27

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

↑ Eratosthenes:
Ahoj, jejich tvar se sice na střední škole neprobírá, ale najít podmínky, které délky jejich stran musí splňovat, tj. tu rovnici pro q, to by středoškolák mohl a měl zvládnout Vlastně jde jen o to popsat, že nejdelší strana je kratší než součet ostatních.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#9 06. 01. 2017 18:12

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

↑ check_drummer:

Zdravím

>> jde jen o to popsat, že nejdelší strana je kratší než součet ostatních.

Tak to určitě ne. Toto

http://forum.matematika.cz/upload3/img/2017-01/22675_ctyruh.png

je čtyřúhelník splňující tuto podmínku, délky stran tvoří geometrickou posloupnost, ale tětivové to rozhodně není...


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#10 06. 01. 2017 21:55 — Editoval vanok (07. 01. 2017 00:52)

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

Ahoj ↑ Eratosthenes:,
Ale tu http://forum.matematika.cz/viewtopic.php?id=95306  #2 sme hovorili o tom kedy je mozne najst tetivovy stvotuholnik pre dane dlzky stran.
To pochopitelne neznamena, ze vsetky mozne stvoruholniky ktorych maju dane dlzky stran su tetivove.
Ale tu odpovedame na otazku kedy je to mozne
A v citovanom vlakne sme ukazali aj ine vlasnosti... a tu pokracujeme ...

↑ Honzc: dobry vysledok.
Mozno kolegovia stredoskolaci by chceli vediet viac podrobnosti.

Ako urobit geometricku konstruckciu ( GeoGebra) taketo tetivoveho stvoruholnika v danej kruznice pre urcite k ( ↑ vanok:)?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#11 07. 01. 2017 13:11 — Editoval Eratosthenes (07. 01. 2017 13:21)

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

ahoj ↑ vanok:,

OK, ale ani tak není poznámka ↑ check_drummer: v pořádku. Ano - každý čtyřúhelník, jehož strany tvoří posloupnost a kde funguje "čtyřúhelníková nerovnost", m ů ž e být tětivový. Tak ale problém nestojí. Úloha zní "najděte všechny čtyřúhelníky.." nikoli "najděte délky stran...". A navíc je dán průměr opsané kružnice. Takže odhalení "čtyřúhelníkové nerovnosti" určitě neznamená vyřešení úlohy...

Přiznám se, že jsem si s tím včera trochu hrál. Vyzkoušel jsem asi čtyři možné způsoby řešení, ale každý vedl na nelineární soustavu pěti rovnic o pěti neznámých. A to je pro středoškoláka asi dost nestravitelné.

Existuje-li nějaké opravdu středoškolské řešení, jsem na něj nesmírně zvědav. Mně momentálně nic nenapadá.


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#12 07. 01. 2017 14:22

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

Ahoj ↑ Eratosthenes:,
Dany problem je dost otvoreny a aj ked som tam dal do podmienok polomer, to nie je velka brzda k rieseniu.
Dokonca v tomto specialnom pripade,(= za podmienky geometrickej postupnosti) som presveceny, ze existuje geometricke riesenie, pristupne dobremu aj  stedoskolakovy.  ( Ak to chces skusit staci si spomenut na geometricke miesta bodov, ktore su casti kruznice... et konzervuju dany  pomer....)

Pochopitelne cisto algebricka cesta je zaujimava mozna cesta, ale ako si poznamenal napisat rovnice co popisuju situaciu a ich vyriesit, nie je vseobecna stredoskolska cesta.
Myslienky v podobnom vlakne mozu byt uzitocne aj tu... Aj teoremu co som pripomenul, ma geometricke riesenie.....

Nast "geometricky" tetivovy stvruholnik = dat alebo konstruhovat dlzky jeho stran v danej kruznici (polomeru 1)....( homotetia = rovnolahlost nie je zakazana)

Napr. kolega ↑ Honzc: to urobil algedricky v jednoduchej situacii presne ako som to cakal, podla otazky tu ↑ vanok:.

Som rad, ze si sa uz trochu pobavil na tomto probleme a ze budes ( mozno) pokracovat.

Zelam vsetko naj naj do noveho roku.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#13 07. 01. 2017 14:41

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

↑ Eratosthenes:
Ty podmínky na délky jsou nutná podmínka - a pokud si s tím středoškolák chvlíli pohraje (např. nechá pevnou nejdelší stranu a ostatní mění), prozkoumá extrémní případy tvaru možných čtyřúhelníků, tak mu bude minimálně intuitivně jasné, že z těch délek sestrojit tětivový čtyřúhelník lze. A pak ho vhodně zmenší, aby se vešel do kružnice o poloměru 1.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#14 08. 01. 2017 12:47

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

Eratosthenes napsal(a):

ahoj ↑ vanok:,
Přiznám se, že jsem si s tím včera trochu hrál. Vyzkoušel jsem asi čtyři možné způsoby řešení, ale každý vedl na nelineární soustavu pěti rovnic o pěti neznámých. A to je pro středoškoláka asi dost nestravitelné.

Mně vyychází jedna rovnice o jedné neznámé stupně nejvýše 3. Ale i to je asi na středoškoláka moc.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#15 08. 01. 2017 13:41

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

↑ check_drummer:

>> Mně vyychází jedna rovnice o jedné neznámé stupně nejvýše 3. Ale i to je asi na středoškoláka moc.

No, na některé středoškoláky by to možná moc nebylo. Alespoň nás kdysi matikář na gymplu trápil jak s Cardanovými vzorci, tak s půlením intervalu. Ale přiznám se, že na jednu rovnici stupně nejvýše tři jsem nepřišel a docela by mě zajímala.


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#16 08. 01. 2017 13:50

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

↑ Eratosthenes:
Ze vzorce zde:
https://en.wikipedia.org/wiki/Circumscr … properties
lze vyjádřit poloměr kružnice opsané pomocí stran. U tětivového čtyřúhelníku je tento poloměr stejný - rozdělím čtyřúhelník na dva trojúhelníky s doposud neznámou úhlopříčkou - to je ta jedna neznámá - a pomocí toho vzorce porovnám. Díky tomu, že strany tvoří geometrickou posloupnost se mi čitatelé vykrátí - pokud zvolíme úhlopříčku vhodně, tj. tu, která dělí čtyřúhelník na trojúhelník obsahujcíí nejdelší a nejkratší stranu té geom. posloupnosti. Pak to celé umocním na druhou a porovnávám jmenovatele. Snad jsem nic nepřehlédl.
Je možné, že tak získám i délku, která není řešením, ale vzhledem k tomu, že kořeny vyjdou jen 3, tak by mělo být možné "poznat", který je ten správný.
(Neomezuju se na čtyřúhelník vepsaný jednotkové kružnici - ale ten je tomu, který zde zkoumám, podobný.)


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#17 08. 01. 2017 14:22

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

↑ check_drummer:

Vyjádřit poloměr kružnice pouze pomocí stran mě fakt nenapadlo. Pěkné :-)
Až budu mít chvilku, tak na to mrknu.


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#18 08. 01. 2017 14:38 — Editoval vanok (08. 01. 2017 15:35)

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

Ahoj ↑ check_drummer:,
Mozes popisat podobne nejaky pripad napr. ak k=1,5?

Tu pridam zaujimave vlasnosti.
A)
Na kruznici $\gamma$ mame body A, C ,nech  B,D su body prieseku lubovolnej tetivy co prechadza stredom bodov AC z $\gamma$, potom $\frac {DA}{DC}=\frac {BC}{BA}$ ( to nie je dostatujuca podmienka)
B)
Geometricke miesto bodov $M$ take,  ze $ \frac {MA}{ME}=k$ je kruznica $\delta$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#19 08. 01. 2017 15:34 — Editoval vanok (08. 01. 2017 19:14)

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

Pokus konstrukcie pre povolene k <1
1) Nech A,B,E si tri body na jednej priamke, take ze ich usecky maju dlzky $ AB=1, BE=k^2$ a B je medzi A a E.
2) konstrukcia dlzky k
3) konstrukcia kruznice (B,k)
4) konstrukcia kruznice cf. vlasnost  B)
5) priesecik kruznic z 3), 4) da dva body oznacme jeden z nich C
6) opisme kruznicu ABC,
7) kostrukcia bodu D, tak ze DC=BE
(D medzi A a C --->édit :D je  na kruznici opisanej ABC na obluku medzi A et C na ktorom nie je B )
8) DA=k^3. vlasnost A)


Cakam kritiku..... opravy a co pre  k>1.....


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#20 08. 01. 2017 19:01

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

ahoj ↑ vanok:

pro k=0.7 podle popisu:

http://forum.matematika.cz/upload3/img/2017-01/98387_Apollon.png

Takže DA=k^3 neplatí. A nevidím žádný čtyřúhelník. Co jsem nepochopil?


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#21 08. 01. 2017 19:08 — Editoval vanok (08. 01. 2017 19:13)

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

D je na kruznici ABC, upresnil som to v konstrukcii.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#22 08. 01. 2017 19:28

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

↑ vanok:

:-) OK - pěkné.

http://forum.matematika.cz/upload3/img/2017-01/00041_Apollon1.png

Ale obecné řešení to stejně není - je to jen nad průměrem té kružnice. Obávám se, že žádné řešení, kde je nejdelší strana kratší než jedna, není PK sestrojitelné - pokud se kolegovi ↑ check_drummer: nepodaří vymyslet místo kubické rovnice rovnici jen kvadratickou :-)


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#23 08. 01. 2017 21:17

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

Pozor AB nie priemer kruznice...
Pre k>1 som nehladal platnost konstrukcie, lebo staci pouzit tu z 1/k

Iste sa daju nast konstrukcie z ukloprieckami, no na strednu skolu to by bolo priliz narocne....


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#24 08. 01. 2017 22:09 — Editoval Eratosthenes (08. 01. 2017 23:22)

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

↑ vanok:

>> Pozor AB nie priemer kruznice...

Je. V zadání vepisujeme do kružnice o průměru jedna a v konstrukci je |AB|=1. A to se dá se najít jednodušší konstrukce:

http://forum.matematika.cz/upload3/img/2017-01/09710_Apollon2.png

PS: Aha - v zadání je poloměr jedna. No ale to je úplně jedno: na obou postupech nic nemění - čtyřúhelník  se sestrojí nad průměrem jedna a pak se dvakrát zvětší :-) Nejdelší strana takto sestrojeného čtyřúhelníka je v každém případě průměr kružnice. Dovedu si představit ještě PK konstrukci, kdy průměrem bude úhlopříčka (opět použitím Apolloniových kružnic):

http://forum.matematika.cz/upload3/img/2017-01/14079_Apollon3.png

Ale jak už jsem psal, sestrojit takový čtyřúhelník obecně (mimo tyto speciální případy) pravítkem a kružítkem asi nepůjde a dokázat, zda vůbec jiný takový čtyřúhelník existuje nebo neexistuje, bude možná taky problém...


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#25 09. 01. 2017 00:43 — Editoval vanok (09. 01. 2017 14:57)

vanok
Příspěvky: 12117
Reputace:   694 
 

Re: Tetivovy stvoruholnik

Pripad ked je jedna strana priemer kruznice bola vyriesena v #6
V mojej vseobecnej pokusnej konstrukcii( nepopisal som v nej poslednej etapu --> rovnolahlost)  som zacal z ABE, kde AB=1,  BE=k^2

Potom konstrukciou som dostal k ( Veta o vyske v pravouhlom trojuholniku) no mohol som ju zobrat aj priamo.
Bod C je potom dobre definovany..... a "geometricky tetivovy stvorhulnik" vdaka vlasnosti A) a vlasnosti B) ( kde A,B, E su ako v konstrukcii) je modulo podobnost takto jednoznacne urceny.

Pochopitelne vlasnost, ze tetivovy stvoruholnik ,ze je"geometricky " je tu klucova vlasnost!

Upozornil som ze ide o pokusnu redakciu....a skutocne sa da zlepsit....

To, ze v tvojej druhej  konstrukcii #22 kruznica ABC ma priemer (bizky k) AB je ozaj nahoda....


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson